单调压缩奇异变换半群的极大子半群

陈皝皝，金久林

(贵州师范大学 数学与计算机科学学院,贵州 贵阳　550001)



单调压缩奇异变换半群的极大子半群

陈皝皝，金久林

(贵州师范大学 数学与计算机科学学院,贵州 贵阳550001)

摘要：设Xn={1,2,…，n}(n≥4)并赋予自然数的大小序,得到了Xn上单调压缩奇异变换半群的极大子半群的结构和分类。

关键词：变换半群;单调压缩;极大子半群

0引言

设Xn={1,2,…，n}(n≥4)并赋予自然数的大小序,Singn是Xn上的奇异变换半群。设α∈Singn,若对任意x,y∈Xn,x≤y⟹xα≤yα,则称α是单调递增;若对任意x,y∈Xn,x≤y⟹xα≥yα,则称α是单调递减。Xn上单调递增和单调递减全变换(不含双射)的集合记作Mn。它是Singn的正则子半群。设α∈Mn, 若对任意x,y∈Xn,|xα-αy|≤|x-y|, 则称α是Mn的压缩元。由Mn中所有的压缩元组成的集合记为MCn,易见MCn是Singn的子半群, 称为单调压缩奇异变换半群。

变换半群的具有某种性质的极大子半群的研究一直都是半群理论研究中的热点之一[1-18]。近年来, Yang[1]得到了有限奇异变换半群的极大子半群的完全分类; Yang[2]得到了全变换半群的理想的极大子半群的分类; Xu[3]研究了保序压缩变换半群的极大子半群; Xu[4]研究了有限部分变换半群的具有某种性质的极大子半群; 赵[5]刻画了方向保序变换半群的极大正则子半群。2013年，文献[6]考虑了单调压缩变换半群的秩。本文在此基础上, 推广了[3]的结果, 进一步考虑单调压缩奇异变换半群的极大子半群的结构与分类。

1准备

设α∈MCn,用imα表示α的象集,kerα表示Xn上的等价关系{(x,y)∈Xn×Xn:xα=yα}。若|imα|=r,2≤r≤n-1,则

当α单调递增时, 由单调性和压缩性容易验证α有如下表示法(称作α的标准表示):

其中,1≤a≤n-r+1,Xn/kerα={A1,A2,…Ar}，max(Ai)

当α单调递减时, 由单调性和压缩性容易验证α有如下表示法(称作α的标准表示):

其中, r≤a≤n, Xn/kerα={A1,A2,…Ar},max(Ai)

为叙述上方便, 在MCn上引入下面的二元关系, 对任意α,β∈MCn, 定义:

αL*β⟺imα=imβ

αR*β⟺kerα=kerβ

αH*β⟺imα=imβ,kerα=kerβ

αJ*β⟺|imα|=|imβ|

则L*, R*, H*与J*都是MCn上的等价关系, 易见L*⊆J*,R*⊆J*且H*=L*∩R*。对1≤r≤n-1, 记

1e=2,ke=k(2≤k≤n); 1φ=n,kφ=n-k+2(2≤k≤n);

1λ1=1,kλ1=k-1(2≤k≤n);1λ2=n-1,kλ2=n-k+1(2≤k≤n);

nρ1=n,kρ1=k+1(1≤k≤n-1); nρ2=2,kρ2=n-k+1(1≤k≤n-1);

nf=n-1,kf=k(1≤k≤n-1);nψ=1,kψ=n-k(1≤k≤n-1);

MCn的理想构成一个链，即

I*(n,1)⊂I*(n,2)⊂…⊂I*(n,n-1)=MCn

进一步,可得到

(1)

定义设S为MCn的子半群(S⊂MCn)。若S满足: 对任意α∈MCnS, 有=MCn, 则称S是MCn的极大子半群。

本文未定义的术语及记法参见[10]。

2主要结果及证明

下面给出本文主要结果:

定理设n≥4, 则MCn的极大子半群有且只有如下3类:

(1)A=MCnR*(r,r+1),2≤r≤n-2;

(3)C=MCnP, 其中P∈{{φ,ψ,λ1,ρ1},{φ,ψ,λ2,ρ2}};

为了证明定理, 需引入以下定理:

引理1[9]设n≥4, 记A={α2,α3,…αn-1,λ2}, 其中

2≤k≤n-1

则=MCn。

引理2设2≤r≤n-2(n≥4)，S是一个集合,若(R*(1,2)∪R*(n-1,n))⊂S且S∩R*(r,r+1)≠φ,则=MCn

引理3设2≤r≤n-2(n≥4),令S=MCnR*(r,r+1),则S是MCn的极大子半群。

证明设 2≤r≤n-2(n≥4),令S=MCnR*(r,r+1),由式子(1),易见S是MCn的子半群.下证S的极大性。

由S=MCnR*(r,r+1)得到,(R*(1,2)∪R*(n-1,n)⊂S,对任意α∈R*(r,r+1),使得(S∪{α})∩R*(r,r+1)≠θ,由引理2得到,=MCn,S是MCn的极大子半群。

引理5设n≥4, 令S=MCnP, 其中P∈{{φ,ψ,λ1,ρ1},{φ,ψ,λ2,ρ2}},则S是MCn的极大子半群。

证明设n≥4,令S=MCnP,其中P∈{{φ,ψ,λ1,ρ1},{φ,ψ,λ2,ρ2}}, 由式子(1),易见S是MCn的子半群,下证S的极大性。

对任意α∈P,考虑以下情形:

情形1若P∈{φ,ψ,λ1,ρ1},有{α2,α3,…,αn-2,λ2}⊆S且αn-1∉S(αk如引理1定义,2≤k≤n-1), 当α分别取为φ,ψ,λ1,ρ1, 分别有αn-1=ρ1=ρ2α,αn-1=ρ1=αλ2,αn-1=ρ1=αρ2λ2,αn-1=ρ1即{α2,α3,…αn-1,λ2}⊆，由引理1得到=MCn。

情形2若P={φ,ψ,λ2,ρ2}, 有{α2,α3,…,αn-1}⊆S且λ2∉S. 当α分别取为φ,ψ,λ2,ρ2,分别有λ2=αλ1,λ2=λ1α,λ2=α,λ2=λ1αλ1即{α2,α3,…αn-1,λ2}⊆.由引理1得到 =MCn。

因此，S是MCn的极大子半群.

定理的证明由引理3，引理4，引理5，可知，A,B,C是MCn的极大子半群。

用反证法证明MCn的极大子半群有且仅有定理中的形式，假设S是MCn的极大子半群，但不是定理中的形式，则对2≤r≤n-2(n≥4),有

S∩{φ,ψ,λ1,ρ1}≠φ,S∩{φ,ψ,λ2,ρ2}≠φ

否则，存在 2≤r≤n-2, 使得S∩R*(r,r+1)=φ,或S∩T=φ或S∩P=φ, 于是A,B,C是MCn包含S的子半群，由S的极大性得，S=A或S=B或S=C,与假设矛盾。

情形1若λ1,ρ1∈S,容易验证,e=λ1ρ1,f=ρ1λ1,注意到S∩{φ,ψ,λ1,ρ1}≠φ,S∩{φ,ψ,λ2,ρ2}≠φ, 考虑以下4种情形:

情形1.1若λ1,ρ1,φ∈S,容易验证,λ2=φλ1,ρ2=ρ1φ,ψ=ρ1φ2λ1即(R*(1,2)∪R*(n-1,n)⊂S。注意到,S∩R*(r,r+1)≠φ,2≤r≤n-1，由引理2得到=MCn,由于S是MCn的子半群，有S==MCn。

情形1.2若λ1,ρ1,ψ∈S,容易验证,λ2=λ1ψ,ρ2=ψρ1,φ=λ1ψρ1,即(R*(1,2)∪R*(n-1,n)⊂S。类似情形1.1可得S==MCn。

情形1.3若λ1,ρ1,λ2∈S,容易验证，φ=λ2ρ1,ρ2=ρ1λ2ρ1,ψ=ρ1λ2。类似情形1.1可得S==MCn。

情形1.4若λ1,ρ1,ρ2∈S,容易验证,φ=λ1ρ2,ψ=ρ2λ1,λ2=λ1ρ2λ1.类似情形1.1可得S==MCn。

情形2若λ1,ρ2∈S, 容易验证,e=(λ1ρ2)2,f=(ρ2λ1)2,φ=λ1ρ2,

ψ=ρ2λ1,λ2=λ1ρ2λ1,ρ1=ρ2λ1ρ2，即(R*(1,2)∪R*(n-1,n))⊂S。注意到，对任意2≤r≤n-2 ，有S∩R*(r,r+1)≠φ,有引理2得到,S==MCn。

情形3若λ2,ρ1∈S, 容易验证，e=(λ2ρ1)2,f=(ρ1λ2)2,φ=λ2ρ1,ψ=ρ1λ2,

λ1=λ2ρ1λ2,ρ2=ρ1λ2ρ1即(R*(1,2)∪R*(n-1,n))⊂S.注意到,对任意 2≤r≤n-2,有S∩R*(r,r+1)≠φ,有引理2得到，S==MCn。

情形4若λ2,ρ2∈S, 容易验证，e=λ2ρ2,f=ρ2λ2。注意到,S∩{φ,ψ,λ1,ρ1}≠φ,S∩{φ,ψ,λ2,ρ2}≠φ。类似情形1可得S==MCn。

以上情形都与S是MCn的极大子半群矛盾，因此，MCn的极大子半群有且仅有定理中的形式。

参考文献：

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[2]YANGHB,YANGXL.MaximalSubsemigroupsofFinitetransformationSemigroupsK(n,r)[J].ActaMathematiaSinica,2004,20(3):475-482.

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文章编号：1004—5570(2016)03-0071-04

收稿日期：2015-12-30

作者简介：陈皝皝(1990-),女,在读硕士研究生,研究方向:半群及编码理论,E-mail:1375607781@qq.com.

中图分类号：O152.7

文献标识码：A

The maximal subsemigroups of the semigroup of monotone compression singular transformation

CHEN Huanghuang,JIN Jiulin

(School of Mathematics and Computer Science, Guizhou Normal University, Guiyang，Guizhou 550001, China)

Abstract:Suppose Xn={1,2,…，n}(n≥4), and it has the order of natural numbers, the structure and classification of the maximal subsemigroups of monotonic compression singular transformation semigroup on Xn is obtained.

Key words:transformation semigroup; monotone compression; maximal subsemigroup