基于改进线性二次型调节器的近地轨道编队卫星鲁棒控制*

杏建军，于　洋，王　祎，郑黎明，陈子昂

(中南大学 航空航天学院， 湖南 长沙　410083)



基于改进线性二次型调节器的近地轨道编队卫星鲁棒控制*

杏建军，于洋，王祎，郑黎明，陈子昂

(中南大学 航空航天学院， 湖南 长沙410083)

摘要：为解决编队卫星在近地空间复杂力学环境特别是地球非球形摄动作用下构型易发散的问题，给出一种基于改进线性二次型调节器的编队卫星构型控制方法。该方法先估计近地空间编队卫星构型设计时由未建模摄动力引起的误差最大有界范围，再利用误差最大有界范围的二范数改进经典的线性二次型调节器控制方法，提高经典线性二次型调节器控制器在控制编队卫星构型时的鲁棒性。为评价改进方法的有效性，给出了一种鲁棒性强弱的量化评判标准。仿真结果表明，改进的方法可以大大提高经典线性二次型调节器方法的鲁棒性，增强编队卫星控制方法对各种不确定项的抵御能力。

关键词：编队卫星；J2摄动；线性二次型控制；鲁棒控制

编队卫星飞行技术是当今航天领域的一个热点，它利用若干颗小卫星替代传统的大卫星，具有费用低、性能好、适应性强等优点。编队卫星飞行技术为对地观测和宇宙探测等领域带来了革命性的影响，为卫星的应用开辟了一个崭新的空间，因此成为21世纪航天领域的战略制高点。

编队卫星飞行技术的实现依赖于编队卫星的构型。近地轨道编队卫星在实际运行中会受到空间各种复杂摄动力的影响，导致其不按设计的构型飞行，因此编队卫星的构型保持是编队卫星成功应用的关键技术之一。国内外众多学者对此问题进行了研究[1]。在线性控制器设计方面：Sparks[2]和Gurfil等[3]利用C-W方程设计了满足圆参考轨道的线性二次型调节器(LinearQuadraticRegulator，LQR)控制律；Vaddi等[4]和Sengupta等[5]建立基于线性化的T-H方程对椭圆参考轨道的构型控制进行了研究；Tillerson和How[6]提出误差盒的概念,将空间摄动力考虑在构型控制模型中,只有当误差积累达到设定条件时才启用控制，有效地减少了能耗；Liu等[7]设计了一种使LQR模型鲁棒的控制方法，增强了系统的抗干扰性。在非线性控制器设计方面：Queiroz等[8]利用非线性轨道动力学方程描述编队卫星的相对运动，设计了非线性自适应控制器；曹喜滨等[9]研究只利用星载设备而无须地面站的参与，能够在主星机动与控制、环境干扰未知的情况下完成对编队系统自适应控制的方法；Massey[10]提出了一种鲁棒性较强的跟踪控制方法,并设计了自适应滑模控制器；杏建军等[11]用约束力控制法，通过修正有效地抑制了编队卫星初始化、参考卫星轨道确定及相对动力学建模等误差的影响，提高了系统的鲁棒性。

尽管国内外许多学者已对编队卫星的构型控制进行了大量研究，但还存在有待改进的地方。在线性控制器设计方面，虽然有方法简单、易于执行等优点，但由于采用了线性化的模型，存在鲁棒性不足的问题；在非线性控制器设计方面，虽然有数学模型精确、鲁棒性强的优点，但存在方法复杂、不易执行的缺点。

1数学模型

1.1坐标系的选取[12]

①地心赤道惯性坐标系O-XYZ：简称惯性坐标系，定义坐标原点O为地心，X轴沿赤道面与黄道面的交线指向春分点，Z轴指向地球北极，Y轴由右手定则确定，垂直于X轴和Z轴所组成的平面。②相对运动坐标系o-xyz：也称轨道坐标系，定义坐标原点o为参考星质心，x轴由地心指向参考星的质心，z轴沿卫星轨道面正法线方向，y轴由右手定则确定，垂直于x轴和z轴所组成的平面。图1给出了这两坐标系的示意图。

图1　坐标系示意图Fig.1　Coordinate system schematic diagram

1.2相对动力学建模

为了尽可能真实地反映编队卫星在近地轨道的运行情况，考虑近地轨道最主要的J2摄动，采用地心赤道惯性坐标系数值积分和坐标变换的方式计算编队卫星之间的相对运动，用于编队卫星构型控制器的验证。同时由于近地空间力学环境的复杂性，诸多摄动无法全都考虑在动力学模型中，故为了保证模型的精确性，在动力学模型中加入白噪声代替未建模误差。

