时频分析基本理论

杜广正

一、时频分析的基本概念

分析和处理平稳信号的最常用也是最主要的方法是Fourier分析，Fourier变换是传统信号分析中最重要的数学工具。Fourier变换建立了信号时域与频域之间变换的关系，而Fourier反变换则建立了一种能使信号从频域变到时域的路径，而且频域时域变换是一一对应的。

我们可以从频域和时域来分析一个信号。基于 Fourier变换解释了信号在频域的特征，Fourier变换是一种全局变换。在整体上，将信号分解为不同的频率分量，即对信号的表征完全在频域，这种表征同信号的时域形式是相对独立的，即两者不能同时联合描述信号。为了分析和处理非平稳信号，我们使用时间和频率的的联合函数来表示信号，这种方法称为信号的时频表示或者联合时频分析，其基本思想是设计时间和频率的联台函数，用它同时描述信号在不同时间和频率的能量密度和强度。假设存在这样一个分布Wx（t，ω），就可以计算在某一特定时间的频率的密度，求在某一确定的频率和时间范围内的能量百分比，计算该分布的整体和局部的各阶矩等等。在信号处理中，信号一般可以分为两类：确定性信号和随机信号。而随机信号又分为平稳和非平稳信号。平稳信号常用的处理方法是频域分析法，这种方法通常采用建立信号x（t）与其频谱X（f）之间的一一映射关系，调整傅立叶变换与傅立叶反变换之间存在的整体和全局的变化，即频谱只能是从整体信号的时域表示得到的，其时域表示只能从整体信号的频谱获得的，信号的平稳或非平稳主要是根据信号的统计量特征来衡量的。因此，传统的傅立叶变换无法反映非平稳信号统计量的时间变化特征。

二、短时傅里叶变换

短时傅立叶变换（窗口傅立叶变换）是用一个很窄的窗函数取出信号， 对其求傅立叶变换，假定信号在这个时窗内是平稳的，得到该时窗内的频率，并过滤掉了窗函数以外的信号频谱，确定频率在特定的时间内是存在的，然后沿着信号移动窗函数，得到信号频率随时间的变化关系，这样就得到了时频分布。可知，短时傅立叶变换的定义为：

这种变换是线性的，而且满足叠加原理。换言之，如果s（t）是几个信号分量的线性组合，那么各个信号分量的时频线性组合可以得到s（t）的时频表示：

线性由于不会产生交叉项干扰，所以是区分多分量信号的希望的性质，而且小波变换也是线性时频变换。傅立叶变换可以分别从信号的时域和频域观察信号 ，但却不能把二者联合起来描述信号。因为信号的时域中不包含任何频域信息；而频域中不包含时域信息。同时短时傅立叶变换概念直接，算法简单，已经成为研究非平稳信号十分有力的工具，在信号瞬时频率的估计领域得到了广泛的应用，并且是其它时频分析的基础。但是它存在两个问题：对窗函数的长度选择与窗函数的选择问题。为了得到更好的频域效果，因为窗函数的长度与频谱图的频率分辨率密切相关，因此信号的观察时间必须比较长。当信号变化很快时，反应频率与时间变化的关系将会受到影响；然而，当窗函数很短时，对于特定的窗函数来说，将会得到更好的效果。对比其他方法来说，短时傅立叶变换（STFT）虽然有着分辨率不高等明显缺陷，但由于其算法简单，实现容易，所以在很长一段时间里成为非平稳信号分析标准和有力的工具，而且不会产生多信号交叉干扰项，同时我们采用短时傅里叶变换算法估计瞬时频率对于频率分集和频率编码脉冲信号来说会更加方便。

三、Wigner-Ville分布

从本质上说，短时傅里叶变换和小波变换都是线性时频表示，它不能描述信号的瞬时功率谱密度，进行时频分析的基本目的就是确定一种时频分析函数，使其能够确定在时间 t及频率f处信号的那部分能量。Cohen类双线性表示的本质就是在时频平面中分布信号的能量，其中WignerVille（WVD）就是常用的一种时频分布。WVD 是一种二次型变换，具有许多优良的性质，但当分析多频率成分的信时，由于是二次型变换，不可避免地出现交叉项干扰，这是它的缺点。最初，Wigner利用量子力学提出了这种分布：

由于Wigner-Ville分布在时域与频域的定义形式基本相同，因此，对于在时频讨论的问题在频域也同样适用。此外，Wigner-Ville分布对于不同时间采用同样的加权，因此它是完全非局部化。为了在特定时间得到Wigner-Ville分布，我们要把几段信号加起来，这几段信号是由过去某一时间的信号乘上未来某一时间的信号的乘积组成，所取时间的过去时间与未来时间相等。Wigner-Ville分布相等的权衡远处时间与近处时间。

将其称为互Wigner分布（cross Wigner Distribution）。WVD有许多优良的性质，时频聚焦好，比线形时频有较高分辨率。

由于Wigner变换的双线性特性，在分布中引入交叉项，使得从分布中提起有用信息的过程变得复杂。自项和交叉项会有多种组合形式，交叉项不仅能对自项进行干扰，还能出现在自项的地方。然而WVD虽存在交叉项，但不存在窗函数或母小波的选取问题，而且其时频聚焦性好，因而受到人们的重视。

四、总结

通过对时频分析理论的研究，介绍了线性时频表示、双线性时频表示等时频分析方法，论述了各种时频方法的优缺点，使得我们更加准确而且形象的了解了信号的变化。