完美数：极具挑战的数学难题

曹向东/编译



完美数：极具挑战的数学难题

曹向东/编译

今年1月7日，美国数学家库珀通过参与一个名为“互联网梅森素数大搜索”（GIMPS）的国际合作项目，找到了目前人类已知的最大完美数——2^74207280（2^74207281-1）。它是第49个完美数，长达44 677 235位；如果用普通字号将它连续打印下来，其长度可达200公里！这一数论研究新成果的问世也使“完美数”这一数学概念走进公众视野。美国布朗大学曹向东博士特为本刊发来此稿，对人类探索完美数的历程及其科学意义、实用价值等作了详尽和深入浅出的介绍。

公元前三世纪，古希腊数学家欧几里得在《几何原本》第九章中首次给出了寻找完美数2^（P-1）（2^P-1）的方法，被誉为欧几里得定理；由此开创了研究2^P-1型素数的先河

完美数又称“完全数”、“完备数”或“完满数”，是一种特殊的自然数：它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和（即因子函数），恰好等于它本身。

完美数的由来

古希腊学者对数字情有独钟。他们在对数的因数分解中，发现了一些奇妙的性质，如有的数的真因数之和彼此相等，于是诞生了亲和数（如最小的一对亲和数220和284）；而有的真因数之和居然等于自身，于是发现了完美数（如最小的一个完美数6）。公元前4世纪，古希腊哲学家柏拉图在其所著的《理想国》一书中首先提出了完美数的概念。但在公元前6世纪，古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯及其学派就已经开始探究完美数了。

毕达哥拉斯曾经说过：“6象征着完美的婚姻以及健康和美丽，因为它的部分是完整的，并且其和等于自身。”不过，有人认为古印度人和以前生活在西亚地区的希伯来人早就知道完美数特征了，而古希腊人则将人们对完美数的认识提升到了一个更高的层次。

在中国文化里，有六常（仁、义、礼、智、信、孝）、六畜（牛、羊、马、猪、狗、鸡）、六谷（稻、黍、稷、粱、麦、苽）、六书（象形、指事、会意、形声、转注、假借）、六味（苦、酸、甘、辛、咸、淡）等说法，还有六出纷飞、六根清静、六合之内、六神无主、身怀六甲、六六大顺等成语。在中国历史长河中，六之所以熠熠生辉，是因为它是一个完美数，也是人们最先认识的完美数。难怪有学者说，中国发现完美数比其他国家还早。

《圣经》注释家通常认为，6是上帝创造世界时所用的基本数字，上帝花了6天时间创造万物。而古罗马天主教思想家圣·奥古斯丁却认为，6这个数本身就是完美的，并不因为上帝造物用了6天；事实上，因为这个数是一个完美数，所以上帝在6天之内把一切事物都造好了。这使得完美数充满了神秘的色彩，所以有些书籍称之为“上帝之数”。

公元前三世纪，古希腊数学家欧几里得在其名著《几何原本》中证明了素数有无穷多个，如2、3、5、7、11等等。该书第九章最后一个命题首次给出了寻找完美数的方法，被誉为欧几里得定理：“如果2^P-1是素数（其中指数P也是素数），则2^（P-1）（2^P-1）是完美数。”并给出了证明。

1644年，法国数学家梅森在未经证明的情况下断言：当P≤257时，只有这11个完美数。这就是著名的“梅森猜测”

公元一世纪，毕达哥拉斯学派成员、古希腊数学家尼可马修斯在其数论专著《算术入门》中，正确地给出了 6、28、496和8 128这四个完美数，并通俗地复述了欧几里得寻找完美数的定理及其证明。他还将自然数划分为三类：富裕数、不足数和完美数，其意义分别是小于、大于和等于所有真因数之和。

完美数在古希腊诞生后，吸引着人们像淘金般去寻找。可是，一代又一代人付出了无数的心血和汗水，第5个完全数没人找到。后来，由于欧洲不断进行战争，希腊科学逐渐衰退，一些优秀的科学家带着他们的成果和智慧纷纷逃往阿拉伯、印度、意大利等国，从此，希腊文明一蹶不振。