在地心赤道惯性坐标系中，J2摄动条件下参考卫星和伴随卫星的绝对运动方程为:

(1)

对式(1)积分分别得到参考卫星和伴随卫星在惯性坐标系中的绝对运动参数，然后求差并转换到相对运动坐标系中，得到J2摄动条件下伴随卫星相对参考卫星的运动状态参数：

(2)

(3)

1.3控制器设计

1.3.1经典LQR控制器

在近地轨道编队卫星的线性控制系统中，应用较成熟的是LQR控制器[13]。将系统的动力学模型写成状态空间形式为：

(4)

通过设计输入量u，使系统满足性能指标：

(5)

为使性能指标泛函值最小，控制输入应为：

(6)

式中，矩阵P满足Riccati微分方程，即：

PA+ATP-PBR-1BTP+Q=0

(7)

经典LQR控制方法可得到状态线性反馈的最优控制律，并能兼顾系统的多项性能指标，且方法简单易于实现，因此应用非常广泛。但此方法仅适用于线性动力学方程，对于复杂非线性系统鲁棒性较差。

1.3.2改进LQR控制器

针对近地编队卫星运行的力学环境复杂、非线性强，传统LQR控制器鲁棒性不足的问题，在经典LQR控制的基础上，考虑未建模摄动力的误差，给出一种改进的LQR控制器，提高其在近地编队构型控制中的鲁棒性。

考虑如式(8)所示的动力学系统：

(8)

式中，ω(x)为未建模的摄动力。

改进LQR的鲁棒控制是通过寻找反馈控制律u使系统在不确定干扰ω(x)作用下全局渐进稳定[14]。

将式(8)的动力学方程写成带有不确定项的状态空间表达式[15]为：

(9)

通过寻找反馈控制律[uv]T使系统满足目标函数：

且有：

(11)

其中，v为解决不确定项的辅助扩展控制量；

C=I-BB+=diag([1,0,1,0,1,0])

(12)

B+为矩阵B的广义逆矩阵；F和D均为对角矩阵；α≥0,β≥0,ρ≥0，且

(13)

当取α=ρ=0，β=1，且F=Q1，D=R1时，即转换为式(5)所示的经典LQR控制问题。

为使系统性能指标泛函值最小，控制输入应为：

(14)

式中，矩阵P同样满足式(7)的Riccati微分方程。因此，由式(10)可知，在改进LQR控制方法中：

(15)

(16)

1.3.3J2摄动对编队卫星构型影响的估计

考虑地球J2摄动线性化的影响，得到J2摄动修正的编队卫星相对动力学方程[16]为：

(17)

将式(17)写成状态空间形式：

(18)

(19)

将式(19)进行有界处理，得到上界：

(20)

1.4控制器鲁棒性的量化评判标准

文献[17]中给出了三种定量方法评判控制系统的鲁棒性，并认为第三种评判方法最准确。因此，本文采用文献[17]中的第三种方法比较经典LQR控制和改进LQR控制的鲁棒性强弱。第三种量化评判标准为：

(21)

此评判标准的M值越大，说明系统的鲁棒性越强，抗干扰能力也越强。该方法因考虑了每个特征值的临界稳定性，确保每一个特征值都不会引起系统的不稳定，因而对于评判系统的鲁棒性强弱更精确也更全面。

2仿真验证

2.1初始条件

采用C-W方程设计的水平圆编队作为仿真算例。初始时刻参考星和伴随星在地心赤道惯性坐标系下总的位置和速度如表1所示。

在经典LQR控制中，由式(4)～(7)得：

A1=A，B1=B

Q1=diag([n6,0,n6,0,n6,0])，

R1=diag([n4,n4,n4])

在改进LQR的鲁棒控制中，取α=β=ρ=1，由式(9)～(20)可得：

A2=A

F=diag([n6,0,n6,0,n6,0])

R2=diag([n4,n4,n4,1,1,1,1,1,1)]

其中：仿真时间均取20 000s；J2=0.001 082 629 989 052；r=7 000 000m； μ=3.986 004 418×1014m3/s2；Re=6 378 137m。

