高墩梁桥的水平向主导振型理论分析

陈洋洋， 崔　杰， 刘　博， 周福霖

(广州大学 减震控制与结构安全国家重点实验室(培育)，广州　510405)

高墩梁桥的水平向主导振型理论分析

陈洋洋， 崔杰， 刘博， 周福霖

(广州大学 减震控制与结构安全国家重点实验室(培育)，广州510405)

单自由度模型被广泛应用于规则中、低墩梁桥的抗震分析和设计，而高墩梁桥由于墩身高阶振型的影响，有必要发展多自由度甚至分布参数体系的简化分析模型和方法。基于分布参数欧拉梁理论对单墩-质点体系进行解析推导，分析了体系动力特性和振型质量分布的控制因素和规律，从纯解析角度更为严格的证明梁-墩质量比是决定体系水平向振型质量参与系数的主要因素。解释了已有数值分析结果给出的统计规律，纯解析给出比已有数值拟合公式精度更高、适用范围更广的分析公式，探讨了高阶振型的影响，最后给出手算评估等效单自由度模型有效性的建议公式。

高墩；单墩-质点体系；振型质量参与系数；解析推导

对于中、低墩梁桥，由于墩身高阶振型对体系动力特性影响较小，因此在满足工程精度的情况下高阶振型往往可以被忽略，进而采用基于一阶振型等效的单自由度模型，使分析设计变得简便。目前国内外的桥梁抗震设计规范广泛采用等效单自由度体系进行简化分析，如我国公路桥梁抗震设计细则(JTG/T B02-01-2008)[1]、美国CAHTRANS规范[2]、AASHTO规范[3]、欧洲EC8规范[4]和日本行业相关规范[5]等都给出了规定。另一方面，与中、低墩梁桥相比，高墩梁桥的相关简化分析理论与设计方法则有待完善，例如，我国规范仅针对墩高不超过40 m的桥梁给出具体设计方法，并明确指出对于墩高超过40 m、墩身一阶振型有效质量低于60%的桥梁需要进行专门研究，美国规范也仅给出适用于墩高不超过30 m的规则桥梁的具体设计方法。宗周红等[6]对目前国内外桥梁高墩抗震研究的现状及展望做了较为全面的综述，指出对高墩桥梁的抗震设计沿用中低墩桥梁的相关规范具有很大的盲目性。于此同时，高墩桥梁建设需求面临日益增长的局面，由于我国正处大规模交通基础设施建设阶段，据统计，仅西部大开发背景下建成或在建的公路桥梁中，墩高超过40 m的桥梁已达40%以上，例如西南山区大量的岩石或硬土地基上的公路和铁路高墩连续梁桥。

于是，为了进一步发展和完善高墩桥梁的设计理论和简化分析方法，不少学者开展了卓有成效的研究[7-14]，其中，墩底固结的等截面单墩-质点高墩(Single Colume and Mass, SCM，见图1)模型受到较多关注，这是由于该分析模型既能忽略次要因素，突出反映高墩抗震体系最主要的动力特性，又便于简化分析，可以作为考虑其它更具体更复杂高墩桥梁结构的模型基础。近年来，针对该模型取得的典型研究成果包括，李建中等[8]应用增量动力分析方法分别对墩底固结的30 m和60 m的SCM模型进行比较，提出高阶振型对其60 m高墩抗震性能具有较大影响。梁志垚等采用塑性铰单元和纤维单元分别对墩底固结的30 m和90 m的SCM模型进行弹塑性分析，重点考察中、低墩与高墩体系响应的不同，结果表明高阶振型影响直接导致90 m高墩的塑性区分布规律和延性能力与30 m墩的表现显著不同。另外，Wang等完成了专门针对高墩的大比例振动台模型研究。Francisco等应用蚁群算法专门针对考虑高墩高柔情形的抗震体系进行优化设计。卢皓等对60 m、90 m墩高的SCM模型也进行了研究，验证了二阶振型对高墩体系的显著影响。上述研究工作成果基本都明确指出，中、低墩体系的抗震设计方法和分析理论基本不适用于高墩体系，主要原因是由于高墩体系墩身水平向高阶振型、特别是二阶振型贡献的显著提高，且随着墩身高度和柔性的增加，这个趋势总体上愈加明显。

