航天器燃料最优编队机动控制的解析方法

龚德仁 陈吉安 段登平 陈昌亚

1.上海交通大学，上海 200240 2.上海卫星工程研究所，上海 200240



航天器燃料最优编队机动控制的解析方法

龚德仁1陈吉安1段登平1陈昌亚2

1.上海交通大学，上海 200240 2.上海卫星工程研究所，上海 200240

针对航天器燃料最优编队初始化、重构等机动展开研究，提出了一种解析控制方法。首先将编队机动问题从状态空间转换到构型参数空间进行分析，其次基于不等式约束分别得到轨道平面内、外运动的燃料消耗下界，进一步获得燃料最优时需要满足的条件和可行的燃料最优编队机动解析解，该解形式简单，计算量小。燃料消耗量取决于相对运动尺寸参数，而最优解的存在性取决于初始状态误差。数值仿真结果验证了所提方法的有效性和准确性。 关键词 航天器编队飞行；燃料最优机动；构型参数化；解析解

航天器编队飞行具有成本低、系统可靠性高和适应性强等优点，已成为空间分布式任务研究中的热点[1]。由于卫星携带燃料有限，上天后无法得到及时补充，因此在编队机动过程中如何节省燃料非常重要，且已被广泛关注[2]。现有的燃料优化方法可以分成2类：1)基于线性化的运动状态模型；2)基于轨道根数差。

基于线性化运动状态模型的燃料优化编队机动一般采用Clohessy-Wiltshire方程[3]、Lawden方程[4]和Tschauner-Hempel方程[5]。优化方法包括线性规划算法[6-7]、遗传算法[8]、进化算法[9]、Hamilton-Jacobian-Bellman优化方法[10-11]、主矢量算法[12-13]、线性/非线性混合优化[14]和高斯伪谱法[15-16]等。其它的研究包括编队重构的可达性与最优相位分析[17]、编队最优制导设计[18]和考虑复杂摄动的绕飞控制策略[19]等。

基于轨道根数差的编队机动控制方法采用Gauss轨道摄动模型和轨道根数差相对运动学方程，主要包括解析的双脉冲控制方法[20-21]，三冲量方法[22]，基于燃料当量分析的编队机动制导方法[23]，近优反馈控制方法[24]和小推力燃料优化机动控制方法[25]等。

总体来说，针对燃料最优编队机动问题，已有研究多采用数值方法进行求解，或者在脉冲次数固定情况下获得解析的脉冲值。数值方法并不能得到真正意义上的最优解，且计算量大，不具有普遍意义；脉冲次数限制则增加了约束条件，使最优解可能被排除在外，况且最优解既有可能是脉冲推力，也有可能是连续推力，或者理论上就不存在。

本文在构型参数空间中展开研究，分析燃料下界及其可达性，由此得到燃料最优的条件和可行的解析解，并分析了各种初始条件下最优解的存在性、推力是脉冲的还是连续的。采用数值方法对交会过程和水平投影圆编队机动进行仿真，验证了理论分析的正确性。

1 问题描述

航天器之间的相对运动关系一般在主航天器轨道坐标系中描述，一阶近似模型为Clohessy-Wiltshire方程。假设航天器能提供3个轴向的推力，这时燃料消耗与控制力的1-范数成正比，燃料最优编队机动可以写成

(1)

其中：J为燃料消耗量，ΔX0为初始状态误差；tf为机动时间；U(t)=[ux(t),uy(t),uz(t)]T为控制力向量，脉冲控制时为δ函数的级数；Φ(t)为Clohessy-Wiltshire方程的状态转移矩阵，

(2)

其中，n为主航天器的平均轨道角速度。

定义构型参数P=[p,φ,s,l,q,θ]T如下：

(3)

其中：p,q,s和l为尺寸参数，φ和θ∈[0, 2π)为相位参数。

采用构型参数P表示的误差向量ΔX(t)为

Δx(t)=-pcos(nt+φ)+s,

Δy(t)=2psin(nt+φ)+l-1.5nts,

Δz(t)=qsin(nt+θ),

(4)

显然，参数p和φ表示轨道平面内运动的尺寸和相位，s和l表示轨道平面内运动的中心偏移，q和θ表示轨道平面外运动的尺寸和相位。

根据初始误差状态ΔX0和构型参数P之间的关系，优化问题式(1)可以整理为

(5)