极艰辛的探究

到了13世纪，完美数的研究才出现一线曙光。意大利数学家斐波那契经过推算宣布找到了一个寻找完美数的有效法则，可惜没有人共鸣，成为过眼烟云。光阴似箭，1456年，还当人们迷惘之际，有人偶然发现在一位无名氏的手稿中，竟神秘地给出了第5个完美数33 550 336。这比起第4个完美数8 128大了4 000多倍。跨度如此之大，在计算落后的年代可想发现者之艰辛了，但是手稿里没有说明他是用什么方法得到的，又没有公布自己的姓名，这更使人迷惑不解了。

在无名氏的成果鼓励下，15至19世纪是研究完美数不平凡的日子，其中17世纪出现了小高潮。16世纪意大利数学家塔塔利亚小时曾被法国入侵者用刀砍伤舌头，落下了口吃的疾患，后来靠自学成才。他研究发现：当N=2和N=3至39的奇数时，2^（N-1）（2^N-1）是完美数。

17世纪有“神算大师”之称的庞格斯在一本洋洋700页的巨著《数的玄学》中，一口气列出了28个所谓“完美数”，他是在塔塔利亚给出的20个的基础上补充了8个。可惜两人都没有给出证明和运算过程，后人发现其中有许多是错误的。

意大利数学家克特迪历尽艰辛，终于在1588年正确地发现了第6个和第7个完美数2^16（2^17-1）和2^18（2^19-1），但他又错误地认为2^22（2^23-1）、2^28（2^29-1）和2^36（2^37-1）也是完美数。这三个数后来被法国数学家费马和瑞士数学家欧拉否定了。

1644年法国数学家梅森在其所著的《物理数学随感》一书中指出，庞格斯给出的28个“完美数”中，只有8个是正确的，即当P=2、3、5、7、13、17、19 和31时，2^（P-1）（2^P-1）是完美数，同时又增加了P= 67、P=127和P=257。在未证明的情况下他武断地说：当P≤257时，只有这11个完美数。这就是著名的“梅森猜测”。

“梅森猜测”吸引了许多人的研究，德国数学家莱布尼兹和哥德巴赫都认为是对的；他们低估了完美数的难度。1730年9月，被称为世界四大数学家雄狮之一的欧拉，时年23岁，正值风华茂盛。他出手不凡，给出了一个出色的定理：“每一个偶完美数都是形如2^（P-1）（2^P-1）的自然数，其中P是素数，2^P-1也是素数”，并给出了证明。这是欧几里得定理的逆定理。有了欧几里得和欧拉两个互逆定理，公式2^（P-1）（2^P-1）就成为判断一个偶数是不是完美数的充要条件了。

欧拉研究“梅森猜测”后指出：“我冒险断言：每一个小于50的素数，甚至小于100的素数使2^（P-1）（2^P-1）是完美数的仅有P取2、3、5、7、13、17、19、31、41和47，我从一个优美的定理出发得到了这些结果，我自信它们具有真实性。”

1772年欧拉因过度拼命工作双目已经失明了，但他仍未停止探究；他在致瑞士数学家丹尼尔的一封信中说：“我已经心算证明 P=31时，2^30 （2^31-1）是第8个完美数。”他的顽强毅力和解题技巧令人赞叹不已。同时，他发现自己过去认为P=41和P=47时是完美数是错误的。欧拉定理和他发现的第8个完美数的方法，使完美数的探究发生了深刻变化，可是人们仍不能彻底解决“梅森猜测”。

1876年法国数学家鲁卡斯创立了一种检验素数的新方法，证明P=127时确实是一个完美数，这使“梅森猜测”之一变成事实；他的新方法给人们探究完美数带来了生机，同时也动摇了“梅森猜测”，因为数学家借助他的新方法发现猜测中P=67和P=257时不是完美数。在以后1883至1931年的48年间，数学家发现“梅森猜测”中P≤257范围内漏掉了P=61、P=89和P=107时的3个完美数。

