主共振与内共振下纵横耦合轴系动力学分析

邹冬林 荀振宇 饶柱石 塔娜

摘要： 考虑Von Karman非线性位移应变关系，利用Hamilton原理建立了轴系纵横耦合下的动力学模型。利用Galerkin法对偏微分方程进行离散，采用多尺度法求解了离散方程。研究了纵向主共振并伴随内共振（由纵向第一阶固有频率近似等于横向第一阶正进动与反进动频率之和而产生）联合激励时轴系的动力学响应。研究表明随着系统参数以及激励载荷的不同，轴系出现不同的动力学特性。当激励载荷小于一临界值时，纵向激励力只能激起纵向振动，系统响应与线性系统一样；当载荷超过临界值时，纵向激励力同时激起了轴系的横向正进动与反进动频率，此时纵向振动出现能量饱和现象，能量从纵向渗透到横向。能量在正反进动模态间的分配与其正反进动频率成反比，从而使反进动幅值大于正进动幅值。同时响应中也出现跳跃现象。数值分析结果与摄动分析结果一致。关键词： 非线性振动； 轴系纵横耦合； 多尺度法； 主共振； 内共振

中图分类号： O322；TH113.1文献标志码： A文章编号： 1004-4523（2016）03-0511-10

DOI：10.16385/j.cnki.issn.10044523.2016.03.018

引言

旋转轴系作为动力传递部件被广泛应用于工程机械中。例如船舶推进轴系，飞机发动机轴系以及汽轮机轴系等。轴系运转时不可避免地产生振动，从而降低机器的工作效率，严重时会使轴系断裂，造成事故。因此对轴系进行动力学分析并从本质上探讨振动的机理对于轴系设计初期是必要的。轴系的振动分为三种形式：弯曲振动、扭转振动以及纵向振动。早期对轴系的研究都是对这三种振动单独分析，这样处理有利于模型的简化。然而对一些处于复杂工况的轴系，各种运动之间有相当强的耦合，分开处理不能揭示工程中的一些现象，比如多频振动，组合共振，自激振动，分岔等。近年来，针对齿轮轴系或汽轮机轴系等的弯扭耦合振动的研究文献很多，取得了丰硕的成果[12]。但是针对轴系弯纵耦合振动的研究文献还相当少，主要原因是这两种振动之间的耦合在工程中不常见。而对于大跨度轴系（例如船舶推进轴系与汽轮机轴系，一般长度为十几米）或细长轴系，由于细长比很小（细长比指轴系截面回转半径与轴系长度之比），当激励力较大时，容易引起轴系较大振动。此时纵横振动幅值很大，进而纵、横向变形引起的弹性耦合作用也相当严重，从而引起轴系异常振动，所以研究轴系纵横耦合非线性振动有重要的意义。

对于轴系纵横耦合的研究，国内所见文献几乎没有。有学者针对平面的梁结构纵横耦合振动做了很多研究。夏品奇[3]利用增量谐波平衡法研究了弯纵耦合梁的谐波响应。胡义等[4]利用有限元法研究了梁纵横耦合振动。易壮鹏等[5]研究了纵向模态与横向模态间产生内共振时梁的动力学响应。陈立群[6]也利用多尺度法研究了轴向速度波动下轴向黏弹性梁的非线性振动。冯志华与胡海岩研究了受轴向基础激励悬臂梁的非线性振动[7]；同时研究了直线运动梁在内共振条件下的动力稳定性[8]。国外对梁的纵横耦合也有相当多的研究。Emam[9]研究了屈曲梁在1∶1以及3∶1内共振状态下的响应。

上述研究均是针对平面的梁结构，而轴系旋转时属于三维振动，同时由于陀螺效应的影响，横向固有频率呈现出正进动与反进动频率，表现出与平面梁不一样的动力学特性。近十年来，国外对轴系纵横耦合非线性动力学进行了大量研究。Khadem与Hossein研究了纵横耦合作用下可伸长与不可伸长轴系的自由振动响应[1011]；文献[1215]研究了不可伸长轴系的主共振响应以及可伸长轴系的主共振与参数共振及联合共振响应；文献[1618]研究了不可伸长轴系两阶模态间的联合共振以及分叉与稳定性问题。Ishida团队也做了类似的工作[1921]。在他们的研究中尽管在建立运动模型时考虑了纵向与横向的影响，但是在最终求解时均假设纵向惯性可以忽略从而导致纵向位移是横向位移的高阶小量，即u=o（w2），进而将纵向位移描述成横向位移的函数表达式，最终将纵横耦合非线性方程化简为只包含横向运动的非线性方程。由于他们研究的对象都是边界条件简单的简支轴系，纵向固有频率远高于横向固有频率，因此这种简化是合理的。Nayfeh[22]指出当纵向固有频率与横向固有频率相差不大时，纵向惯性不能忽略，纵向位移与横向位移应是同阶小量，即u=o（w）。对于实际工程结构中某些具有复杂边界条件的轴系，如船舶推进轴系，由于螺旋桨集中质量以及推力轴承的影响，纵向惯性效应很显著，将其直接忽略会带来误差。

综上所述，本文针对具有复杂边界条件的轴系结构，假设纵向位移与横向位移为同阶小量，建立其纵横耦合下的非线性动力学方程。研究在纵向主共振激励下并伴随纵向与横向间内共振时轴系的非线性动力学响应。