2 问题求解

定理 对于区间[0,tf],tf≥0上任意的实可积函数f(t)和g(t)，不等式

(6)

恒成立。

证明：定义平面曲线L为

(7)

显然，初始点L(0)=(0, 0)就是坐标原点O，如图1所示。

图1 曲线L示意图

(8)

其中，(·)′表示对变量t的导数。在平面Oxy内，连接点O和点Lf之间任意曲线的长度都大于直线OLf的长度

h2≥|OLf|2=x2(tf)+y2(tf)

(9)

其中，Lf=L(tf)是曲线L的终点。将式(7)和式(8)代入式(9)可得

(10)

当式(10)中的等号成立时，曲线L(t)变成直线OLf，此时满足

f(t)x(tf)≥0;g(t)y(tf)≥0

(11)

其中，κ(t)为曲线L的斜率。式(11)表明终点Lf决定了满足式(10)的曲线L的性质。

2.1 轨道平面外运动

根据方程式(5)可知，轨道平面外运动的最优机动为

(12)

根据不等式(6)可知燃料消耗Jz满足

=nq

(13)

因此，nq是Jz的一个下界。仅当下列条件

(14)

(15)

(16)

式(16)为优化问题式(12)的解析解。可知最优解不存在连续推力，只能是脉冲序列。最少仅需一次脉冲，如在t=T-Tθ时刻施加正向脉冲nq，或在t=1.5T-Tθ时刻施加负向脉冲-nq。

2.2 轨道平面内运动

根据式(5)可知，轨道平面内最优机动可以描述成

(17)

根据式(17)的前2个约束可得

(18)

因此，0.5np是燃料消耗Jxy的一个下界。当Jxy=0.5np时，燃料达到最小值，控制力需满足

(19)

(20)

(21)

上式表明Jxy有第2个下界，此时控制力满足

(22)

也就是径向控制力为0，切向控制力始终为正或负，取决于初始构型中心偏移参数s。

综合前面的讨论可知，轨道平面内的燃料消耗Jxy满足

(23)

下面针对3种不同情况分别进行讨论。

Case1:p=|s|=0,l≠0

uy(1)=-uy(2)=-l/(3kT),t2=t1+kT;k∈Z+

(24)

此时燃料消耗为

Jxy=2|l|/(3kT)

(25)

Case2:p>|s|

由式(23)可知，此时最小燃料为0.5np。将式(19)代入式(17)中的其它约束,可得最优解满足

(26)

由于式(26)中对脉冲大小有3个等式约束，因此最少三脉冲就可以实现。不妨令2次为负脉冲，1次为正脉冲，此时可得

(27)

其中：α∈[0, 1]，且满足

(28)

式(28)可称为p>|s|时最优三脉冲编队机动的基本方程，其解为：

(29)

Case3:p≤|s|

(30)

根据后2个等式约束，则sl≤0时不存在最优解，只能进行次优控制。

针对式(30)前3个约束，定义平面曲线S如下

(31)

这里满足uy(t)s≥0。曲线S的起点为坐标原点O，终点Sf的坐标为(0.5npcosφ, -0.5npsinφ)，如图2所示。

图2 曲线S示意图

(32)

定义推力uy(t)与时间t乘积的积分为推力影响

(33)

进一步可知，曲线的斜率κ(t)和曲率半径ρ(t)分别为

(34)

可知κ(t)仅与时间相关，ρ(t)为控制力的1/n。

β=sinc-1(p/|s|)≥0,R=0.25n|s|/β

(35)

其中：R和β分别为圆的半径和半圆心角，sinc(x)=sin(x)/x。

根据式(34)和(35)可知，最优控制力为

(36)

其中

(37)

(38)

对于编队机动(s,p)，令两段推力产生的效果分别为(s1,p1)和(s2,p2)

(39)

因此有

(41)

(42)

考虑到约束|s1|≥p1，|s2|≥p2和ε,η∈[0,1]，因此η的范围为

(43)

此外，也可以采用脉冲推力实现编队机动。假设脉冲时刻为

(44)

