影子变化规律的数学模型及视频信息的确定

杨坤++郑继明++刘慧鹏++肖敏

摘 要：通过分析被摄物体的太阳影子变化规律，建立非线性模型，确定视频拍摄地点和日期信息。采用多项式拟合确定当地出现影长最短的时刻，并通过与北京时间比较，求得被摄物体所处经度；利用影子顶点的坐标数据给出太阳方位角和影子长度随时间的变化规律，并反解出被摄物体所处纬度和拍摄日期。实例表明，在参照物体尺寸未知的情况下，该方法也能实现拍摄信息的提取。

关键词：多项式拟合；影子长度；太阳方位角；非线性模型

中图分类号：O13 文献标识码：A DOI：10.15913/j.cnki.kjycx.2016.14.009

在智能手机等电子产品普及的今天，拍摄视频已经不是少数专业人员的工作。在生活中，人们喜欢拿起手中的手机记录下一段视频。一般情况下，使用手机等电子产品拍摄的视频会根据手机的定位功能和时间记录下视频拍摄的地点和日期。但是在实际生活中，视频在传播过程经常会出现拍摄信息不同程度丢失的情况。与此同时，在分析视频数据时，拍摄信息的有无直接影响视频数据分析的结果。目前，对于传统拍摄信息的确定，有一些比较成熟的方法，比如文献主要利用网络摄像机拍摄目标图像，多传感器采集目标数据，经过处理后送入摄像机进行三维定位运算，从而获得地址信息的方法。然而，该方法需要大量的传感器来采集数据，对于已经拍摄好且失去了拍摄信息的视频来说，显然不适用。目前，很多视频拍摄设备都内置了世界主要的几种卫星定位模块，但是该模块记录的信息在实际的视频传播中很容易丢失或者被人为地删除。要恢复丢失的拍摄信息，需要具备较高的技术水平。因此，根据视频中已有的信息来获得拍摄地点和日期等信息，对于解决拍摄信息不同程度丢失的问题具有一定的应用价值。本文运用太阳影子定位技术，通过分析视频中被摄物体的太阳影子变化规律，给出一种确定视频拍摄地点和日期的方法，在一定精度范围内恢复结果较为理想。

1 模型的准备

为分析被摄物体的太阳影子变化规律，先给出建模的一些假设：①在一天内，太阳直射地球的纬度保持不变，即赤纬角保持不变；②闰年对赤纬角没有影；③太阳直射在地球上的光都是平行光；④忽略极端天气对太阳方位角的影响；⑤一般情况下，镜头所在平面与被摄物体平行。

为计算物体影子长度，记ts为太阳时（单位为h），n为日期序号，并设n=1表示1月1日，n=365表示12月31日，则时角ω和赤纬角δ的计算公式分别为：

太阳高度角α是以太阳为几何中心的视盘面与理想地平线的夹角。下面设被摄物体的长度和影子长度分别为H和L，且物体所处的纬度为φ，则太阳高度角的正弦可近似表示为：

由式（3）知，如果已知太阳高度角α ，则根据

2 模型的建立与求解

2.1 影子顶点视频中坐标与世界坐标的转换

对于视频数据，由于经过相机的成像变形，因此不能简单地认为视频中的影子长度与实际影子的长度有比例关系。建立Q1-xyz的世界坐标，如图2所示。设摄像机的光心坐标为O（p，q，r），则视线方向 （-p，-q，O），其中，Q3（O，O，r）为镜头沿着视线方向对应被摄物体上的点。

图2 相机成像示意图

我们假设k为被摄物体真实长度与像长的比值，即物像比，则：

. （5）

根据三角形相似定理，可得到像平面的点法式方程为：

. （6）

由于Pi，O，Pi'三点共线，且从镜头沿着视线反方向对应于像平面被摄物体上的点Q3'（a，b，r）在像平面上，因此，由式（5）和（6）可得：

于是，被摄物体在t时刻的影子长度为：

2.2 经度、纬度和日期求解模型

2.2.1 经度求解模型

生活经验和研究数据表明，在一天内，影子长度关于当地时间的变化曲线呈现“上午和下午影子长度在对称时刻是相等的”，满足开口向上的一元二次函数图像的特征。因此，可以根据已有数据进行多项式拟合。根据多项式曲线拟合原理，求解出关于影长和时间的拟合函数为：

