求函数解析式的常用方法

李敏瑜　李小平

若已知一个函数f（x）适合某种性质或某种关系，现在要把f（x）的解析式具体找出来，本文想就这个问题介绍一些常用解法

一、换元法、配凑法

这种方法适用于已知复合函数f（g（x））的解析式，求f（x）。（此时要注意自变量的取值范围）

例1.已知fx+=x2+，求f（x）.

方法一（换元法）

解：设x+=t，（t≥2或t≤—-2））

则x+2=t2

∴x2+=t2-2 ∴ f（t）=t2-2

∴f（x）=x2-2（x≥2或x≤-2））

方法二（配凑法）

解：∵fx+=x2+=x+）2-2

∴f（x）=x2-2（x≥2或x≤-2））

二、解方程法

这种方法就是将f（x）看作是适合某一个方程或方程组的未知元，然后把它从方程（组）中解出来。

例2.设a≠0，b≠0，a≠b.又对于一切非零的x恒满足等式：af（x）+bf=cx，试求f（x）.

解：如果把af（x）+bf=cx，看作一个方程，那么在这个方程中不仅含有未知元f（x），而且也含有未知元f，所以这实际上是含有两个未知元的一个方程，因此为了求出f（x），必须另立一个方程。这只需在上述方程中把x换成，于是得到一个新方程af+bf（x）=c，视f（x）与f为未知元而解方程组

af（x）+bf？摇=cxaf？摇+bf（x）=c，

即得f（x）=.

三、赋值法

这种方法常用于多个变量的情形，若令其中一个变量为另一个变量的函数，即可把变量的个数减少，从而达到所要求的目的。

例3.试求定义在正整数集上的函数f（x），使得f（x+y）=f（x）+f（y）+xy.

f（1）=1.

解：令y=1，则得f（x+1）=f（x）+x+1.

在这个式子中，依次令x=1，2，3…n-1，

就有f（2）=f（1）+2，f（3）=f（2）+3，…

f（n）=f（n-1）+n.

相加这些等式，即得

f（n）=f（1）+2+3+…+n=1+2+3+…+n=.

这就是定义在正整数集上的函数f（x）的具体解析式。

例4.已知f（a-b）=f（a）-b（2a-b+1），f（0）=1，试求f（x）.

解：令a=0，得到

f（-b）=f（0）-b（-b+1）=1-b（-b+1）.

把-b换成x，即得

f（x）=1+x（x+1）=x2+x+1.

四、待定系数法

这种方法常适用于当已知函数解析式的基本形式（如二次式，三次式等）然后根据某些条件去待定其中的系数。

例5.已知f（x）是二次函数，若f（0）=0，且f（x+1）=f（x）+x+1，求f（x）的解析式.

解：设f（x）=ax2+bx+c，（a≠0）

由f（0）=0知c=0，f（x）=ax2+bx

又由f（x+1）=f（x）+x+1

得ax2+（2a+b）x+a+b=ax2+b（b+1）x+1

故有2a+b=b+1a+b=1 所以a=b=

∴f（x）=x2+x

五、递推法

这种方法常适用于求定义在正整数集合上的函数f（n）之解析式，如果已知f（n）满足某一递推关系式的话。

例6.设f（1）=1，f（2）=3，

又++…+=， （1）

试求f（n）.

解：在（1）中将n换成n-1，得++…+=. （2）

由（1）-（2）得到 =-=-.

即（n-1）f（n-1）-（n-2）f（n）=1. （3）

在（3）中再把n换成n-1，又得

（n-2）f（n-2）-（n-3）f（n-1）=1. （4）

由（3）与（4）可得

（n-2）f（n）-（n-1）f（n-1）=（n-3）f（n-1）-（n-2）f（n-2）

即（n-2）f（n）-（n-2）f（n-1）=（n-2）f（n-1）-（n-2）f（n-2）.

∴f（n）-f（n-1）=f（n-1）-f（n-2）.

重复应用这个递推关系，

有f（n）-f（n-1）=f（n-1）-f（n-2）=…=f（2）-f（1）=2.

可知，f（1），f（2），…，f（n），…构成一个以首项为1，公差为2的等差数列，

故其通项为f（n）=1+2（n-1）=2n-1.

（作者单位：1.贵州省毕节一中 2.四川省夹江二中）