直角坐标系中点的规律探索题赏析

殷　萍



直角坐标系中点的规律探索题赏析

殷萍

“规律探索问题”是指给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作、变化过程，要求通过观察、分析、推理，探求其中所蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论，并加以验证的数学探究题.近几年中考试题中除了典型的数、式、几何图形的规律探究外，还涌现出不少坐标系中的新题，成为一个新的“亮点”，让人深思，值得欣赏.

例1（2013·聊城）如图1，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…，那么点A4n+1（n为自然数）的坐标为（用n表示）_______.

图1

【解析】根据向上，向右，向下，向右的方向每次移动一个单位，所得点的横坐标依次是0，1，1，2，2，3，3，4，…，特别是点A1、A5、A9、A13的横坐标分别为0，2，4，6，由此推知点A4n+1的横坐标为2n；所得点的纵坐标依次是1，1，0，0，1，1，0，0，…，特别是点A1、A5、A9、A13的纵坐标分别为1，1，1，1，由此推知点A4n+1的纵坐标为1，所以点A4n+1（n为自然数）的坐标为（2n，1）.

【点评】对于点的运动，一方面可从图形中观察点的位置的变化，另一方面可分别寻找点的横坐标与纵坐标的变化规律，即探索序号与横坐标的规律、序号与纵坐标的规律的双重关系，本题还需注意点An与点A4n+1的区别.

例2（2014·株洲）在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位…依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位.当走完第100步时，棋子所处位置的坐标是（）.

A.（66，34）B.（67，33）

C.（100，33）D.（99，34）

【解析】根据走法，每3步为一个循环组依次循环，且一个循环组内向右3个单位，向上1个单位，用100除以3，然后根据商和余数的情况确定出所处位置的横坐标与纵坐标即可.

解：由题意得，每3步为一个循环组依次循环，且一个循环组内向右3个单位，向上1个单位，∵100÷3=33余1，∴走完第100步，为第34个循环组的第1步，所处位置的横坐标为33×3+1=100，纵坐标为33×1=33，∴棋子所处位置的坐标是（100，33）.故选C.本题考查了坐标确定位置，点的坐标的规律变化，读懂题目信息并理解每3步为一个循环组依次循环是解题的关键.

例3（2015·河南）如图2，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3……组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2015秒时，点P的坐标是（）.

A.（2014，0）B.（2015，-1）

C.（2015，1）D.（2016，0）

图2

【解析】本题考查直角坐标系中点坐标的规律探索.

∵半圆的半径r=1，∴半圆长度=π，

∴点P位于第1008个半圆的中点上，且这个半圆在x轴的下方.

∴此时点P的横坐标为：1008×2-1= 2015，纵坐标为-1，∴点P（2015，-1）.

练习

1.如图3，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在 x轴上，依次进行下去….若点， B（0，4），则点B2014的横坐标为_______.

图3

2.如图4，以O（0，0）、A（2，0）为顶点作正△OAP1，以点P1和线段P1A的中点B为顶点作正△P1BP2，再以点P2和线段P2B的中点C为顶点作正△P2CP3，…，如此继续下去，则第六个正三角形中，不在第五个正三角形上的顶点P6的坐标是_______.

图4

（作者单位：江苏省泰州中学附属初级中学）