等待·放权·探究——《等比数列的前n项和》教学例谈

初晓文吉林省珲春市第一高级中学

等待·放权·探究
——《等比数列的前n项和》教学例谈

初晓文
吉林省珲春市第一高级中学

新的课程视角下，如何“从生活中来，到生活中去”，让数学知识和现实互为印证，需要教师的耐心和选择，当然，更需要教师的眼界和气魄。这种“眼界和气魄”更多地表现在：教师应该多一些等待，多一些放权，给予孩子们更多自主探索延伸的自由和空间。

等待；放权；探究

人教版高中A版数学《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。如何“从生活中来，到生活中去”，让知识和现实互为印证，发生深刻共鸣，需要教师的耐心和选择，当然，更需要教师的眼界和气魄。这种“眼界和气魄”更多地表现在：教师应该多一些等待，多一些放权，给予孩子们更多自主探索延伸的自由和空间。

一、等待的艺术——“千树万树梨花开”

教育，30%是启发，70%是等待——教育应该是等待的艺术。的确，快速地奔向终点，只能挤压孩子们的“思维空间”，消解孩子们的“思维张力”。所以，优秀的教师都善于等待，善于在“疑难处”、“拐弯处”驻足等待。或许，只是几分钟的等待，孩子们就已经经历了从不会时的凝神思考，到有所发现时的喜形于色，到最后成功时的忘乎所以。

听过一堂人教版高中A版数学《等比数列的前n项和》的公开课，从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导.不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q=1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。

既然如此，教师就不该急急忙忙地抛出“错位相减法”，这样做有悖学生的认知规律，可以设计以下教学环节：

1.故事引入：“ 一个穷人到富人那里去借钱,原以为富人不愿意，哪知富人一口答应了下来,但提出了如下条件：在30天中，富人第一天借给穷人1万元,第二天借给穷人2万元,以后每天所借的钱数都比上一天多1万；但借钱第一天,穷人还1分钱,第二天还2分钱,以后每天所还的钱数都是上一天的两倍,30天后互不相欠.穷人听后觉得挺划算,本想定下来,但又想到此富人是吝啬出了名的,怕上当受骗,所以很为难。”请在座的同学思考讨论一下,穷人能否向富人借钱?

2.基本题型练习：等比数列前n项和公式的基本运算（例题略）；错位相减法求和（例题略）。

3.类比联想，解决问题。如何将结论一般化，如何结合等比数列的通项公式an=a1qn-1,把sn用a1、an、q表示出来？

在具体的教学中，引领学生一定要知道“知三求二”，也就是要知道等比数列的前n项和的公式及通项公式涉及五个量中的任意三个量；一定要经常使用整体代换的思想，一定要分别讨论q≠1与q＝1两种情况。

好的数学教学都应当是循序渐进的过程，不应当操之过急，直奔结果。每一个小孩都不一样，其偏好、负荷力、学习效能感和可塑性都不一样，这更意味着教师要慢下来。等一等，等待着“别有洞天”，等待着瓜熟蒂落的那一刻，而那一刻就是“千树万树梨花开”般的教学奇观。

二、放权的艺术——“春江水暖鸭先知”

直接抛给学生一系列问题，其实在“悄悄地”剥夺了学生的诸多权利：记忆被激活的权利、经验被印证的权利、自主设计问题的权利……与其这样，不如充分地放权，让孩子们自主选择、自我设问、自我建构。

仍然以《等比数列的前n项和》的教学为例，应放权让学生自主探索1，2，22，…，263是什么数列？有何特征？留出充足的时间让学生自主比较，自我反思，或许学生自己会发现：等比数列前n项和的公式推导关键是变“加”为“减”，因此教学中应着力在这儿做文章，引导学生将结论一般化，让学生从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，让学生自己探究公式，学生必将体验到学习的愉快和成就感。

“春江水暖鸭先知”——身处在“学习之水”中的孩子们，才能最先察觉自己学习中的诸多“冷暖”。当孩子们自主选择那些熟知的生活图景构建数学问题时，才能“鸭先知”，而那种“先知感”的喜悦，恰恰才是学习最大的动力。

三、探究的艺术——“一枝红杏出墙来”

诚然，孩子们的自主自悟不可或缺，但好的教学还要追求“迂回、辗转和曲折”之境界，让孩子们学会探究，学会延伸，抓住“出墙的红杏”多多“较真”，让教学体现出一种真正的“增量”。

比如，人教版高中数学的《等比数列的前n项和》的教学中，可以设计以下拓展题：

在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求.西萨说：请给我在棋盘的64个方格上，第1个格子里放1千吨小麦，第2个格子里放2千吨，第3个格子里放3千吨，如此下去，第64个格子放64千吨小麦，请给我这些小麦？

同学们，你们知道西萨要的是多少小麦吗？引导学生写出小麦总数，带着这样的问题，学生会动手算起来，通过计算需要1+2+ 3+„+64=2080(千吨)结果出来后，国王认为西萨胃口太大，而国库空虚，还是提个简单的要求吧！西萨说：国王，我希望在第1个格子里放1颗麦粒，第2个格子里放2颗，第3个格子里放4颗，如此下去，每个格子放的麦粒数是前一格麦粒数的2倍,请给我这么多的麦粒数？

还可以设计以下拓展题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首中国古诗的答案是多少？

好的数学课堂没有固定模式，没有谢幕和完稿。精彩高效的课堂一定是一个充分打开和扩展的世界：师生的心、思维、情感在打开；数学原野的边界在扩展。当然，这一切，在于教师要舍得放弃，要充分地放权。引领孩子们在数学的密林深处，或自主探索，或多重延伸，或登高望远，这才是数学的魅力，也是数学学习的应有之义。