带有环境净化的双随机参数SOLOW模型的稳定性

李佼瑞，张艳霞

(西安财经学院 统计学院, 陕西 西安710100)

带有环境净化的双随机参数SOLOW模型的稳定性

李佼瑞，张艳霞

(西安财经学院 统计学院, 陕西 西安710100)

摘要：考虑到环境净化能力和劳动力的相对变化率均含有大量不确定性因素，研究带有环境净化和两个随机参数的Solow模型的稳定性问题。在对带有环境净化的Solow模型的研究中引入两个独立的随机参数：基于环境净化能力和劳动力的相对变化率，建立带有双随机参数的Solow模型；利用Chebyshev正交多项式逼近原理，将随机模型转化为等价的确定性近似系统，由Routh-Hurwitz判据理论和数值方法，研究随机系统定态渐近稳定性的条件，结果表明：带有双随机参数和环境净化Solow模型的稳定性受随机参数强度的影响较大，随着随机强度的增大，渐进稳定性区域不断减小，即经济增长与环境净化系统的协调发展区域缩小。

关键词：SOLOW模型；双随机参数；正交展开逼近；渐近稳定性

一、引言

伴随着经济的快速发展，资源环境的问题日益突出，如何正确处理好经济发展同环境保护的关系，走可持续发展道路，是一个十分迫切的问题。在发展经济学中著名的模型是Solow经济增长模型，不少学者对于该模型进行了不同的发展和研究。陆根尧等人基于环境库兹涅茨曲线假说，研究了Solow经济增长与环境污染的关系[1]；魏立桥等人以Solow模型为基础，研究了带有环境污染的经济增长模型[2]；张五六基于Solow模型，研究了中国经济增长方式的转变特征[3]；Stamuva和Georgios从劳动力变化率、技术进步等角度研究了Solow模型[4-5]；王维国等人在增广Solow模型的基础上结合内生增长理论和新制度经济学,分析了中国的经济增长机制，并对中国的经济增长进行了经验分析,为中国各地区的均衡发展提出了相应建议[6]；Angelo Antoci等人基于Solow模型研究发现，人口数量的减少有助于经济增长和环境净化[7]。以上研究主要是利用了确定性的方法，而并没有考虑到模型受随机因素的影响。吴付科、Lei Dongxia、Roberto Cellini等人在对Solow模型的研究中，均引入了服从布朗运动的随机噪声干扰，从不同角度分别研究了随机Solow模型的渐进性质、资本劳动率含有噪声干扰的稳定分布及资本积累和人口增长含有随机干扰因素的稳定性[8-10]。笔者在关于非线性动力系统的研究中曾多次运用了随机的理论方法，研究了带有随机参数的经济周期模型的稳定性和分岔性[11]。

从现有的文献看，关于随机Solow模型的研究只有极少的相关文献，但基于环境净化的Solow模型的研究还未涉及到参数为随机变量的情况，对双随机参数下基于环境净化Solow模型的研究还未见文献报道。随着经济的快速发展，笔者发现影响环境净化能力和劳动力的相对变化率的因素是极其复杂多样的，并且这些因素具有明显的随机性，比如环境净化能力与经济规模、污染物排放总量、绿地面积、地形地貌、人口密度、技术水平、贸易开放度等诸多因素有关，劳动力的相对变化率与教育制度、教育供给规模、工资政策及工资关系、人口数量、社会文化等诸多因素有关，而这些因素并非确定不变，而是随机变化的。从以上文献分析看出，随机噪声对系统的影响实际上是某些主要经济变量对经济系统的噪声输入，考虑到环境净化能力和劳动力的相对变化率均含有大量不确定性因素，因此引入两个随机参数，即环境净化能力和劳动力的相对变化率，建立带有双随机参数和环境净化的Solow模型。

二、带有环境净化的SOLOW模型

经济的发展不能以牺牲环境为代价，这显然已是人们的共识，而如何实现经济与环境的协调发展则逐渐成为学者们关注的话题。Solow经济增长模型是Robert Solow提出的发展经济学中著名的模型，本文基于此模型研究带有环境净化的经济增长模型，以解决如何实现经济与环境的协调发展问题。