虽然“梅森猜测”中有错漏，但是梅森在17世纪的欧洲起了一个极不平常的思想通道作用，在学人心目中有着崇高的地位。为了纪念他对科学的贡献，1897年在首届国际数学家大会上（2^P-1）型的素数被命名为“梅森素数”。可以说，只要找到梅森素数，就可以找到与其对应的完美数。

在完美数的探究历程中，出现过很多有趣的事件。例如，1936年3月27日，美联社（AP）播出了一条令外人都瞠目结舌的新闻：纽约《先驱论坛报》报道说，芝加哥的数学家克利格宣称自己发现了一个155位的完美数2^256（2^257-1）；他认为自己已证明2^257-1是个素数。克利格说他花了17个小时把它算了出来，但证明它却用了5年之久。其实早在1922年，比利时数学家克莱契克运用抽屉原理验证了2^257-1不是素数。克利格下这样的结论，实在令人惊叹他孤陋寡闻。

在“手算笔录年代”，人们前赴后继，不断另辟新路径，创造新方法，耗时两千多年，仅找到12个完美数，即P=2、3、5、7、13、17、19、31、61、89、107和127时，2^（P-1）（2^P-1）是完美数。17世纪，法国数学家、哲学家、物理学家笛卡尔曾经公开预言：“能找出完美数是不会多的，好比人类一样，要找一个完美人亦非易事。”历史也证实了他的预言。完美数稀少而优美，所以被人们称为 “数论宝库中的 ‘钻石’”。

计算机来助力

电子计算机的出现，大大加快了探究完美数的步伐。1952年美国数学家鲁滨逊将“卢卡斯-莱默检验法”编译成计算机程序，使用SWAC型计算机在几个月内，就找到了5个梅森素数：2^521-1、2^607-1、2^1279-1、2^2203-1和2^2281-1。也就是说，他发现了5个完美数。

2016年，美国数学家库珀找到了目前人类已知的最大完美数2^74207280（2^74207281-1），它是第49个完美数，长达44 677 235位

探究完美数不仅极富挑战性，而且对探究者来说有一种巨大的自豪感。例如，1963年6月2日晚上8点，当第23个梅森素数2^11213-1通过大型计算机被找到时，美国广播公司（ABC）中断了正常的节目播放，在第一时间发布了这一重要消息。而发现这个素数的美国伊利诺伊大学数学系全体师生感到无比骄傲，为了让全世界都分享这一重大成果，以至把所有从系里发出的信封都盖上了“2^11213-1是个素数”的邮戳。由此可知，第23个完美数是2^11212（2^11213-1）。

随着指数P值的增大，每一个完美数的产生都艰辛无比；而数学家和数学爱好者仍乐此不疲，激烈竞争。例如，在1979年2月23日，当美国克雷研究公司的计算机专家史洛温斯基和纳尔逊宣布他们找到第26个梅森素数2^23209-1时，有人告诉他们：在两星期前美国加州的高中生诺尔就已经给出了同样结果。为此他们潜心发奋，又花了一个半月的时间，使用Cray-1型计算机找到了新的梅森素数2^44497-1。这件事成了当时不少主流报纸的头版新闻。后来史洛温斯基还独自发现了6个梅森素数，因而被人们誉为“素数大王”。也可以说，他是“完美数大王”。

分布式计算技术的出现使完美数的探究如虎添翼。1996年初，美国计算机专家沃特曼编制了一个梅森素数计算程序，并把它放在网页上供数学家和业余数学爱好者免费使用。这就是举世闻名的“互联网梅森素数大搜索”（GIMPS）项目，也是全世界第一个基于互联网的分布式计算项目；该项目主要利用大量普通计算机的闲置处理能力来获得相当于超级计算机的运算能力。美国计算机专家库尔沃斯基于1997年建立了 “素数网”（PrimeNet），使分配搜索区间和向GIMPS发送报告自动化。人们只要从该项目下载开放源代码的Prime95或MPrime软件，就可以马上寻找梅森素数了。