然而，以上研究成果所采用的研究路径都是基于对有限元离散模型的数值计算结果进行总结和规律分析，由于技术路径是基于数值的，所以大多数研究仅是针对两个或少数几个算例进行比较分析，然后给出了高墩与低墩对比分析的定性结论，尚不足以给出全面、严格、连续的定量公式来概括SCM体系参数对各阶振型贡献的全局影响，因此，为了使分析结果具备更好的普遍性，彭凯等设计了不同参数组合下的多达102种工况进行有限元计算，然后对这些数值结果进行统计分析和数据拟合，总结发现梁-墩质量比(上部结构质量与对应的墩身质量之比)是决定单墩-质点体系水平向振型质量参与系数的最主要因素，并给出了相关的数值拟合关系式。尽管如此，他们也仅涉及了墩高范围为10～60 m的情形，而近年来我国已建或在建的超过100 m墩高的大型刚构桥就超过10座[7]，且高墩甚至超高墩的应用还将越来越多。纵观以上工作，基于分布参数理论对SCM体系直接进行解析分析的工作还非常少见。

为了使分析方法更为严格，分析结果更具一般性，本文直接从纯解析分析的研究路径出发，对高墩情形下的SCM分布参数模型动力特性进行严格的理论推导，纯解析的给出了墩高、墩顶质量、墩身质量和抗弯刚度等参数的任意变化对体系水平向动力特性的影响规律和关系式，并对比验证相关文献的数值统计和拟合结果，更为严格的证明梁-墩质量比是影响SCM体系水平向振型质量参与系数分布的最主要因素，同时给出了比已有数值拟合公式精度更高、适用范围更广的振型质量参与系数公式和单自由度选择评估公式，以算例加以验证。

1频率与振型的控制因素分析

(1)

式中：x为沿墩身的空间坐标；t为时间；u(x,t)为墩身水平位移。式(1)的解分离变量形式为：

u(x,t)=φ(x)q(t)

(2)

式中：

(3)

图1　单墩-质点体系Fig.1 Single column and a mass system

式中：

φ(x)=A1cosax+A2sinax+A3coshax+A4sinhax(4)

(5)

振型函数φ(x)的系数A1、A2、A3和A4由如下边界条件确定，考虑墩底固结情形有

φ(0)=φ′(0)=0

(6)

式中：φ′为φ对墩身高度坐标x的一次求导，依次类推。考虑墩顶与上部结构为铰接的情形，有

EIφ″(H)=0

(7)

EIφ‴(H)+ω2m1φ(H)=0

(8)

将振型函数式(4)依次代入式(6)得到A3= -A1，A4=-A2，然后再代入式(7)和式(8)整理得

(9)

我们求解上式的特征值问题可整理得到如下几个彼此等价的频率方程

(10)

或

(1+rbpaHtanhaH)cosaH-rbpaHsinaH=

-sechaH

(11)

或

(12)

式中：

(13)

为上部结构等效集中质量与墩身质量之比，称之为梁-墩质量比。观察以上方程可知，频率方程可以看成是关于aH的、以梁-墩质量比rbp为参数的超越方程。

由式(10)可知，梁-墩质量比rbp由aH唯一表达，也可以说rbp是控制aH的唯一参数。由式(12)可知，方程左边描述一个振幅和相位关于aH变化而变化，但频率不变的余弦函数，右边则是随着aH增加迅速逼近于0的双曲正割函数。图2分别给出了方程左边函数值lhs和右边函数值rhs关于横轴坐标aH的曲线，频率方程的解即由两曲线的无数多交点确定，对应各阶频率。

下面分析各阶aH值的分布规律和取值范围。首先，当墩顶无集中质量时，即rbp为0，式(12)退化为

cosaH=-sechaH

(14)

