组合透镜系统成像虚实的判断

韦中超+柳月波+易亚军+黄早珊+梁瑞生

摘 要 本文以两薄透镜系统为例，对组合透镜系统的成像虚实情况进行了分析，得出了总的垂轴放大率β总的正负不能作为成像虚实的判断依据。并对其原因进行了分析：像的虚实与系统内部“像物相同”的数目有关，“像物相同”的数目为偶数时，用β总来判断成像的虚实性与实际成像的虚实性相同；“像物相同”的数目为奇数时，用β总判断的结果与实际成像的虚实性相反。对于组合系统成像虚实性，本文提出了一个新的判断依据，即用最后一个透镜的顶点到像的距离X的正负作为判断依据：X>0成实像，X<0成虚像。

关键词 组合透镜系统；垂轴放大率；实像；虚像；判断

中图分类号 O435.2 文献标识码 A 文章编号 1674-6708（2016）164-0120-03

从相关的教材[1-3]可知，对于单个透镜成像，我们可以直接利用垂轴放大率β的正负来判断所成像的虚实：当透镜的物空间与像空间的介质相同时，β>0，物像虚实相反；β<0，物像虚实相同。

β1、β2…βk分别为组合系统中各个透镜的垂轴放大率。

为了统一标准，先给出符号约定，如图1所示。

沿轴线段：以透镜顶点为坐标原点，右方为正，左方为负。

垂轴线段：以主光轴为界，上方为正，下方为负。

相邻两光具间隔d：前一透镜顶点到后一透镜顶点，顺光线方向为正，逆光线方向为负。

光学间隔△：前一光组像方焦点到下一光组物方焦点的方向与光线一致为正，反之为负。

我们以2两个薄透镜的组合为例探讨一下β总为正和为负两种情况下物像的虚实关系。

1）β总>0

例1：如图2，设有两个薄凸透镜O1和O2，其焦距分别为f1=10cm，f2=10cm，两者共轴，相距d=50cm，在主光轴上距透镜O1左方20cm处垂直于主轴放一物体，求最终成像的位置和虚实情况。

解析：为了直观、简便，我们采用逐次成像的方法来求像的位置及虚实。

假如由组合垂轴放大率β总来判断虚实，由于β总>0，且原物为实物，所以最后成像应与原物虚实相反，成虚像。但是由分析可得最后成像应为实像，所以，在此用组合垂轴放大率β总来判断最后成像虚实产生了误判。

2）β总<0

例2：如图3，设有两个薄透镜O1和O2，左边的O1是凸透镜，焦距为f1=10cm，而右边的O2是凹透镜，焦距f2=-10cm，两者共轴，相距d=30cm，在主光轴上透镜O1左方20cm处垂直于主轴放一物体，求最终成像的位置和虚实情况。

假如由组合垂轴放大率β总来判断虚实，由于β总<0，且原物为实物，所以最后成像应与原物虚实相同，成实像，但是由分析可得最后成像应为虚像，所以在此也不能用组合垂轴放大率β总来判断最后成像虚实。

从以上2类分析可知：对于组合透镜系统来说，不管是β总>0或β总<0，判断结果均有与实际成像虚实不符的情况。因此组合垂轴放大率β总的正负不能用来判断系统的成像虚实。

由上面的实例分析可知在组合透镜系统中，最终成像的虚实与β总的关系和单个透镜组成像虚实与β的关系不一样。通常，我们判断物（像）是实物（实像）还是虚物（虚像），都是以某一透镜系统为基准的，当前一透镜所成的实像作为后一系统的物的时候，这时物的虚实性是不能由其作为前一系统的像的虚实来直接认定，它既其可作后一系统实物又可以作为后一系统的虚物。下面是以两子系统进行分析，物经过系统两透镜后成像过程有以下12种情况：

1）物像相同：

由分析可知，组合垂轴放大率β总与最终成像的虚实性具有一定的规律：在组合透镜系统中，系统内部“像物相同”（即前一透镜所成的像作为后一透镜的物时的虚实性一致）的数目为偶数时，用组合垂轴放大率β总来判断成像的虚实性与实际成像的虚实性相同。所示系统内部“像物相同”的数目为奇数时，用组合垂轴放大率β总来判断组合透镜系统成像的虚实性与实际成像的虚实性相反。知道这个原则就可以根据垂轴放大率的符号及物的虚实直接判断最终像的虚实。

虽然根据上面的原则是可以判断最终成像虚实，但是由于判据中的“像物相同”的数目计算较为繁琐，所以这一方法并非是解决问题的捷径。我们知道对于单个透镜系统，可以利用像距l的正负来判断所成的像虚实。当一实物放在透镜的左侧对透镜进行成像时，如果l>0时，成实像，这是因为实像是由实际光线相交所形成的，出射光是会聚光，实像应在透镜右侧。当l<0时，成虚像，这是因为虚像是由光线的延长线相交所形成的，出射光是发散光，虚像应在透镜左侧。

对于组合透镜系统，我们一样可以通过求解最后一个透镜的像方主面到像的距离X的正负来判断成像虚实，可以将问题大大简化。下面以两个透镜组为例，成像虚实的判断可按以下步骤进行，位置关系见图4。

其中，lH为最后一个透镜到组合系统的像方主面的距离。

如果X>0，成实像，如果X<0，成虚像。

对于多个（>2）透镜组合系统的成像虚实判断也可以按照上面的步骤进行。

用以上方法重新对本文中的例1、例2及其他情况进行了判断，其结果与逐次分析判断后得到的结果一致。

综上所述：与单透镜不同，组合透镜系统的垂轴放大率β总不能作为系统成像虚实的判断依据。在分析原因的基础上，我们提出了一个新的判断方法：即利用最后一个透镜的像方主面到像的距离X的正负来作出判断，如果X>0，成实像，如果X<0，成虚像。

参考文献

[1]郁道银，谈恒英.工程光学[M].2版.北京：机械工业出版社，2006（1）：10-11.

[2]李晓彤，岑兆丰.几何光学﹒像差﹒光学设计[M].杭州：浙江大学出版社，2003（11）：13-14.

[3]迟泽英，陈文建.应用光学与光学设计基础[M].南京：东南大学出版社，2008（11）：37-38.