其中：kj∈Z+，my为脉冲次数，上标“o”和“e”分别表示kj为奇数和偶数时的脉冲。由式(30)可得

(45)

(46)

比较式(46)和式(26)的形式可知，两者仅仅变量不同，可以采用相同方法进行求解。

当sl≤0时，最优解不存在，只存在次优解。一种策略就是分2次进行控制，第1次将p，φ和s控制为0，第2次将l控制为0。总体上是一种次优控制策略，因为将l控制为0所需的燃料随着时间的增加呈反比例下降。

3 仿真示例

3.1 交会过程

假设目标航天器运行在800km高的近圆轨道上，轨道周期为T=6052.4s，追踪航天器位于目标航天器后方3000m、下方100m的轨道上。初始时刻的构型参数为

P=[0m, 0°, 100m, 3000m, 0m, 0°]T

可知交会过程符合p≤|s|，且sl>0的情况。根据前面的分析结果可知，采用连续推力和脉冲推力两种方式都可以实现最优机动。

采用连续推力控制，最优控制力为

总燃料消耗为

采用脉冲推力控制，一种最优脉冲序列为

t(1)=to(1)=0.5T,

t(2)=to(2)=1.5T,

t(3)=te=5T,

燃料消耗为

仿真结果如图3所示，2种机动方式都是燃料最优的。

3.2 水平投影圆编队机动

水平投影圆编队是指辅航天器围绕主航天器飞行，其绕飞轨迹在当地水平面内投影为圆形的编队。该编队构型可以用圆的半径R和初始相位γ来描述。从一个水平圆构型(R0,γ0)到另一个水平圆构型(Rd,γd)进行机动时，相对构型参数为

P=[0.5R,γ, 0, 0,R,γ+0.5π]T。

其中，

根据前面分析可知轨道平面外采用一次脉冲

轨道平面内采用3次脉冲就可以实现燃料最优编队机动

图3 燃料最优交会

仿真结果如图4所示，相位参数φ和θ保持不变，脉冲施加时刻满足Δx(t)=0或Δz(t)=0。

图4 燃料最优编队机动

4 结论

针对燃料最优编队机动控制，采用构型参数空间分析方法得到了解析解。结果表明，燃料最优解的存在性与初始条件有关，最优解只要存在就有多种，燃料消耗与相对尺寸参数有关。该解析控制方法不仅可以用在编队机动上，同时也可用在航天器交会过程中。

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Analytical Solutions to Fuel-Optimal Spacecraft Formation Maneuver

Gong Deren1, Chen Ji’an1, Duan Dengping1, Chen Changya2

1.Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China 2.Shanghai Institute of Satellite Engineering, Shanghai 200240, China

Anewsimplemethodisproposedforfuel-optimalspacecraftformationmaneuver,includinginitializationandreconfiguration,andanalyticalsolutionswithoptimal/suboptimalstrategiesareobtained.Themethodconsistsoftwostages.Firstly，anewformofparameterizationofformationmaneuverstateisdevelopedforsimplicity.Secondly,theout-of-planeandin-planemotionareseparatelystudiedastheyareuncoupled.Withthehelpofausefulinequalityintroducedandproved,thelowerboundofthefuelconsumptionandthecorrespondingconstraintsofthecontrolforcesarederivedandobtained.Theresultsshowthattheminimumtotalfuelconsumptiondependsontherelativesizeparametersandtheexistenceofoptimalcontrolalgorithmdependsupontheinitialconditions.Thenumericalsimulationsofthetwoapplicationsareproventhatthetheproposedmethodisvalideandefficient.

Spacecraft-formationflying;Fuel-optimalmaneuver;Configurationparameters;Parameterization;Analyticalsolutions

2014-10-29

龚德仁(1982-)，男，湖南娄底人，讲师，主要从事分布式卫星系统姿轨协同和相对导航控制研究；陈吉安(1965-)，男，吉林四平人，教授，博士生导师，主要从事飞行器结构和力学研究；段登平(1966-)，男，重庆铜梁人，教授，博士生导师，主要从事空间飞行器总体设计与研制；陈昌亚(1963-)，男，安徽安庆人，研究员，主要从事航天器总体设计和深空探测技术研究。

V448.22+4

A

1006-3242(2016)01-0037-08