其中，a>0，b，c均为常数。由式（10）可知，被摄物体

的影子在 时的影长最短。

假设某地被摄物体影长最短的时刻出现在当地时间正午12：00，物体所处的经度为φ，根据当地时间和北京时间tsb（东经120°时间），则可以得到经度为：

2.2.2 纬度和日期求解模型

根据式（4）影子长度与各个参数关系的模型可知，要求得影子的长度，必须知道被摄物体的长度。因此，需要在被摄物体长度未知的情况下，建立一个与被摄物体长度无关的模型。为此，在式（4）的基础上采用了不同时刻影长两两相比的方式，避开了被摄物体长度对模型求解的影响。具体做法如下。

根据式（4）影子长度与各个参数关系的模型，在t1，t2时刻的影长分别为：

式（14）与被摄物体的长度无关。

下面利用太阳方位角来确定纬度和日期。设太阳方位角为A，则 .于是，在t′=t1-t2的时间段中，太阳方位角的增量可以表示为：

同时，在坐标系中oxyz中，如果已知t1，t2时刻影子顶点坐标分别为（Xt1，Yt1）和（Xt2，Yt2），则由图3可得：

式（15）和（17）给出了在t′时间段中太阳方位角增量ΔA的两种计算方法。在实际计算过程中，由于t′的时间段中太阳方位角增量ΔA的实际值与理论值存在一定的偏差，因此不能用ΔA根据坐标求解得到的实际值代替理论值，需要再带回式（15）中反解出纬度和日期。本文根据实际情况，建立ΔA的实际值与理论值的相对误差最小模型，再利用式（15）反解出纬度和日期，具体解法如下。

根据式（15）和（17），对ΔA的实际值和理论值做差，并取绝对值的平方，得到的目标函数为：

再结合式（1）（2）（3）和（14），可以得到纬度φ和日期n应满足的约束条件，并可以建立以下非线性优化模型：

模型（19）的求解方法如下：①取任意时刻t1，t2，根据图2计算出L t1，L t2，L t′及ωt1，ωt2；②将所得计算数据代入模型（19）的目标函数和约束条件中，得到只含变量φ和n的优化问题；③由于存在日期关于夏至、冬至日对称而引起的多解，因此根据夏至日（n=173）、冬至日（n=365）将n的取值范围分为两段，再根据文献[5]和[6]的思想，利用LINGO软件编程求解，分别得到目标函数值最小时φ和n的取值；④对多组数据，重复上述步骤，对合理的值取平均值后得到最后结果。

注：根据地球公转运动规律，太阳的直射纬度在南北回归线之间，无论是在北半球，还是在南半球，在一年中，同一地点被摄物体影子出现相同运动规律一定会出现两次，且这两次的日期关于夏至日或者冬至日对称。因此，求解的结果会出现由于日期关于夏至、冬至日对称而引起多种拍摄日期与地点组合的可能结果。

3 实例应用

根据2015年高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题的附件4视频数据，应用本文提出的方法确定视频拍摄地点和日期信息。先建立以一条过被摄物体且平行镜头平面的直线为x轴，以垂直于x轴背对镜头方向的直线为y轴的坐标系，如图4所示。

再运用MATLAB软件的VideoReader函数，对视频每隔4 min提取一帧，求解得到不同时段的影子端点的像坐标。根据（7）（8）和（9）式可以求得视频时间换算与端点影长的关系，部分数据如表1所示。

对表1中的数据运用MATLAB软件进行多项式拟合，再利用式（11）求得该拍摄地点的经度为东经114°29'10"。最后根据2.2.2节中的求解方法，对式（19）利用LINGO软件编程求解，得到视频拍摄地点的纬度为北纬26°44'9"，拍摄日期为7月15日或5月29日。

4 结束语

根据被摄物体影子一天中随时间的变化可以得到该影子测量点的地理位置信息，这对当前比较热门的研究课题——影子定位技术有很好的利用价值。利用相机小孔成像的知识，从一段含有影子轨迹的视频中读取出视频拍摄的日期和地理位置，为利用太阳影子定位技术提供可行的理论依据。

参考文献

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〔编辑：刘晓芳〕