2.2仿真结果

2.2.1不考虑其他摄动时的仿真结果比较

首先只考虑J2摄动，不考虑其他摄动，即式(1)中白噪声为0。分别考虑编队卫星在无控、经典LQR控制和改进LQR控制三种情况下，与基于C-W方程设计的理想水平圆相比，伴随卫星的位置误差曲线及推进剂消耗曲线如图2所示。

表1　参考卫星和伴随卫星的初始位置和速度

由图2(a)可知，只考虑J2摄动，系统无控时，伴随卫星的位置误差曲线逐渐发散，在20 000s时就已基本达到了1500m，说明若系统不加控制，位置误差会无限制地增大，不可能精确地保持C-W方程设计的编队构型。

由图2(b)可知，只考虑J2摄动，当系统采用经典LQR控制时，伴随卫星的位置误差保持收敛，且基本收敛在0.3m范围内。

由图2(c)可知，只考虑J2摄动，当系统采用改进LQR的鲁棒控制时，伴随卫星的位置误差保持收敛，基本收敛在0.06m范围内。

再由图2(d)可知,无白噪声时经典LQR和改进LQR的推进剂消耗曲线重合，在20 000s时推进剂消耗均在5.76m/s左右。

不考虑其他摄动，系统无控制、经典LQR控制和改进LQR鲁棒控制三种情况的推进剂消耗ΔV如表2所示。

因此，由图2和表2可以看出，只考虑J2摄动时，无控制系统的位置误差随时间逐渐发散，而经典LQR控制和改进LQR鲁棒控制的位置误差均收敛在很小的范围内，且改进LQR的鲁棒控制误差收敛范围明显比经典LQR控制收敛范围小。这说明只考虑J2摄动时，改进的LQR控制方法在推进剂消耗相同的情况下，较经典的LQR控制方法控制精度更高。

(a) 无白噪声时不加控制的位置误差曲线(a) Uncontrolled position error with no white noise

(b) 无白噪声时经典LQR控制的位置误差曲线(b) Classical LQR control position error with no white noise

(c) 无白噪声时改进LQR控制的位置误差曲线(c) Improved LQR control position error with no white noise

(d) 无白噪声时两种控制方法的推进剂消耗曲线(d) Propellant consumption of two controlmethods with no white noise图2　无白噪声时的位置误差和推进剂消耗曲线Fig.2　Position error and propellant consumptionwith no white noise

无控经典LQR改进LQRΔV/(m/s)05.7605.761

2.2.2考虑白噪声时的仿真结果比较

考虑除J2摄动外其他摄动的影响，且认为其他摄动可由功率谱密度为10-4的白噪声模拟。分别考虑编队卫星在无控、经典LQR控制和改进LQR控制三种情况下，与基于C-W方程设计的理想水平圆相比，伴随卫星的位置误差曲线及推进剂消耗曲线如图3所示。

由图3(a)可知，加入功率谱密度为10-4的白噪声，系统无控时，伴随卫星的位置误差曲线逐渐发散，在20 000s时就已基本达到2.2×105m。这说明若系统不加控制，伴随卫星的位置误差会无限制地增大，不可能精确地保持C-W方程设计的编队构型。

由图3(b)可知，加入功率谱密度为10-4的白噪声，当系统采用经典LQR控制时，伴随卫星的位置误差仍保持收敛，但误差范围明显增大，基本收敛在8m左右。

由图3(c)可知，加入功率谱密度为10-4的白噪声，当系统采用改进LQR的鲁棒控制时，伴随卫星的位置误差虽然增大，但仍保持在较小的收敛范围内，且基本收敛在0.6m左右。

再由图3(d)可知，加入白噪声后改进LQR的推进剂消耗曲线明显高于经典LQR的，在20 000s时推进剂消耗分别达到了607.41m/s和281.10m/s。

加入功率谱密度为10-4的白噪声，系统无控制、经典LQR控制和改进LQR的鲁棒控制三种情况下的推进剂消耗如表3所示。

因此，由图3和表3可以看出，加入功率谱密度为10-4的白噪声后，无控制的编队已不按预定构型运行，经典LQR控制和改进LQR的鲁棒控制误差虽仍收敛，但前者误差明显增大，后者依旧保持较小的误差范围。同时，改进LQR的鲁棒控制较经典LQR控制消耗的推进剂更多，因为前者将系统的未建模摄动考虑在内，通过消耗燃料来控制构型的精确性。