这种情形在许多经典著作如文献[15]中都作了详细分析，这里不再赘述，直接给出其各阶aH值作为SCM体系各阶频率的上界(amH)up，如表1所示。

图2　频率方程图解Fig.2 Frequency equation diagram

阶数m(amH)up当rbp=0(amH)down当rbp=+∞γm/%当rbp=0γm/%当rbp=+∞11.875061.31100.0024.69418.8337.855(m-5/4)π6.470≥4(n-1/2)π≤3.31

然后，我们考虑另一个极端情形，即当墩顶质量趋于无穷大，梁-墩质量比rbp趋于无穷大的理想情形，这时对式(12)两边除以rbp并作极限运算可得

(15)

(16)

确定。特别的，由于对于稍大的aH，双曲正切函数tanhaH的值就已非常接近1，所以式(16)可进一步简化为

(17)

用式(17)确定二阶及二阶以上aH，相比用式(16)误差小于0.4%。于是我们可以以该方程确定二阶以上的各阶aH值，得到表1中单墩-质点体系各对应频率的下界(amH)down。

综合这一节分析，结合图2和表1可知，只要是在高墩体系满足欧拉梁假设的理论框架下，无论对于任何参数，都是由rbp唯一确定各阶的amH值，且各阶amH值都被限定在相应的、确定的上下界之间，上下界分别对应梁-墩质量比rbp等于0和无穷大时的情形。只要amH确定，各阶频率即可由式(5)确定，进而由式(9)求特征向量得到m阶振型函数为

φm(x)=A1[cosamx-coshamx-

Bm(sinamx-sinhamx)]

(18)

式中：

(19)

2振型质量贡献分析

2.1振型正交性条件

为了后续分析的需要，我们先推导体系的振型正交性条件，对第m和第n振型应用Betti定律，第m振型的惯性力在第n振型上做的功为:

(20)

第n振型的惯性力在第m振型上做的功为:

(21)

由Wmn=Wnm，及不同阶频率不相等，可得到体系的第一个振型正交条件:

(22)

注意到墩顶质点的自由振动方程为

(23)

设第n振型的运动为

un(x,t)=φn(x)qnsinωnt

(24)

将式(24)代入式(1)、式(23)可得

(25)

(26)

对式(25)乘以φm(x)并做从0到H的定积分，对式(26)乘以φm(H)，分别得到

(27)

(28)

将式(2)和式(28) 相加，并计及式(22)，得到第二个振型正交条件:

(29)

2.2振型参与系数表达式

下面再分析分布参数体系m阶振型参与系数ηm的表达式，地震作用下考虑模态阻尼的单墩-质点体系的控制方程为

(30)

(31)

(32)

将式(32)分别代入式(30)和式(31)，然后式(30)乘以φm(x)并作从0到H的积分，式(31)乘以φm(H)，分别得到

(33)

(34)

引入如下Rayleigh阻尼假设，

(35)

式中：a0,a1分别为对应质量和刚度的比例常数。考虑由式(22)和式(29)表示的振型正交条件，且定义模态广义质量、广义刚度和广义地震作用分别表示为

(36)

(37)

(38)

由式(36)和式(37)，并计及关系式(1)、式(7)、式(8)，得到

(39)

然后将式(33)和式(34)相加，并注意到表达式(35)～式(39)，整理得到解耦的m阶模态坐标下的控制方程为

(40)

其中m阶振型阻尼比

(41)

m阶振型参与系数

(42)

2.3振型质量贡献的一般表达式与影响因素

下面，为了进一步探讨m阶振型质量参与系数γm的表达式，我们将式(30)两边对x做从0到H的定积分，再与式(31)相加得:

(43)

另一方面，将式(40)两边乘以ηmMm并计及关系式(25)、式(26)和式(35)，再对所有阶做无穷级数和得:

(44)

注意到关系式(32)，显然式(43)和式(44)的左边相等，则它们的右边也相等，即

(45)