为了激励人们寻找梅森素数和促进网格技术的发展，总部设在美国的电子新领域基金会（EFF）于1999年3月向全世界宣布了为通过GIMPS项目来寻找梅森素数而设立的 “协同计算奖”。它规定向第一个找到超过100万位数的个人或机构颁发5万美元。后面的奖金依次为：超过1千万位数，10万美元；超过1亿位数，15万美元；超过10亿位数，25万美元。但是绝大多数研究者参与该项目并不是为了金钱，而是出于好奇心、求知欲和荣誉感。

美国加州大学洛杉矶分校的计算机专家史密斯于2008年首先找到超过1千万位的梅森素数——2^43112609-1，该数有12 978 189位。这一重大成就被著名的《时代》杂志评为“2008年度50项最佳发明”之一。不过，史密斯是私自利用学校的75台计算机参加GIMPS项目的；本来这种行为应该被处罚，但鉴于他为学校争了光，反而受到了校方的表彰。前不久，他获得了EFF颁发的10万美元大奖及金牌一枚。

今年1月7日，美国数学家库珀通过参与GIMPS项目找到了目前人类已知的最大完美数——2^74207280（2^74207281-1）。它是第49个完美数，长达44 677 235位；如果用普通字号将它连续打印下来，其长度可达200公里！澳大利亚数学家帕克指出，这是一个巨大的科学成就。

目前世界上有 192个国家和地区 60多万人使用超过100万台计算机参与GIMPS项目。迄今为止，人们通过该项目已经找到15个梅森素数，其发现者来自美国（9个）、德国（2个）、英国（1个）、法国（1个）、挪威（1个）和加拿大（1个）。也就是说，有15个完美数是通过 GIMPS项目被发现的。全球间接寻找新完美数的“数字游戏”仍在进行中。

有何实用价值

由于完美数具有奇特的性质、无穷的魅力和极大的挑战性，千百年来一直吸引着众多数学家和无数数学爱好者对它进行探究。也许有人会问：完美数有什么用？尽管我们现在还看不到完美数的实际用处，但它反映了自然数的某些基本规律，并推动了“数学皇后”——数论的研究。而构成完美数的关键部分——梅森素数在当代却具有重要的实用价值。

在计算机检测技术方面，梅森素数的寻找可以发现计算机芯片存在的问题。例如，去年第四季度上市的Intel Skylake是美国英特尔公司的第六代核心处理器，这个全新一代的处理器与第五代Broadwell处理器一样使用14纳米工艺，号称不仅提升了CPU性能尤其3D游戏性能，还特别注重节能性。但是今年初德国一名GIMPS项目参与者发现：当Intel Skylake处理器在执行Prime95应用来寻找梅森素数时，运算到指数P=14942209就出现了触发系统死机的漏洞。

Prime95是一款运行于微软视窗中的开源软件，由创立GIMPS项目的沃特曼编写；这款软件可以用来测试系统的稳定性。在所有的拷机软件中，Prime95是公认的最残酷的一款。它把负荷高得有点离谱的工作量加载在CPU身上，以此来考验CPU的承受能力。这种测试因其可以发现其他测试程序无法发现的稳定性问题而备受关注，被计算机制造商用来确定计算机的稳定性。美国克雷公司、苹果公司等从20世纪90年代开始就利用梅森素数来测试计算机的功能。有趣的是，1996年克雷公司在测试超级计算机 Cray T94的运算速度时，意外发现了第34个梅森素数2^1257787-1，该数长达378 632位。难怪美国数学家埃伦伯格认为，梅森素数在计算机工程领域的价值要远大于数学领域的价值。

