无言有理——勾股定理的“无字证明”

张小娟

（陕西西安高新第二学校　陕西西安　710065）



无言有理
——勾股定理的“无字证明”

张小娟

（陕西西安高新第二学校陕西西安710065）

一、学情分析

鉴于八年级学生思维活跃，参与意识强，喜欢拼图，喜欢展示自我的特点，以及八年级学生在学习第一章《勾股定理》中，已具备了通过拼图利用等面积法验证勾股定理的技能和活动经验，因此，本节课通过实践活动，经历“无字”验证勾股定理是对课本知识在深度上和广度上的进一步延伸和拓展，使学生感受解决问题方法的多样性和开放性，从而激发学生的探究意识，享受数学思维的快乐，体会勾股定理的文化价值，培养学生良好的思维品质。

二、教材分析

本节课是北师大版八年级上册，第一章勾股定理的一节拓展课。勾股定理是几何中几个重要定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，是对直角三角形性质的进一步学习和深化，它可以解决许多直角三角形中相关的计算问题，在实际生活中用途很广泛。它不仅在数学领域而且在其他自然科学领域中也被广泛地应用，在数学发展史上，东西方都很早就展开了对勾股定理的研究。尤其对于勾股定理的证明，人们更是趋之若鹜。迄今，已多达五百多种证法，而勾股定理的“无字证明”，整个证明不著一字，单靠移动几块图形隐含在图形中的勾股定理便清晰呈现，让人心领神会。无字证明中，包含的精巧与美丽是一道无与伦比的风景线。通过本节课的学习，将有力的培养学生数形结合的意识以提高学生分析问题、解决问题的能力。同时也为后期学习四边形、圆中的有关计算等奠定基础，因此本节课无论从知识的角度还是从数学技能、数学思想方法及数学活动经验的积累等层面都将起着举足轻重的作用。

三、任务分析

1.教学目标

（1）知识与能力目标

① 了解无字证明的概念；

② 会制作并运用“青朱出入图”验证勾股定理；

③ 掌握古印度“无字证明”验证勾股定理的原理；

④ 理解勾股定理五百余种证法的实质。

（2）过程与方法目标

① 感受剪、拼、割、补在解决几何图形问题过程中的重要作用，培养学生分析问题、解决问题的能力。

② 在活动过程中，感受同一问题解决方法的多样性，进一步培养学生的发散思维能力。

（3）情感态度价值观目标

① 通过对勾股定理历史的了解，感受数学人文文化，激发民族自豪感和学习热情。

② 在探究活动中体验解决问题的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神。

③ 增强民族自豪感，同时体会数学的无国界性。

2.教学重点：

（1）“青朱出入图”的制作及原理；

（2）古印度“无字证明”的原理；

3.教学难点：

（1）“青朱出入图”的制作及原理；

（2）古印度“无字证明”的原理；

（3）理解“无字证明”的实质——等面积法。

4.教学准备

（1）教具：三角板 、ppt课件、磁铁

（2）学具：纸、彩笔、剪刀、三角板

（3）自学任务：

① 学生课前观看微视频，掌握“青朱出入图”的制作方法。

② 每人制作一幅美观的“青朱出入图”。

四、教法学法设计

1.教学方法：探究式教学法

2.学法：自主探究法

五、教学过程设计

第一环节：旧知导课

教师活动：

学生回答： 利用多项式乘以多项式法则，将2）（ba+写成（a+b）（a+b）的积，从而得出结论，以数证数。

设计意图：以旧导新，消除学生对新知识的陌生感，从而引出无字证明的概念及课题。

第二环节：活动探究

活动一：“青朱出入图”

（1）学生展示“青朱出入图”；

（2）师生共同分析“青朱出入图”的原理；

（3）学生动手操作验证勾股定理。

（4）师生共同探究“青朱出入图”的实质。

设计意图：

① 学生通过提前观看“青朱出入图”的制作视频，已掌握了绘制“青朱出入图”的方法，所以让学生当堂展示亲手制作的“青朱出入图”，以激发学生的学习兴趣，活跃课堂气氛。

② 引导学生解读“青朱出入图”，理解其验证勾股定理的原理。

③ 学生通过剪、拼等操作，发现蕴藏在图中的勾股定理不言而喻，清晰明了，切实体会无字证明的魅力所在。教师再用ppt课件演示图形的移、拼过程，重现图形的无缝、不重叠拼接，进一步加深对“青朱出入图”的理解。

④ 师生共同探究“青朱出入图”的实质，进一步体会等面积法在证明勾股定理中的应用。

活动二：古印度“无字证明”

（1）小组探讨古印度“无字证明”的原理，并由学生在全班交流分享；

（2）四人一小组，共12个活动小组，讨论交流、探究分割方法，并在全班交流不同的分割方法；

（3）学生动手分割、拼图，验证，并展示。

设计意图：在活动一的探究过程中，学生经历了“青朱出入图”的制作、原理、验证、实质都已掌握。在此基础上，教师放手让学生去探究，适时点拨，学生在交流的过程中，由思维碰撞产生了火花，进一步培养了学生的发散思维，以及严谨的思维习惯。同时，学生学会了交流、分享、达成共识，体验合作的乐趣。

活动三：师生共析中外两种无字证明的实质。

设计意图：通过ppt演示，使学生理解等面积法在无字证明中的应用，再次体会不证自明的魅力。

第三环节：小结归纳

（1）勾股定理的证法达500多种，分三种类型。

（2）我想说……

设计意图：更新知识系统，逐步完善知识脉络，提高分析问题解决问题的能力；梳理数学方法、数学思想，理解其中的内在联系。

第四环节：作业布置

实践报告：搜集整理“无字证明”

设计意图：激发学生继续探究的兴趣和欲望，培养学生的钻研精神，提高其自学能力。