基于高度裕量的翼伞空投系统航迹规划

李天明 姚 敏 徐传敬 陈 奇

南京航空航天大学，南京 211100



基于高度裕量的翼伞空投系统航迹规划

李天明 姚 敏 徐传敬 陈 奇

南京航空航天大学，南京 211100

首先建立翼伞六自由度的模型，利用最优控制理论，分别采用时间最优控制、能量最优控制以及相应的改进控制算法对翼伞空投控制技术进行比较研究。并提出以高度作为判断准则的系统归航方案，分别对比在不同的高度下，各控制方法的优缺点及适用性。在此基础上运用Simulink仿真验证不同高度下的最佳规划航迹，最终为实际翼伞的投放提供理论基础。

航迹规划；最优控制；模型；高度裕量

当代，翼伞的应用已非常广泛。传统空投中，空投物的落地点具有一定的随机性，其着陆偏差较大。相比传统的圆形降落伞，可控翼伞有很多优点[1]，其良好的滑翔性能，可以在远离着陆区的空域释放。因此可控翼伞空投系统得到了广泛的研究。本文将最优控制算法应用到翼伞的精确空投中，根据不同的性能指标要求确定不同的控制方法，规划相应的最优控制轨迹，进而分析不同控制方法的异同点及适用性。

1 翼伞系统的飞行建模

由于本文主要研究翼伞系统质心的运动，因此可以将伞体和载体看作刚性的连接，对完全打开后的可控翼伞系统建立六自由度运动模型，并在该模型的基础上进行运动特性的仿真分析。

1.1 基本假设

对翼伞系统做以下的基本假设[2]：

1)空投物与翼伞之间无相对运动，即将物伞系统视为刚性连接；

2)翼伞是展向对称的，即当伞衣完全张满时形状是固定的；

3)翼伞的质心位于翼弦面上，并与压力中心重合，其位置在运动过程中保持不变。

1.2 翼伞系统运动方程

翼伞系统的模型可由以下六自由度方程来表示[3]质心平动的3个惯性位置自由度和转动的3个欧拉角。

(1)

(2)

令翼伞航迹角(速度与正北方向的夹角)为ζ，且

ζ=ψ+β

(3)

其中，ψ是翼伞的偏航角；β是侧滑角，且在翼伞平衡下降过程不变，则运动学方程可表示为：

x′=Vcosγcosζ+wx
y′=Vcosγsinζ+wy
z′=Vsinγ

(4)

式中，γ是系统平稳下降运动的下滑角。图1是系统受力的侧视图。对其进行受力分析：

图1 翼伞受力分析侧视图

D=-WsinγL′cosσ=Wcosγ

(5)

其中,L′可视为翼伞的升力，则下滑角以及转弯角速度为[3]：

(6)

(7)

其中，升阻比L/D，速度V，倾斜角σ都与其初始值和下拉量有关。因此，对于标准翼伞而言，在已知风速等环境参数的情况下，相对下拉量即决定了翼伞的运动状态。

1.3 翼伞模型的简化

现在定义参数：

τ=z(t0)-z(t)

(8)

在翼伞下降过程中，变量τ∈[0,H]。式(8)对时间求导，并结合式(4)可得：

(9)

对式 (4)进行变换，用(·)′表示对τ的求导，变换之后的翼伞运动方程为：

(10)

由此可知，在引入了新的变量之后，不仅降低了模型的计算维数，而且此时的自变量取值范围也固定了。

上述运动方程都是基于地面坐标系的，难以解决风速的影响，将空投系统航迹规划问题转换到气流坐标系，可以去除风的影响，使问题简化[4]，在此坐标系下，运动方程可以再次简化：

(11)

2 不同高度裕量的航迹规划

基于最优控制的航迹规划实际上就是运用最优控制算法规划一条航迹，使翼伞降落到地面时，正好到达目标点，且此时翼伞方向为逆风方向，以能完成雀降。假设预期的目标点是0点，且逆风方向是x轴正向,则所需的末端条件：

(12)

2.1 最优控制问题的描述

对于上述航迹规划的最优控制问题，哈密顿函数可以表示为：

H=L(x(t),u)+λxcosζ+λysinζ+λζu

(13)

其中，正则方程：

(14)

将式(11)带入上式积分得：λx=c2，λy=-c1，λζ=c1x+c2y+c，其中，c1,c2,c均为常数，且因为协态向量不为0，所以c1,c2,c不同时为0。航迹规划最优控制问题,即在控制量-umax≤u≤umax范围内找到最优值，使哈密顿函数收敛于极小值。

2.2 最优时间控制

2.2.1 杜宾曲线

对于最小时间控制来说，性能指标为：

L(x(t),u)=1

(15)

将式(15)带入式(13)可得

H=1+λxcosζ+λysinζ+λζu

(16)

