谈“相关变化率问题”的求解

欧平 罗佳生

（张家界航空工业职业技术学院）

谈“相关变化率问题”的求解

欧平 罗佳生

（张家界航空工业职业技术学院）

本文阐述了相关变化率的应用及求解方法，并举例说明了相关变化率问题的求解。

导数；相关变化率；求解

我们知道，函数在某一点处的导数即函数在该点处的瞬时变化率，也就是平均变化率的极限。微分学研究变化率的问题，它使人们能够定义曲线的切线斜率，计算运动着的物体的速度和加速度，求得炮弹能达到其最大射程的发射角。在工业的经营管理中，计算边际成本和边际收入等等。变化率问题已经广泛地应用在各个领域中。用一个能直接求得的变化率来求一个不能直接求得的变化率的问题，称为相关变化率问题。如下例：

例1设以10m3/s的速率将气体注入球形气球内，当气球半径为4m时，气球表面积的变化速率是多少？

对学生而言，解决相关变化率应用问题的困难依次在于：把实际问题用数学语言翻译为明确的数学问题，然后来求解这个数学问题。为帮助学生解决这些难题，提高学生应用数学知识解决实际问题的能力，本文指出相关变化率问题的求解方法和要点，并举例说明。

相关变化率问题的求解方法。

第一步：设出与问题有关的变量及函数，画出示意图。

第二步：写出已知的数值信息及所求的量（通常是用导数表示的变化率）。

第三步：找出变量之间的关系公式（通常是客观存在的关系或问题中已知的关系）。

第四步：对上述关系式求导（把所求的变化率用已知其值的变化率和变量表示出来）。

第五步：代入求值并解释。

例1解：第一步：设t表示时间，r（t）表示气球半径，V（t）表示气球的体积，S（t）表示气球的表面积。

第三步：变量之间的关系式

得：

例2正在追逐一辆超速行驶汽车的一辆警察巡逻车从北向南驶向一个直角路口，超速汽车已拐过路口向东驶去。当巡逻车离路口向北0.6英里而汽车离路口向东0.8英里时，警察用雷达确定了两车之间的距离正以20英里/h的速率在增长。如果巡逻车在该测量时刻以60英里/h的速率行驶，试问该瞬间超速汽车的速率是多少？

解第一步：设 t表示时间，x（t）表示时刻 t汽车的位置，y（t）表示时刻t巡逻车的位置，s（t）表示汽车与巡逻车之间的距离，如图1所示。

第二步：已知 x（t）=0.8 英里，y（t）=0.6 英里时，=20英里/h。求

图1

第三步：变量之间的关系式

第四步：求导

第五步：代入求值

解释：该瞬间超速汽车的速率是70英里/h。

[1]同济大学，天津大学，浙江大学，重庆大学，等.高等数学.高等教育出版社，2002，8.

[2]geogre B thomas等著.叶其孝，等译.托马斯微积分.高等教育出版社，2003，5.

O172.1

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1004-7344（2016）12-0272-01

2016-4-10