带有环境净化的Solow模型包含四个宏观经济变量和一个环境系统变量：总产量Y、资本量K、劳动力数量L、消费品量C和污染物存量P。本文研究的带有环境净化的Solow模型是对NataliHritonenko等人的Solow模型的拓广，基本模型框架如图1所示[12]130-131：

图1　带有环境净化的Solow模型框架图

假定产品的生产决定于资本量K、劳动力数量L和污染物存量P。总产量Y用于消费C、投资量S和环境污染治理E。假设投资比例和环境污染治理比例分别为s1、s2，则有:

F(K,L,P)=Y

(1)

Y=C+S+E

(2)

S=s1Y

(3)

E=s2Y

(4)

其中0≤s1,s2≤1,s1+s2≤1。资本量K的变化包括投资量S的增加和固定资产的损耗，则有：

(5)

其中θ是常数，表示损耗率，0<θ<1。

假定环境污染物存量P与物质的生产、经济活动的总量和环境自净的能力有关，一个单位的E减少ω单位的污染；假设现存总产量Y中废弃物的污染部分为εY，环境系统对污染物的净化能力为γ，则有：

P=εY-ωE-γP

(6)

其中0<ε<1，ω>1，0<γ<1。

假设劳动力的相对变化率为η，则有：

(7)

定义k(t)=K(t)/L(t)、p(t)=P(t)/L(t)、y(t)=Y(t)/L(t)；k(t)表示资本劳动率、p(t)表示生产总污染对人产生的人均污染率、y(t)表示人均产量，结合以上各式，可整理得出资本的人均变化率方程和污染的人均污染率方程：

(8)

(9)假设生产函数采用Cobb-Douglas生产函数形式，由于式(1)是含有污染物存量的方程，这个变量对物质生产的贡献为负；为了将环境净化和污染治理的因素考虑到模型中，可将污染物存量作为一个单独的投入要素。为使问题简化，这里假定系数标准化为1，即：

y=kαp-β

(10)

其中 0<α<1,β>0。

综上，就得到了带有环境净化的Solow模型的微分方程：

(11)

对于以上模型(11)，用龙格-库塔四阶法进行数值模拟，取参数(s1,s2,α,β,θ,ε,ω,γ,η)为(0.15,0.01,0.3,0.1,0.05,0.05,4,0.02,0.01)，取初值为(k0,p0)=(3.9,0.9)，得其时间历程图(如图2。)

图2　带有环境净化的Solow模型时间历程图

由图2可知：初始时，由于部分产量用于环境污染治理的投资，资本的人均变化率逐渐减小，同时污染的人均污染率大幅度减小，在t1处达到最小；由于环境系统对经济系统的反馈机制，环境污染物的减少有利于经济的发展，t1后经济得以快速发展，即资本的人均变化率逐渐上升；系统在t2时刻趋于稳定，收敛到(k*,p*)点，此后资本的人均变化率和污染的人均污染率将以定值稳定发展。

三、双随机参SOLOW模型的Chebyshev正交多项式逼近

在以往对Solow模型的研究中，一般认为γ和η是确定性参数，然而如今在经济高速发展的社会，环境净化能力和劳动力的相对变化率会受到很多随机因素的影响，均含有大量不确定性因素，而这种不确定性就决定了它们的随机性，所以γ和η应该是随机变量，而不是常数参数。因此，本文假设γ、η均为随机变量，这里将考虑带有多随机参数干扰的Solow模型。如果γ和η是独立的随机参数，则方程(11)是随机模型。设γ、η可表示成以下形式：

(12)

(13)

对于含有随机参数的动力学模型，Sun提出了对随机参数取正交多项式逼近的方法[13]。马少娟等人在其研究非线性随机系统中多次运用了Chebyshev多项式逼近法，研究表明Chebyshev多项式逼近法是研究非线性随机参数系统动力学问题的一种有效方法[14]。本文基于此方法，研究带有环境净化和两个随机参数的Solow模型的稳定性问题，考虑到本文中的随机变量均是来自自然界最常见的变量，即可定义u1、u2在[-1,1]上服从拱形分布ρ(u)，其密度函数为：

(14)

根据Hilbert空间的正交多项式逼近理论, 随机模型(13)的响应在均方收敛意义下可近似地表示为：

(15)

其中

du1du2，Ui(u1)和Uj(u2)均是第二类Chebyshev正交多项式，M、N是所取多项式的最大阶数。如下是第二类Chebyshev正交多项式的正交性及其常见递推公式：

