两类曲线积分解题方法比较及错误分析

范国良

【摘要】通过实例给出对坐标的曲线积分的错误及正确解法，并在方向及对称性上对两类积分进行比较.

【关键词】对弧长的曲线积分；对坐标的曲线积分；对称性

【基金项目】国家自然科学基金（11401006）

在《高等数学》中的第十章“曲线积分与曲面积分”的教学过程中发现，很多同学把两类曲线积分的计算方法混淆，没有注意到对坐标的曲线积分与方向有关，本文通过例题把错误的解题方法与正确的方法进行比较，并对两类积分从方向及对称性上进行总结.

AB的方程形式不同，变量t的上下限也不同，注意t的上下限始终要对应起点和终点.综上所述，在计算对坐标的曲线积分时，首先是确定曲线的参数方程，其次确定参变量的上下限，最后注意参变量变化范围的写法与对弧长的曲线积分不同.

三、两类曲线积分的比较

1.对弧长的曲线积分与方向无关，变量范围为从小到大；而对坐标的曲线积分与方向有关，变量范围为从起点到终点.

2.关于对称性

对弧长的曲线积分与方向无关，可以利用对称性简化计算.设L关于x（或y）轴对称，若f（x，y）关于y（或x）是奇函数，则∫Lf（x，y）ds=0；若f（x，y）关于y（或x）是偶函数，则∫Lf（x，y）ds=2∫L1f（x，y）ds，其中L1是位于对称轴一侧的部分.对坐标的曲线积分与方向有关，所以在考虑对称性时既要考虑被积函数与曲线的对称性，还要考虑曲线的方向，因此直接应用比较困难，一般是先转化为对弧长的曲线积分，然后再考虑使用对称性.

【参考文献】

[1]同济大学数学教研室.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2013.

[2]殷志祥等.高等数学[M].合肥：中國科学技术大学出版社，2012.