(46)

将式(18)、式(19)代入上式进行解析积分，并注意利用关系式(10)进行化简，得到单墩-质点分布参数体系m阶振型质量参与系数的一般解析表达式为

γm=4(cosamH+coshamH)2/

rbp(sinaHcoshaH-cosaHsinhaH)2](1+rbp)}

(47)

振型质量参与系数被普遍用来衡量m阶振型对体系承受地震力的贡献，可以看到，式(47)表明振型质量参与系数由rbp和amH值确定，而从式(10)可知，amH又是由rbp唯一确定的。因此同样的，无论对于任何参数组合，只要是在SCM高墩体系满足欧拉梁假设的理论框架下，体系的振型质量参与系数γm也是由梁-墩质量比rbp唯一确定。

3若干简化公式推导

由以上两节分析可知，SCM体系的频率、振型和振型质量参与系数的一般解析表达式分别由式(5)、式(18)、式(47)给出，且只要在欧拉梁假设下确定体系的梁-墩质量比，各阶振型质量参与系数即可确定。

3.1一阶动力特性的简化公式

从“1”的分析和对图2的观察我们还不难意识到，a1H可以看成是被限制在0点邻域[0, 1.875]内的解，所以在该邻域内的函数可以在0点展开为关于aH的无穷泰勒级数，即麦克劳林级数，我们利用截断的级数关系则很可能获得既保持较好精度、形式又大大简化的公式，于是我们不妨利用如下麦克劳林级数

(48)

(49)

(49)

(50)

(52)

再计及式(5)和式(13)，由式(52)又得到

(53)

由于上述麦克劳林级数在m1无穷大处，即在aH=ω1=0处是精确的。而在m1=0处，其距离展开点最远，误差也最大，幸运的是，误差最大时该体系也退化为无集中质量的悬臂墩情形，存在简单精确解析解[15]，其根号前的精确系数应为表2表示的上界1.875，于是我们很容易利用这一点，给出修正的频率公式:

(54)

使得上式分别精确满足一阶解的上下界，即m1在无穷大和0处的频率值。然后，将截断的泰勒展式(48)～式(51)分别代入式(18)整理得到简化的一阶振型表达式

(55)

式(55)表示体系基本振型可以由墩身高度坐标的二次、三次非线性多项式表示，手算简便。

进一步，将截断的麦克劳林级数式(48)～式(51)分别代入式(47)，并计及式(10)，整理得简化的一阶振型质量参与系数表达式

(56)

值得注意的是，式(56)给出了由梁-墩质量比rbp唯一显式表达的一阶振型质量参与系数，手算简便，且从理论角度说明了梁-墩质量比是决定一阶振型质量参与系数，即评估等效单自由度模型适用性的最主要因素，也验证了文献[14]数值研究总结给出的结论。

3.2高阶动力特性的简化公式

下面分析二阶及二阶以上动力特性的简化公式。由于在非零点的泰勒级数展开相比麦克劳林级数的形式会复杂很多，所以按照前一小节的思路并不能得到形式上简便的二阶及二阶以上的动力特性公式。然而，从图2和表1我们可以看到，二阶及二阶以上的各阶amH区间长度相比一阶的区间长度小很多，且都几乎相等。因此，我们不妨用上下界直接给出如下统一的高阶amH表达式

amH=(amH)down+Δme-2rbp,m≥2

(57)

其中区间长度

Δm=(amH)up-(amH)down

(58)

再根据式(5)得到频率公式为

(59)

(60)

对于m ≥ 4，

(61)

由式(57)确定amH后，即可由式(18)确定振型，由式(47)确定各阶振型质量贡献。

4算例分析与公式验证

为了验证上述推导结果的正确性，我们沿用文献[14]设计的6类钢筋混凝土空心方形墩算例进行计算验证，墩身弹性模量为3.25×104N/mm2，纵筋配筋率为1.25%，考虑墩顶质量从0～1 500 t变化，其它参数见表2。计算结果与SAP2000软件的标准铁木辛哥梁有限元模型的分析结果进行对比，为了保证数值计算的精度，计算过程中细分单元并且考察细分前后模型误差。具体算例见表2。考虑地震作用下墩截面开裂对抗弯刚度的影响，根据轴压比和配筋率，按美国Caltrans规范图表的建议，各墩柱的抗弯刚度均取折减系数0.5。