(16)

uPi(u)=(Pi+1(u)+Pi-1(u))/2

(17)

(18)

由于任意三个第二类Chebyshev多项式的乘积都可表示成单个第二类Chebyshev多项式的线性组合，则可用kpij表示式(18)中的多项式乘积项，即：

(19)在方程组(18)的两边同时依次乘以Ui(u1)Uj(u2)，(i=0,1,2,…，M；j=0,1,2,…，N)，根据式(16)Chebyshev正交多项式的正交性和式(17)递推公式，即可得到带有多随机参数的随机Solow模型等价的确定性系统。当M→∞、N→∞时，方程(18)严格成立。由于数值模拟精度和理论分析的需要，这里假设M和N是有限数，为便于借助软件对随机Solow模型(13)的研究，所以取M=2、N=2,即得到随机Solow模型(13)的一个等价确定性近似方程组：

(20)

四、双随机参数SOLOW模型等价的非线性方程组的定态稳定性

通常情况下，在研究非线性动力系统的定态稳定性问题时会用到线性稳定性理论。首先得到非线性微分方程在定点的线性化方程, 然后通过分析线性方程定态的性质来研究非线性方程的稳定性。如果线性化方程定态渐近稳定，则非线性方程的定态渐近稳定；如果线性化方程的定态不稳定，而则非线性方程的定态也不稳定。线性化方程的定态稳定性完全可以由其系数矩阵的所有特征值来决定，若线性化方程系数矩阵的所有特征值均小于零, 则非线性方程的定态渐近稳定。当非线性系统的维数大于3时, 一般采用Routh-Hurwitz判据准则来分析其稳定性。如果Hurwitz行列式Δi(i=1,2,…,n)都大于零, 则非线性方程的定态渐近稳定；如果有一个Hurwitz行列式Δi(i=1,2,…,n)小于零, 则非线性方程的定态不稳定。

对于等价的确定性近似方程(20)，其定态线性化方程为：

(21)

其中p-1,j(t)=0,p3,j(t)=0,pi,-1(t)=0,pi,3(t)=0,ki,-1(t)=0,ki,3(t)=0,(i,j=0,1,2)。

运用MATLAB软件可得方程(21)的Jacobian矩阵J为：

(22)

运用MATLAB可得J的特征方程：

f(λ)=a0λ18+a1λ17+a2λ16…+a17λ+a18

=0

(23)

其中ai(i=0,1,2,…，27)为特征方程的系数。根据Routh-Hurwitz判据，只要满足其Hurwitz行列式Δi>0(i=1,2,…,n)，则特征方程(23)的所有特征值都有负的实部，那么随机模型定点渐近稳定。由于特征方程的系数ai(i=0,1,2,…，15)含有参数θ、γ、η、δ高次幂的线性或者非线性组合，判断会很困难。通过MATLAB可对特征方程(23)因式分解，即：

(24)

图3　不同δ1+δ2下的稳定性区域的变化图

由图3可看出，随机模型的稳定性受随机因素的影响较大，且随着随机强度δ1+δ2的增大稳定性区域不断减小。 对于随机模型(13)，再次运用龙格-库塔法，取四个不同的δ1+δ2值进行数值模拟，并取参数(s1,s2,α,β,θ,ε,ω,γ,η,u1,u2)为(0.15,0.01,0.3,0.1,0.05,0.05,4,0.02,0.01,-0.01,0.01)，得出不同的δ1+δ2值下的稳定定态(k*,p*)随着随机强度的变化，如图4。

图4　稳定定态(k*,p*)随着随机强度的变化图

结合图4可知，随着随机强度的增大，若随机强度的变化是朝着有利于经济环境协调发展的方向发展，使得环境的净化能力逐渐增强、劳动力的相对变化率逐渐减小、即δ1+δ2=-0.1时，系统稳定发展时的资本的人均变化率将会上升，环境污染的人均污染率将会下降；若随机强度的变化是朝着有弊于经济环境协调发展的方向发展，使得环境的净化能力逐渐减弱、劳动力的相对变化率逐渐增大、即δ1+δ2=0.1时，系统稳定发展时的资本的人均变化率将会下降，环境污染的人均污染率将会上升；若随着强度的增大、即δ1+δ2=0.2时，环境遭到严重污染并一时得不到改善，从而会阻碍经济的发展，使得资本的人均变化率急剧下降。

五、结论

参考文献：

[1]陆根尧, 盛龙. 基于环境库兹涅茨曲线假说的经济增长与环境污染关系研究[J]. 工业技术经济, 2012(4).