由此说明，加入功率谱密度为10-4的白噪声后，经典LQR控制的误差会随着白噪声的增加而明显增大，系统的鲁棒性较弱，抗干扰能力较差；而改进LQR的鲁棒控制仍将误差控制在很小的范围内，系统具有很强的鲁棒稳定性，抗干扰能力较强，更利于编队构型的精确保持。

(a) 有白噪声时不加控制的位置误差曲线(a) Uncontrolled position error with white noise

(b) 有白噪声时经典LQR控制的位置误差曲线(b) Classical LQR control position error with white noise

(c) 有白噪声时改进LQR控制的位置误差曲线(c) Improved LQR control position error with white noise

(d) 有白噪声时两种控制方法的推进剂消耗曲线(d) Propellant consumption of two control methodswith white noise图3　有白噪声时的位置误差和推进剂消耗曲线Fig.3　Position error and propellantconsumption with white noise

无控经典LQR改进LQRΔV/(m/s)0281.10607.41

2.2.3利用评判标准进行鲁棒性的验证

利用文献[17]给出的评判标准，由式(21)分别求出经典LQR控制方法和改进LQR鲁棒控制方法的M值(见表4)，验证所给出的改进LQR控制方法的鲁棒性。

表4　两种方法的M值

由表4可知，对于同一编队卫星模型系统，改进LQR鲁棒控制的M值比经典LQR控制的M值基本高一个数量级，说明所给出的改进LQR控制方法的系统鲁棒性明显强于经典LQR控制方法。又由图3可得，在加入随机扰动后，两种方法的鲁棒性与此评判标准一致，从而验证了所给出的改进LQR控制方法的有效性。

3结论

1)针对线性控制器鲁棒性不足、非线性控制器模型复杂不易实现的问题，给出一种基于改进LQR的鲁棒控制方法，将线性控制器中的LQR控制器和系统鲁棒性有机结合在一起，并把估计出的近地空间不确定性引起的最大有界范围误差加入编队卫星的动力学模型中。该方法既继承了经典LQR控制器简单易执行的优点，又在很大程度上提高了系统的鲁棒性，因此可以提高近地复杂力学环境下编队卫星构型控制的鲁棒性。

2)通过仿真比较加入白噪声前后系统无控、经典LQR控制及改进LQR控制情况下伴随卫星的位置误差和推进剂消耗，结果说明所给出的改进LQR控制器具有更好的鲁棒性和抗干扰性，其能有效提高伴随卫星的位置精度。

3)评判系统给出的鲁棒性强弱的量化标准与仿真结果一致，继而验证了文中给出的改进LQR控制方法的有效性，同时也为今后的鲁棒性评判提供了方法。

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Robust control of low earth orbit satellites formation based on improved linear quadratic regulator

XING Jianjun, YU Yang, WANG Yi, ZHENG Liming, CHEN Ziang

(SchoolofAeronauticsandAstronautics,CentralSouthUniversity,Changsha410083,China)

Abstract：Inordertosolvetheconfigurationdivergenceproblemsofformationsatellitesunderthecomplexmechanicsenvironmentinnear-earthspace,especiallyunderthenon-sphericalperturbationinfluence,aformationsatellitesconfigurationcontrolmethodbasedonimprovedLQR(linearquadraticregulator)waspresented.Themethodestimatedthemaximumboundedrangeoferrorcausedbyanun-modeledperturbativeforceinnear-earthspaceformationsatellitesconfigurationdesign,thenusedthe2-normofmaximumboundedrangetoimprovetheclassicalLQRmethodandimprovedtherobustnessofclassicalLQRcontrollerincontrollingformationsatellitesconfiguration.Inordertoevaluatetheeffectivenessofimprovedmethod,aquantitativecriterionforjudgingtherobustnesswasgiven.ThesimulationresultsshowthattheimprovedmethodcangreatlyimprovetherobustnessofclassicalLQRmethodandimprovetheresistanceabilityofformationsatellitescontrolmethodsforallkindsofuncertainty.

Keywords：satellitesformation;J2perturbation;linearquadraticregulatorcontrol;robustcontrol

doi:10.11887/j.cn.201603017

收稿日期：2015-05-26

基金项目：中国博士后基金资助项目(20080440217，200902666)

作者简介：杏建军(1975—)，男，甘肃兰州人，副教授，博士，硕士生导师，E-mail:xjj@csu.edu.cn

中图分类号：V412.41

文献标志码：A

文章编号：1001-2486(2016)03-100-07

http://journal.nudt.edu.cn