4.1频率与振型分析

我们分别应用式(54)，式(55)，式(59)，式(60)和式(18)对表2中6类SCM体系的模态分析结果进行分析，并与相应的SAP2000采用标准铁木辛哥梁有限元的分析结果进行比较。图3和图4给出了其中60 m墩高SCM体系的对比结果，表中其余工况的分析结论也基本相同，这里不一一列举赘述。可以看到，简化公式的分析结果与数值分析结果吻合得很好，并说明剪切变形对表2中各类SCM体系的振型和周期影响很小。

表2　6类SCM体系的几何、物理参数

图3　60 m SCM体系前三阶T～m1曲线Fig.3 T～ m1curves of the first three modes of 60 m SCM system

图4　1 500 t墩顶质量的60 m SCM体系前三阶振型Fig. 4 The first three modes of 60 m SCM system with 1 500 t mass on top

4.2振型质量参与系数简化公式的验证

文献[14]对表2所示SCM体系不同梁-墩质量比情况下的前3阶振型质量参与系数进行统计，然后通过优化比较给出了前三阶振型质量参与系数与梁-墩质量比的数值拟合关系式，即γi-rbp曲线的建议公式如下

γi=a+bec·rbp

(62)

其中拟合参数(a，b，c)对应阶数i=1，2，3的值分别为(0.98，-0.34，-0.5)，(0.013，0.19，-0.45)，(0.004，0.065，-0.51)。由于该式在3

图5给出了表2中三类SCM体系的分析结果，表中其余工况的分析结论也基本相同，这里不一一列举赘述。由图5可知，本文公式总体上与有限元结果吻合得更好，由于我们是直接采用解析推导，给出的公式中各参数物理意义明确，曲线保持更好精度和连续性，且除了前三阶之外还可以给出任意阶分析公式的表达式。从图5中可知，公式的误差主要来源于欧拉梁理论没有考虑剪切变形，而有限元模型还考虑了剪切变形。尽管如此，本文公式的一阶振型质量参与系数曲线与数值分析结果误差非常小，符合剪切变形对高墩体系一阶振型影响很小的规律。公式的最大误差存在于高阶曲线在rbp还较小的阶段，符合剪切变形主要影响墩顶质量较小时的高阶振型的规律，但可以看到，该误差仍然很小，对总的累积振型质量参与系数影响很小，说明剪切变形对高墩SCM体系的水平动力特性不起明显作用，多数情况可以忽略。

4.3振型质量参与系数分布规律

当墩顶质量rbp= 0，将表1中(amH)up一列取值代入式(47)计算可得到此时各阶振型质量参与系数取值如表1第4列所示。同样，对于墩顶质量rbp= +∞的理想情形，由表1中(amH)down一列取值代入式(47)计算可得到相应的各阶振型质量参与系数取值见表1第5列。再结合图5可知，该SCM体系在无墩顶质量时，一阶振型质量参与系数达到61.31%，然后随着梁墩质量比增加而逐渐增大，直至收敛于100%。二阶和三阶振型质量参与系数在无墩顶质量时则分别达到18.83%和6.47%，然后随着梁墩质量比的增加反而减小，且收敛趋势都很快。由此可见前三阶累积振型质量参与系数的下限就已经达到86.61%，更高阶振型的影响很小。由式(56)和式(47)计算可知对于占大多数的rbp>0.55的SCM体系，前三阶累积振型质量参与系数>90%；当rbp>1.25，前两阶累积振型质量参与系数>90%。

考虑等效单自由度模型适用性的手算评估公式，我们可由式(56)直接求得由一阶振型质量参与系数显式表达的梁墩质量比为

(63)