此外，梅森素数在密码学方面有潜在的应用。现在人们已将大素数用于现代密码设计领域（如公钥加密和数字签名），其原理是：将一个很大的数分解成若干素数的乘积非常困难，但将几个素数相乘却相对容易得多。在这种密码设计中，需要使用较大的素数，素数越大，密码被破译的可能性就越小。

等待破解之谜

2500多年来，被发现的49个完美数，统统都是偶数，其中个位数不是6就是8，于是数学家提出疑问：存不存在奇数的完美数？1496年法国人文主义学者戴塔普勒说，欧几里得定理已给出所有的完美数，因此暗示无奇完美数存在。1633年11月，笛卡尔给梅森的一封信中，首次开创奇完美数的研究，他认为每一奇完美数必具有 PQ^2的形式，其中P是素数，并声称不久他会找到，可不仅直到他去世时未能找到，而且至今没有任何一个数学家发现一个奇完美数。这已成为数论领域的一大难题。

虽然目前谁也不知道奇完美数是否存在，但经过一代又一代数学家研究计算，有一点是明确的，那就是如果存在一个奇完美数的话，那么它一定是非常大的。有多大呢？远的不说，上世纪中期挪威数学家奥尔检查过10^18以下自然数，没有一个奇完美数；1967年美国数学家塔克曼宣布，如果奇完美数存在，它必须大于10^36，这是一个37位数；1972年，有人证明它必大于10^50；1982年，又有人证明它必须大于10^120；……这种难于捉摸的奇完美数也许可能有，但它实在太大，以至超出了人们能够用计算机计算的范围了。对奇完美数是否存在，产生如此多的估计，也是数学界的一大奇闻！

关于完美数还有许多等待破解之谜，如完美数之间有什么关系？完美数是否无穷多个？人们还发现完美数的一个奇妙现象：把一个完美数的各位数字加起来得到一个数，再把这个数的各位数字加起来，又得到另一个数，一直这样做下去，结果一定是1。例如，对于28，2+8=10，1+0=1；对于496有，4+ 9+6=19，1+9=10，1+0=1等等。这一现象，对除第1个完美数6外的所有完美数是否成立？完美数另一个现象更为奇妙：完美数可表示为连续奇数的3次方之和。例如，28=1^3+3^3，496=1^3+3^3+5^3+ 7^3，8128=1^3+3^3+5^3+…+15^3；而第 5个完美数33550336的被加者多达64项，难怪古人找它就花了1 000年。这一现象，对除6外的所有完美数是否也成立？完美数的难题与其他数学难题一样，有待人们去攻克；而破解这些未知之谜，正是科学追求的目标。

1992年，中国数学家、语言学家周海中给出了梅森素数分布的精确表达式。后来这一重大成果被命名为“周氏猜测”

值得一提的是，人们在寻找完美数的同时，对梅森素数的重要性质——分布规律的研究也一直在进行着。从已发现的梅森素数来看，它在正整数中的分布时疏时密、极不规则，因此研究梅森素数的分布规律似乎比寻找新的完美数更为困难。英、法、德、美等国的数学家都曾经给出过有关梅森素数分布的猜测，但他们的猜测都以近似表达式给出，而且与实际情况的接近程度均难如人意。中国数学家、语言学家周海中经过多年的努力，于1992年 2月首先给出了梅森素数分布的精确表达式；后来这一重大成果被国际上命名为“周氏猜测”。美籍挪威数论大师、菲尔茨奖和沃尔夫奖得主塞尔伯格认为，周氏猜测具有创新性，开创了富于启发性的新方法；其创新性还表现在揭示新的规律上。就目前研究文献来看，一些数学家和数学爱好者尝试破解周氏猜测，却至今未能证明或反证。

俗话说，“一叶知秋”、“滴水映海”。当我们追溯完美数探究历程之时，可以窥见其探究蕴含着数学家及数学爱好者的辛勤努力，正是由于他们的不懈奋斗，才取得了可喜的进展，并创造了今天的辉煌。

［资料来源：www.mathworld.com］［责任编辑：彦 隐］