调和函数的广义狄利克雷问题

王亚敏

【摘 要】本文对广义狄利克雷问题进行了研究，通过减弱拉普拉斯方程的解存在性的条件，借助调和函数的基本理论，讨论了广义狄利克雷问题的解存在性及唯一性的不同情形。最后说明了狄利克雷问题与共形映射的等价性。

【关键词】调和函数；广义狄利克雷问题；边界函数；共形映射

【Abstract】The passage mainly studies the generalized Dirichlet problem， by weaking weakened the presence condition of the Laplace equation. With the basic theory of harmonic functions， the existence and uniqueness of solutions among different situations for generalized Dirichlet problem is discussed. Finally， it shows the equivalence between the Dirichlet problem conformal mapping.

【Key words】Harmonic functions； Generalized Dirichlet problem； Boundary functions； Conformal mapping

4 结束语

通过减弱拉普拉斯方程的解存在性的条件，把所求解归结为广义狄利克雷问题。对于单连通区域D，广义狄利克雷问题又可以转化为普通狄利克雷问题，从而化特殊为一般。借助调和函数的基本理论，讨论了广义狄利克雷问题的解存在性及唯一性的不同情形。并且说明了狄利克雷问题与共形映射的等价性. 所得结论是解析函数与调和函数的相应理论在施瓦茨积分中的继续和应用.

【参考文献】

[1]闻国椿.共形映射与边值问题[M].北京：高等教育出版社，1985：146-151.

[2]张建元.K-共形映射[J].西南大学学报：自然科学版，2010，32（10）：119-125.

[3]张建元，张荣珠.混和型解析函数的施瓦兹边值问题[J].昆明理工大学学报：自然科学版，2001，26（6）：145-150.

[责任编辑：杨玉洁]