当最优控制量存在于可控范围内，为求输入量u变化时哈密顿函数最小值，可求其偏导∂H/∂u=λζ。λζ>0时，哈密顿函数是一个关于输入量的正比例函数，此时最优解取输入量最小值。否则为反比例函数，此时最优解取输入量u最大值。

(17)

将式(17)控制量u代入到翼伞运动方程(11)可得最优时间控制归航的一些性质[6]：

1)最优控制量的取值是离散的，取0或±umax，所以最优规划轨迹是由半径最小的圆和直线组成;

2)最优航迹的直线组成部分相互平行，且指向一致;

3)直线λζ=0将航迹分成了两部分，一边控制量为正，一边控制量为负。

杜宾曲线就是翼伞从某一高度下降，规划航迹中所用时间最优的曲线。此时由不超过三段轨迹组成，每段轨迹要么是最小转弯半径的圆弧，要么就是一条直线(u=0)。

也就是说，时间最优规划航迹通常有以下6种可能：RSR，RSL，LSR，LSL，LRL，RLR，其中R代表最小转弯半径右转圆弧，L代表最小转弯半径左转圆弧，S代表直线运动轨迹。

翼伞投放起点是(500，-320)，目标点是原点(0,0)，最终逆风方向为x轴正方向。时间最优规划轨迹如图2所示，可得当翼伞降落到目标0点时，各种可能航迹下降的高度为RSR(1730m),RSL(2400m),LSR(1790m),LSL(1700m),LRL(1840m),RLR(2690m)。由此，得到最优时间控制的一个重要属性[8]：采用最优时间控制规划航迹，从起始投放点到目标点，所需下降的高度是离散且确定的。

图2 杜宾曲线示意图

2.2.2 高度裕量的定义

根据2.2.1节所讨论的杜宾曲线，对于同一个投放点，不同的路径所需的下降高度不同。现在定义所有的杜宾曲线中下降高度的最小值是τmin。即

τmin=min{τRSRτLSLτRSLτLSRτRLRτLRL}

(18)

显然，对于同一个起始投放点和目标降落点，精确归航所需的降落高度(即落地点的τ)τf必须满足以下条件：

τf≥τmin

(19)

令翼伞以最大的转弯角速度(即最小的转弯半径)旋转一圈所消耗的高度为τcircle，则高度裕量η，将其定义为超过系统归航所需的垂直距离的标准化衡量尺度，表示为：

(20)

2.3 改进杜宾曲线

2.2节所分析的基于时间最优的杜宾曲线并不能直接运用于实际的航迹规划问题，因为该方法中翼伞归航所需的下降高度是离散且固定的，并不具有普遍适应性。然而，对于任意高度裕量大于0的情况，都可以对上述杜宾曲线进行修改：即用一个更大的转弯半径的圆弧代替杜宾曲线的圆弧，此时翼伞的转弯角速度变小，以消耗掉多余的高度，最终满足航迹规划的末端条件[8]。

改进杜宾曲线即是找到一个转弯半径r>Rdubin的杜宾曲线，满足末端着陆条件。

2.4 最优能量控制

在翼伞投放过程，每次对翼伞两侧操纵绳施加下拉量，其响应必然会有一定的迟滞性。因此，为保障系统稳定，应避免频繁的操纵，尽量使控制过程能量消耗最小。

由2.1节可得，系统需要满足最优控制算法的正则方程，正则向量分别是λx=c2,λy=-c1,λζ=c1x+c2y+c。且此时的性能指标：

(21)

控制量在可控范围内时，同样可以得到不同条件下控制量的取值。

(22)

分析上述的控制量可知，当控制量处于不饱和状态时，即

u=-λζ=-(c1x+c2y+c)

(23)

可以分析最优航迹的一些性质[9]：

1)显然，当u=0，即c1x+c2y+c=0时，此直线将平面分成2个部分，一边严格大于0，一边严格小于0；

3)与时间最优控制相比，能量最优控制一般没有直线滑翔段；

4)控制量在不受边界控制的情况下，航迹不会出现同一个圆的一段连续圆弧。

2.5 能量管理控制

当高度裕量较大时，以上的航迹规划控制方法并不能很好地适用能量管理控制规划航迹[10]。可以分成以下几段：起始是一段杜宾曲线，起点是翼伞投放点，终点是下一阶段的圆上。此阶段目的是使翼伞尽快靠近目标点。第二阶段的航迹是一个圆，圆心位于过起点且斜率是±1的直线上，且距离终点水平面上距离较近。此阶段的翼伞转弯角速度控制在最大转弯角速度的80%左右，翼伞沿着该圆螺旋下降，直到高度裕量η≤5，该阶段结束。此阶段是一个盘旋削高的过程，目的是通过盘旋降低翼伞的高度裕量。最后一个阶段是降低高度后运用上节的能量最优控制使得翼伞最终到达目标点。

