浅谈数学中的辨证思想

胡尔轩

【摘 要】数学中蕴涵着丰富的思想内涵，辨证思想是这些思想内涵中的重要组成部分。本文从基本概念出发，深入研究数学中的辨证思想。具体来说就是通过实例来讨论直与曲、连续与间断、有限与无限、数与形等辨证法思想在数学中的应用。

【关键词】数学；辨证思想；直与曲

辨证思想是指以变化发展的视角认识事物的思维方式，通常被认为是与逻辑思维相对立的一种思维方式。在逻辑思想中，事物一般是“非此即彼”或“非真即假”等等，而在辨证思想中，事物可以在同一时间里“亦此亦彼”、“亦真亦假”而无碍思维活动的正常进行。

辨证思想是一种世界观。世界万物之间是互相联系，互相影响的，而辨证思想正是以世间万物之间的客观联系为基础而进行的对世界进一步的认识和感知，并在思考的过程中感受人与自然的关系，进而得到某种结论的一种思维。辩证思想的本质是反应客观事物矛盾着的两方面的相对统一和相互转化，因此，辨证思想的要害是抓住对立面的联系、渗透和转化。反映在数学中，就是应该重视事物的数量、形式和结构间的内在矛盾，自觉地有意识地运用辨证规律来解决问题。

数学中充满着矛盾、充满着辩证法。古今数学家都把自然辨证法的思想作为研究数学的指导思想。如果说古代数学中的辨证法是零乱、杂散的，那么近代数学就比较集中大量涉及及运动变化和辨证统一的哲学思想。到19世纪70年代，数学与辨证法已成为一对不可分割的孪生姐妹，辨证法更是数学中不可缺少的必要因素。

1 直与曲的辨证关系

直与曲是两个完全不同的数学概念。从直观形象看，前者平直后者弯曲；从几何特性来看，前者曲率为0，后者曲率不恒为0；从代数表达式来看，前者是线性方程，后者是非线性方程。因此，直与曲的差别是明显的，那么这两个差别如此显著的对立概念是否存在内在联系，能否在一定条件下互相转化呢？

从数学的思想方法中可以看出，直与曲除了有非直即曲的一面，也存在亦直亦曲的一面。存在直与曲之间的中介状态，通过这个中介状态实现直与曲的转化。比如，曲线的渐近线是指，在曲线无限延伸时与一条定直线“无限接近，但永不相交”，其数学表达式如下确定：设曲线为y=f（x），其渐近线为y=kx+b且其斜率存在，则：

利用直与曲的这种中介状态，实现局部范围内的“以直代曲”，是数学中的一种基本的辩证思想方法。

2 连续与间断的辨证关系

2.1 在数学中，连续与间断带来函数性质的显著差异

2.2 连续与间断在一定条件下可以相互转化

随着数学的发展，对函数连续与间断的认识也在深化，在一定条件下，实现了连续与间断的相互转化。

比如，利用定积分的定义来求n项和数列的极限，就是用连续研究间断（离散）的典型方法。

连续与间断的转化还体现在日常生活中，比如，电视机的画面是连续分布的，但电视机上的画面是由点阵组成的；打印机打印的文字也是由点阵组成的，这都是用离散量来逼近连续量的具体体现。

3 有限与无限的辩证关系

数学中有许多问题都是在有限范围内讨论的，但往往又与无限有着密切的联系。在数学的运算中，有限运算与无限运算有着本质的区别。希尔伯特编了这样一个故事：有一个无限多个房间，可以接待无限多个客人的旅馆，来了一位新客人，经理通知所有客人搬到下一号房间去住，这样第一号房间空出，可以供新客人来往，突然又来了无限（可数）多个客人，经理让每个客人搬到原有号码的的二倍房间去住，新来往的客人全搬到空出的奇数号房间。

对于第一种情况，由于来的客人是有限的，所以是在有限的范围内进行运算，与无限多个房间并没有关系。而第二种情况，来的客人是无限多个，则应该在无限的范围内进行运算，无限多个房间恰好给这个运算提供了条件。从这里可以看出，有限运算与无限运算的本质区别在与他们是在不同的范围内进行运算，两者之间没有联系。

数学中的许多公理和运算律也有着局限性。有限加法的交换律、结合律都成立，而对无限项结合律未必成立。如对无穷级数1-1+1-1+…+（-1）n+1+…，它本身就是一个发散级数。如果按下列方式结合（1-1）+（1-1）+…，它又收敛与0。如果按下列方式结合1-（1-1）+（1-1）-…，它又收敛与1。

虽然有限与无限有的本质的区别，但是它们有着密切的联系。

4 数与形的辨证关系

代数与几何是数学中的主体内容，它们是密不可分的。对此华罗庚先生曾经有过精辟的论述：“数形本是两依依，数缺行时少直观，行少数时难入微，数行相助双翼飞”。数与形是现实世界中客观事物的抽象和反映，是数学的基石。恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。

4.1 代数问题几何化

4.2 几何问题代数化

在立体几何中，我们常会遇到诸如证明线线垂直线面垂直或计算异面直线所成的角线面角以及二面角一类的问题，而在某些情况下这些问题用常规的方法（几何法）解决会有很大的难度，而转为利用代数方法（空间向量法）来解决则要容易的多。

该题直接作出二面角有些困难，而把它代数化后，运用向量的知识来解决问题就变的简单些了。所以我们平时要具有几何与代数的辩证思想。

恩格斯说过：数学是辨证的辅助工具和表现方式。数学内容和数学方法中包含着大量的辨证思想。值得指出的是，不要孤立的看待上述各种辩证思想策略，它们是相互渗透，水乳交融的，在解题过程中，从优化思想品质和提升自身辩证思想出发，重视辩证思想策略的启导是提高解题策略的一条有效途径。

[责任编辑：王楠]