[2]魏立桥, 赵晓娜, 景文宏. 基于环境污染的经济增长模型[J]. 软科学, 2008(2).

[3]张五六. 中国经济增长方式转变特征测度——基于贝叶斯时变参数状态空间模型[J].统计与信息论坛, 2015(6).

[4]Stamova I M, Stamov A G. Impulsive Control on the Asymptotic Stability of the Solutions of a Solow Model with Endogenous Labor Growth[J]. Journal of the Franklin Institute, 2012,349(8).

[5]Georgios Karras. Land and Population Growth in the Solow Growth Model: Some Empirical Evidence[J]. Economics Letters, 2010, 109(2).

[6]王维国, 杜修立. 新经济增长理论、新制度经济学与经济增长的收敛性——中国经济增长的经验分析[J]. 统计与信息论坛, 2005(4).

[7]Angelo Antoci, Paolo Russu, Serena Sordi, et al. Industrialization and Environmental Externalities in a Solow-type Model[J]. Journal of Economic Dynamics and Control, 2014, 47(6).

[8]吴付科, 胡适耕. 连续随机Solow模型的渐近性质[J].应用概率统计, 2009(6).

[9]Lei Dongxia, Huang Yongzhong. Stationary Distribution of Stochastic Solow Model[J]. Mathematica Application, 2014(4).

[10]Roberto Cellini. Implications of Solow’s Growth Model in the Presence of a Stochastic Steady State[J]. Journal of Macroeconomics, 1997, 19(1).

[11]Jiaorui Li, Zifei Lin, Shuang Li. Stability and Hopf Bifurcation in a Business Cycle Model with Random Parameter[J]. Information, 2013,16(2).

[12]Natali Hritonenko, Yuri Yatsenko. 经济, 生态与环境科学中的数学模型[M].申笑颜, 译. 北京: 中国人民大学出版社, 2011.

[13]Sun T C.A Finite Elements Method for Random Differential Equations With Random Coefficients[J].Siam Journal on Numerical Analysis,1979(16).

[14]马少娟, 徐伟, 雷佑铭. 随机Duffing-van der Pol系统响应的Chebyshev多项式逼近[J]. 动力学与控制学报, 2004(3).

(责任编辑：郭诗梦)

The Stability of the SOLOW Model with Double Random Parameters based on Environmental Purification

LI Jiao-rui, ZHANG Yan-xia

(School of Statistics ,Xi'an University of Finance and Economics, Xi'an 710100, China)

Abstract:Considering the both environmental purification capacity and relative rate of change of the labor force contain lots of uncertainty factors, so in the studying of the SOLOW model with environmental purification, two independent random parameters which express environmental purification capacity and relative rate of change of the labor force respectively are introduced, then the SOLOW model with double stochastic parameters is established. The stochastic model can be converted to equivalent deterministic approximate system using the Chebyshev orthogonal polynomial approximation principle. By applying the Routh Hurwitz criterion theory and numerical method, the asymptotic stability conditions of stationary state of the random system are obtained. The result shows that the stability of the Solow model with double random parameters and environmental purification is greatly influenced by the strength of random parameters, and with the increasing of the random strengths, the asymptotic stability area will decrease continuously which means the coordinated development area of economic growth and environment purification system will shrink.

Key words:SOLOW model; double random parameters; orthogonal polynomial expansion and approximation; asymptotic stability

收稿日期：2015-11-18；修复日期：2016-04-19

基金项目：国家自然科学基金项目《经济-环境系统的分数阶随机动力学建模与分析》(11572231)

作者简介：李佼瑞，男，陕西渭南人，应用数学博士，教授，研究方向：数理统计与非线性动力系统；

中图分类号：O211.5∶X51

文献标志码：A

文章编号：1007-3116(2016)06-0007-07

张艳霞，女，河南民权人，硕士生，研究方向：数理统计与非线性动力系统。

【统计理论与方法】