Fisher方程的小波数值方法

刘凤玲,沈有建,阮志毅

(海南师范大学 数学与统计学院, 海南 海口 571158)



Fisher方程的小波数值方法

刘凤玲,沈有建,阮志毅

(海南师范大学 数学与统计学院, 海南 海口 571158)

摘要：利用压缩映射、Legendre多项式和小波的正交性得到分片二次多项式小波的具体表达式, 然后将此小波作为基函数，采用配置法求Fisher方程的数值解，最后的数值实验说明了此方法求Fisher方程数值解的有效性和可行性.

关键词：Fisher方程; 分片二次多项式小波; 函数逼近; 配置法

1937年, Fisher[1]利用非线性反作用扩散方程来描述病毒变异体在长时间的无限生态环境中的变化情况.后来,此方程被广泛应用于基因繁殖、化学反应、燃烧学、神经生理学等方面，非线性Fisher方程形为

(1)

其中,α是反应因子,β是扩散系数,t表示时间,x表示距离,u(x,t)为人口密度函数.方程(1)也被称为Kolmogorov-Petrovsky-Piscunov方程,一直以来学者们探求了许多求解方程(1)的方法[2-8],并得到了非常好的结果.随着小波分析的快速发展,学者们开始利用小波作为基函数进行函数逼近求微分方程的数值解. 常用的小波函数有Haar小波、Legendre小波和Shannon小波等, 由于小波函数具有正交性、紧支撑性和消失矩等性质, 使其得到的微分方程数值解具有更好的结果[9-12].

笔者以分片二次多项式小波作为基函数, 采用配置法求Fisher方程的数值解.首先将根据分片多项式小波的构造方法，给出L2[0,1]上的分片二次多项式小波的显示多项式表达式，其次以分片二次多项式小波作为基函数, 利用配置法将Fisher方程离散成代数方程组，最后结合Fisher方程的初值及边界条件求出分片二次多项式小波系数进而求得Fisher方程的数值解.

1分片二次多项式小波的构造

本节将介绍分片多项式小波的一般构造方法[13-15].

定义空间

的内积为

则其诱导范数为

则L2[0，1]是一个Hilbert空间.

ψE∶=ψe0∘ψe1∘ …∘ψee-1，

并令子区间集合

显然有

(2)

TE∶=Te0∘ Te1∘ …∘ Ten-1,

显然,

不难看出空间Xn是嵌套的, 即

定义子空间

为Xn在Xn+1中的正交补空间, 即

(3)

(4)

(5)

其中

于是可得到W1的一组与W0正交的标准正交基(即初始小波基). 根据以上递推关系, 为了得到Wi(i=2,3,…,n)的基底, 可令

其中

μ(E)∶=2i-2e0+…+2ei-3+ei-2,r=w(1)，

得到一组多尺度的基函数，即

为了得到Wn上的分片二次多项式小波的显示形式, 首先取

W0={l1(t),l2(t),l3(t)},

其中li(t)为Legendre多项式

然后利用正交小波系的构造方法, 计算得出Wn上的分片二次多项式小波的显示多项式表达式如下:

当i=0时,

(7)

(8)

(9)

当i=1,2,3,…,j=1,4,7…,3·2i-1-2时，

(10)

(11)

(12)

2小波方法求Fisher方程

以分片二次多项式小波作为基函数, 采用配置法求Fisher方程的数值解, 且以数值例子来说明此方法的有效性. 对于方程(1), 考虑以下其初值及边界条件

u(0,t)=φ(t),u′(0,t)=φ(t)，

(13)

(14)

(15)

对方程(15)中的x由0到x进行二次积分可得,

(16)

对方程(15)中的t由t到ts进行一次积分可得,

(17)

对方程(17)中的x由0到x进行一次积分可得,

(18)

对方程(18)中的x由0到x再进行一次积分可得,

(19)

对方程(19)代入初值及边界条件可得,

(20)

将方程(16)、(17)和(19)代入到方程(1)中可得

(1-(u(0,t)+x(u′(0,t)-u′(0,ts))+u(x,ts)-u(0,ts)+

(21)

代入初值和边值条件可得

(22)

取初始值s=0,t0=0,代入方程(22)中得

(23)

代入到方程(23)求得分片二次多项式小波系数aij(t0),利用方程(17)和(20),在t=t1处分别求得u″(x,t1)和u(x,t1), 再代入方程(22)中求得aij(t1). 如此循环, 可得到分片多项式小波系数aij(ts). 最后,将aij(ts)代入到方程(19)中得到u(x,t)的数值解.

给出当α=6,β=1时方程(1)的数值结果来说明本文方法的有效性. 设方程(1)的初值及边界条件为

(24)

(25)

且其精确解为

(26)

利用上述方法,求得Fisher方程(1)在其初值及边界条件为式(24)和(25)时的数值解. 表1 给出了当分片二次多项式小波层数I分别取2和5时, 方程(1)的数值解、精确解及其相应的绝对误差.从表1中明显可以看出, 小波层数I=5时得到的误差比I=2时小，随着小波层数的增加, 绝对误差逐渐变小, 说明得到的数值解更加逼近精确解.

表1　当I=2，3，x=0.5时Fisher方程的数值解、精确解及其误差

3小结

基于空间L2[0,1]上的分片二次多项式小波建立了求解Fisher方程的数值方法. 利用小波的正交性以及分片多项式的构造方法得到分片二次多项式小波的具体显示多项式形式, 结合函数逼近和配置法将Fisher方程的初值及边值问题等价地转化为关于小波系数的代数方程组的求解问题. 分片二次多项式小波具有显示多项式形式使得在进行数值计算时更加的简单方便, 而且其多分辨分析性质使得计算结果更加稳定. 分片二次多项式小波也适用于和已有的小波数值方法结合求解微分方程和积分方程的数值解, 如小波有限元法, 小波配点法, 小波Galerkin法等.最后数值试验结果说明了本文的方法是有效的, 且具有较高的数值精度.

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Wavelet Numerical Method of Fisher Equation

Liu Fengling, Shen Youjian, Ruan Zhiyi

(SchoolofMathematicsandStatistics,HainanNormalUniversity,Haikou571158,China)

Abstravct：Inthereport,thecompressionmapping,Legendrepolynomialsandtheorthogonalityofwaveletwereusedtoobtainthegeneralformulaofpiecewisequadraticpolynomialwavelets,andthewaveletswereusedasbasisfunctionsandthecollocationmethodwasperformedtoobtainthenumericalsolutionofFisherequation.ThenumericalexperimentindicatedthatthemethodiseffectiveandfeasiblefortheFisherequation.

Keywords：Fisherequation;piecewisequadraticpolynomialwavelets;functionapproximation;collocationmethod

收稿日期：2015-09-28

基金项目：国家自然科学基金资助项目(11461018；41361108)

作者简介：刘凤玲(1989-), 女, 河南信阳人,海南师范大学2013级硕士研究生,研究方向：计算数学及其应用，E-mail:flliu116@qq.com 通信作者： 沈有建(1964-), 男, 海南海口人, 博士, 教授, 研究方向：基础数学、计算数学, E-mail:yjshen678@qq.com

文章编号：1004-1729(2016)01-0001-06

中图分类号：O 242

文献标志码：ADOl：10.15886/j.cnki.hdxbzkb.2016.0001