2.6 各控制方法适用性对比

以上几种最优控制算法都可以实现对航迹的规划，但每种方法都有其优势及局限性，对于不同的高度，不同的控制方法具有不同的优劣性。对于杜宾曲线，固定的投放点，只能实现固定离散高度的航迹规划，适用性很差。对于能量最优控制，在规划航迹之前， 参数c1,c2,c需要预估，当投放点的高度裕量较小或者距离目标点之间的水平距离较大时，预估参数较小的偏差都会造成最终降落点较大的偏差[11]。当高度裕量小到1时，翼伞系统很难收敛到目标点,此时改进的杜宾曲线较为合适。高度裕量大于1时，此时为了减少能量的消耗，更多地运用能量最优控制方式。当高度裕量大于5之后，能量管理控制方法在处理这种问题时有独特的优势。因此，对不同高度情况下的翼伞规划航迹，首先根据投放点和目标点求出τmin和τcircle，再根据高度求出高度裕量，根据以下原则选择航迹规划方法[6]:

1)高度裕量η<0，将翼伞对准目标点直线投放以减少误差；

2)高度裕量0≤η≤1，运用改进杜宾曲线规划航迹；

3)高度裕量1≤η≤5，采用能量最优控制方法产生规划航迹；

4)高度裕量η≥5，采用能量管理控制。

3 仿真结果及分析

通过上节分析可得，对翼伞航迹规划，只需求出翼伞的高度裕量，找到对应的航迹规划最优控制方法，再根据对应的航迹规划方法规划出航迹。

已知翼伞投放过程中，翼伞最大控制量对应的最小转弯半径为180m，则此时转弯一圈所消耗的高度τcircle=1125m。

3.1 高度裕量0≤η≤1

已知投放点坐标是(500,-320)，起始投放方向是x轴正方向，末端降落点(0,0)，且最终逆风方向也是x轴正方向，由杜宾曲线可得，此时最小下降高度是1700m。假设此时的下降高度是1840m；则裕量η=0.125，处于0～1之间，根据上节分析，此时选择改进杜宾曲线规划航迹。

图3 η=0.125翼伞控制归航轨迹

图3所示，翼伞高度下降为0，即到达水平面时，此时翼伞在水平面的坐标正好在目标点左右，即说明此时能够准确到达目标点。

3.2 高度裕量1≤η≤5

当投放起点仍是(500,-320)，下降高度升高至3000m时，此时的高度裕量η=1.16，处于1～5之间，选用能量最优控制算法。

图4所示即为起始投放高度为3000m时的投放轨迹，当高度降为0时，其着陆点满足条件。

图4 η=1.16翼伞控制归航轨迹

3.3 高度裕量η>5

假设起始投放点坐标是(2000,900)，下降高度是9000m，其高度裕量远大于5，其他的条件和上列情况一致，此时选用能量管理控制。

图5 η>5翼伞控制归航轨迹

图5为高度裕量大于5的航迹规划，主要分为3段，首先是杜宾曲线段，作用是快速接近目标点，然后是盘旋削高段，消耗多余高度。当裕量小于5时，用3.2节内容，采用能量最优控制到达目标点。

4 结论

将最优控制算法应用到翼伞航迹规划中，分别采用时间最优控制、能量最优控制以及能量管理控制对翼伞空投控制技术进行研究，得到不同控制技术的特点，找出对于不同高度的最优的控制方法，并仿真验证了各方法的可行性，为实际翼伞的投放提供理论基础。

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The Homing Trajectory Planning of Parafoil System Based on Height Margin

Li Tianming, Yao Min, Xu Chuanjing, Chen Qi

Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 211100, China

Asix-degrees-of-freedommodelisestablishedfortheparafoilhomingcontrolling,basedontheoptimalcontroltheory,theminimum-time,theminimum-control-energyandthestudyofimprovedcontrolalgorithmwhichiscomparedwithparafoilairdropcontroltechnology.Bytakingaltitudemarginasthejudgingcriterionofthehomingscheme,theiradvantagesandapplicabilityatdifferentaltitudesarediscussed.Basedonthese,throughSimulinkmodelsimulation,theoptimalhomingtrajectoryatdifferentaltitudesisobtainedandtheoreticalprincipleforactualparafoilairdropisintroduced.

Trajectoryplanning;Optimalcontrol;Model;Altitudemargin

2015-08-27

李天明(1991-)，男，江苏南通人，硕士研究生，主要研究方向为计算机测控和翼伞归航控制；姚 敏(1975-)，女，江苏扬州人，副教授，主要研究方向为计算机、嵌入式系统；徐传敬(1990-)，男，山东人，主要研究方向为嵌入式系统；陈 奇(1981-)，男，贵州人，讲师，主要研究方向为翼伞建模与控制。

V249

A

1006-3242(2016)03-0041-05