多角度探索图形变化规律

王瑞文

探索规律是初中数学的一个知识点，探索图形的变化规律是探索规律中的一个重要题型.下面分析在探索图形规律问题中常用的解题思路.

例1观察图1，请用不同方法表示出n个梯形组成的四边形的周长.

分析1：从上下和左右两个方面观察图形.单独看每个梯形，上底和下底的和都是3，所以n个梯形上底和下底总和为3n；从左右观察，由梯形组成的四边形，不管其中包含多少个梯形，左右总长都是2，所以n个梯形组成的四边形左右的总长自然也是2.由此可知，n个梯形组成的四边形周长为3n+2.

分析2：把四边形分成三部分，第1个梯形，第n个梯形，中间的所有梯形.第1个梯形在四边形的周长中的长为4，第n个梯形在四边形的周长中的长为4，中间的梯形只有上底和下底在四边形的边上，去掉第1个和第n个梯形，中间还有（n-2）个梯形，每个梯形的上底和下底之和都是3，所以总长为3（n-2）.由此可知，这个四边形的周长为3（n-2）+4×2=3n+2.

分析3：把每个梯形都看成单独的个体，则每个梯形的周长都是5，n个梯形的周长为5n，但是在四边形内部的线段不能算作四边形的周长，观察图形结构不难发现，2个梯形组成的四边形内部有1条线段，3个梯形组成的四边形内部有2条线段，由此可推出个梯形组成的四边形内部有（n-1）条线段，而内部的每条线段都是有相邻两个梯形的两条腰重合而成，所以应把内部的每条线段长看成2，（n-1）条线段总长为2（n-1），所以这个四边形周长为5n-2（n-1）=3n+2.

分析4：把图形转化成数字，探索数字的变化规律.因为初中数学没有等差数列的概念，在分析数字规律时，不可直接用等差数列通项公式，可引导学生作相邻两数的差，再把数字拆成与差有关系的式子，从而找到数字的变化规律.1个梯形周长为5，2个梯形周长为8，3个梯形周长为11，8-5=3，11-8=3，所以相邻两个数字的差都是3，所以可把5，8，11拆成以下3个式子，①5=3×1+2，②8=3×2+2，③11=3×3+2，式子中变化数字和式子的序列号是相等的，所以第n个式子为3n+2，因此n个梯形组成的四边形周长为3n+2.

这个图形在探索规律时从不同角度切入，探索出不同的变化规律，而化简后得到的代数式是相同的，从而让学生认识到，虽然问题的切入点不同，但在本质上是相同的，都能反映出图形的变化规律.

例2将一些长30 cm，宽10 cm的长方形的纸，按如图2的方法粘起来，接头部分宽为2 cm.求n张纸粘起来后的长度为多少？

分析1：把整个图形分成两部分，第1个长方形和其余的个长方形.可以把第一个长方形的长看成是完整的长，即30 cm，而随后粘上的长方形都少了2 cm，即28 cm，所以（n-1）个长方形的长为28（n-1）cm，因此，n张纸粘起来后的长度为[28（n-1）+30]=（28n+2）（ cm）.

分析2：把第1张长方形纸片分成2 cm和28 cm两部分，把2 cm先剪下来，那么还剩下28 cm，而随后粘上的长方形都看成28cm，所以n张纸粘在一起长度就为28n cm，再把剪下的2 cm加上，那么总长度为（28n+2） cm.

分析3：把图形分成两部分，即重合部分和不重合部分，不重合部分只有第1个和第n个长方形的长28 cm，而其余的（n-2）个长方形的长都是26 cm，所以不重合部分的长度之和为[26（n-2）+28×2] cm，每个重合部分的长度都是2 cm，两个长方形粘在一起就有一个重合部分，三个长方形粘在一起就有两个重合部分，不难发现n个长方形粘在一起就有（n-1）个重合部分，所以重合部分的总长为2（n-1） cm，所以n张纸粘起来后的长度为[26（n-2）+28×2+2（n-1）]=（28n+2） （cm）.

探索图形规律主要有两种思路，一种是观察图形本身的变化规律，另一种是把图形转化成数字，然后找出数字的变化规律.当图形本身比较简单时，两种思路都是可行的，但当问题难度比较大时，就要从问题实际情况入手，寻找合适的解题方向.

总之，探索图形规律时，不应该为解题而解题，而是应该从多角度分析问题，发散学生的思维，提高学生的一题多解能力，让学生在解决问题的过程中感受到学习数学的快乐.