式(63)可为评估等效单自由度模型或者仅考虑一阶振型模型的有效性提供参考，例如，如果要求模型振型质量参与>90%时，则将γi= 0.9代入式(63)可以得到rbp= 3.81，说明对于梁墩质量比rbp>3.81的高墩SCM体系，一阶振型质量参与系数即>90%，用等效单自由度模型进行分析有效性会保持较好。

5结论

(1) 通过基于分布参数欧拉梁理论的严格推导，分析了高墩梁桥SCM体系动力特性规律，更为严格的证明了梁-墩质量比是决定高墩SCM体系水平向振型质量参与系数的主要因素，从理论上解释了文献[14]基于数值分析结果的统计结论。

图5　SCM体系前三阶γi ～ rbp曲线Fig.5 γi ～ rbp curves of the first three modes for SCM system

(2) 推导了高墩梁桥SCM体系水平向动力特性和振型质量参与系数的一般表达式和简化分析公式，为严格定量分析高墩SCM体系水平向主导振型分布规律提供理论支持。算例表明，与已有的数值拟合公式相比，本文提供的振型质量参与系数公式精度更高，参数物理意义更明确，保持了更好的连续性，不受离散数值分析的局限，可以给出任意参数组合和任意阶振型的解析结果。在此基础上，还给出了评估等效单自由度模型或者仅考虑一阶振型模型有效性的参考公式。

(3) 本文理论分析的误差主要来源于欧拉梁理论本身没有考虑剪切变形的影响，但算例表明，公式结果与考虑剪切变形的有限元结果总体吻合得很好，这是由于剪切变形对高墩SCM体系一阶振型质量几乎不敏感，对高阶振型质量的影响也比较小，对累积振型质量参与系数的计算在多数情况可以忽略，这与已有的数值分析结论一致。

(4) 本文仅对墩底固结、墩顶铰接的等截面高墩SCM体系进行研究，尽管一定程度上反映了高墩抗震体系最主要的水平向动力特性，但仍有待于以此为基础，进一步将研究推广至变截面墩，以及墩底约束和墩顶连接条件更为复杂的情形。另外，累积振型质量参与系数仅是评估抗震体系地震作用下振型贡献的重要因素之一，对于不同地震输入下各阶振型贡献的影响规律，也有待于进一步研究。

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A theoretical study on the horizontal dominant vibration mode of a girder bridge with tall piers

CHEN Yang-yang, CUI Jie, LIU Bo, ZHOU Fu-lin

(State Key Laboratory for Seismic Reduction, Control and Structural Safety (Cultivation),Guangzhou University, Guangzhou 510405, China)

The single degree of freedom model was widely applied in anti-seismic analysis and was designed for regular girder bridges with medium-length or short-length piers. For girder bridges with tall piers, due to the obvious influence of higher-order modes, a simplified model and a method with multiple degrees of freedom or even with distributed parameters still need to be developed. In this paper, based on the theory of the Euler beam with distributed parameters, analytical derivation is presented for the single column and the mass system. The dynamical characteristics and modal mass distributions, as well as their control factors and properties, are studied. It is proved analytically and more clearly that the girder-pier mass ratio plays a dominant role in determining horizontal modal mass participation. Thus, interpretation of the previous conclusion based on statistical and numerical analysis is presented. Purely analytical formulas, which show higher accuracy and better applicability than the previous numerical fitting formulas, are also given. The influence of a higher-order vibration mode is analyzed and discussed. Finally, the manual calculation formula, for efficiency assessment of the single degree of freedom model, is also proposed.

tall pier; single column and mass system; modal mass participation; analytical derivation

10.13465/j.cnki.jvs.2016.12.003

“973”重点基础研究发展计划(2011CB013606)；“十二五”国家科技支撑计划(2012BAJ07B02)；国家自然科学基金 (U1334209)

2015-02-27修改稿收到日期：2015-06-23

陈洋洋 男，博士，副研究员，1981年12月生

TU352

A