基于RBF元模型集的多变量全局优化算法研究

杨 飞， 胡万强， 李耀辉

(许昌学院 机电工程学院 河南 许昌 461000)

基于RBF元模型集的多变量全局优化算法研究

杨 飞， 胡万强， 李耀辉

(许昌学院 机电工程学院 河南 许昌 461000)

首先提出元模型集的概念，根据RBF函数的特点，将其系数向量转化为系数矩阵，使得多个变量可在同一元模型中进行仿真.其次针对通过采样点计算Pareto适存度矩阵困难的问题，提出了增量迭代式Pareto适存度计算方法，利用上一次迭代产生的适存度值直接更新，减少了计算工作量.最后将元模型集和增量Pareto适存度算法应用到多变量全局优化算法中，并将其应用于数值计算以及五杆平面桁架结构优化设计中.结果表明该方法科学合理，效果明显.

元模型集； 多变量全局优化； 增量Pareto适存度算法； 优化算法

0 引言

现代机电产品设计中经常涉及多输入多输出(多变量)函数的优化问题，处理这类问题的方法大致可以分为两种:一种方法是根据各变量的重要程度将被优化的目标加上不同权值而转化为单目标输出，称为多目标加权法,但是在实际过程中由于缺少合理的权值选择方法，所以很难确定每个目标的权重；另一种方法是先找出所有Pareto解集，从中选择有效解作为优化目标的最佳解，该方法也称为Pareto多目标优化方法，目前这种方法中应用比较广泛的有粒子群优化算法[1-2]和进化算法.文献[3]提出了一种改进的多输出粒子群算法，将遗传算法成功引入到粒子群优化中.文献[4]提出了一种改进的多目标进化算法，并将其应用到机电产品设计中.上述方法需要对非Pareto解集点进行函数估值，占用了大量计算机资源，代价较昂贵.

多输入多输出优化问题常常涉及源模型的近似化问题，即仿真模型，如计算模型、元模型等. 这些模型促进了优化和概念搜索的发展，降低了函数优化迭代次数，从而减少了计算机资源的消耗.文献[5]将kriging元模型引入到多输出优化问题中，以kriging元模型代替源模型.文献[6]利用hyper-ellipse元模型求解双标准凸优化问题.使用这些仿真模型的关键在于近似模型的精度问题，精度不够准确会使求得的Pareto解集不能有效逼近Pareto边界.本文提出元模型集的概念，利用RBF函数线性化的特点，将其系数向量转化为系数矩阵，从而使得多输入多输出优化过程在同一元模型中完成，并提出一种与元模型集方法相匹配的增量Pareto适存度算法，从而降低了优化算法的难度，节省了宝贵的计算机资源，为复杂机电产品的结构优化设计提供了一种新的思路与方法.

1 元模型集基本概念

元模型集(meta-model set，MS)是指多个元模型的集合体，即为采样点集X(x1,x2,…,xn)到响应值Y(y1(y11,y12,…,y1m),y2(y21,y22,…,y2m),…,yn(yn1,yn2,…,ynm))的一个多值映射.对于任一个采样点xi，即有一个矢量响应集yi(yi1,yi2,…,yim)与之对应，其表达式为

Y=Φ·Λ,

(1)

式中:Φ为基函数矩阵，Λ为采样点矩阵.由式(1)可知，如果一个元模型应用于元模型集，则必须是线性的.文献[7]研究表明,RBF元模型构造方便，能较好地近似高阶非线性问题，可以作为元模型集的多值元模型，其表达式为

(2)

将式(2)中的向量λ换为矩阵Λ，那么RBF元模型的响应值f*(x)即变为矩阵Y，RBF元模型就被转变为同一元模型下的多值模型，即元模型集合，RBF元模型的构造原理见文献[8].

2 增量Pareto适存度算法

相对于单目标优化问题，多目标优化问题一般具有多个Pareto最优解.Pareto最优解集中的任何一个解都可能成为最优解，其在目标函数上对应的集合即为Pareto边界.Pareto边界因实际多目标优化问题的解而出现连续或不连续性，求解完全的Pareto解集是很困难的，但可以用一个离散的解集去逼近连续解集以作为其近似解集.为了得到近似的Pareto解集，引入适存度函数作为求解得到的设计点是否为Pareto最优解的标准[9].

设A={xi,i=1,2,…,m}为设计点集合，定义第i个给定点xi在A中的适存度表达式为

(3)

(4)

式中：j=1,2，…,n，且i≠j；k为子目标函数，k=1,2,…,m.则式(4)的行向量矩阵为

(5)

(6)

经分析可知，Pareto适存度函数可采用迭代方式进行求解，而且可以利用上一次迭代计算的Pareto适存度值计算下一次迭代的Pareto适存度值，其算法步骤如下：

1) 设init_def为上一次迭代Pareto适存度值，fit为当前给定点对应的函数值矩阵，并且将fit按比例缩放至[1，0].

2) 构造def为当前Pareto适存度值域，如果init_def非空，将其加入def前面部分.

3) 设i为迭代过程中当前给定点对应函数值cur_fit，将对所有给定点进行循环，设j迭代过程中与i不同的给定点对应函数值oth_fit，对前i-1个给定点进行循环.

5) 令i++,j++，再次循环.

3 基于RBF元模型集的多变量全局优化算法

基于元模型集的多变量全局优化算法的基本思路是以元模型集替代源模型进行仿真优化.使用改进增量拉丁超立方采样方法在元模型集上逐次采样，搜寻符合Pareto适存度函数的设计点，直至满足设计要求.元模型集使用RBF元模型更新方式逐步构造精确的近似模型，算法流程如图1所示.

其具体步骤如下：

2) 构造初始元模型集.调用目标函数仿真，获得样本点集X(i)响应值Y(i)，利用X(i)、Y(i)来构建初始元模型集，适存度集合F(i)通过Pareto适存度函数公式计算.

5) 以RBF方法更新元模型集，令i=i+1，再次循环.

4 工程实例分析

设收敛标准值ε1=1.023，ε2=1.008，经12次迭代后得到98个Pareto边界点，占精确分析点总量的48%，且精确分析次数为204次.Pareto边界分布、精确分析点分布、解集分布及收敛曲线如图3所示，计算结果分析如表1所示.可以得出，基于元模型集的多变量全局优化算法相对于多目标遗传算法来讲，获取Pareto边界迭代次数少，进行精确分析的次数也大大降低，这对于节约计算机资源及提高仿真优化效率具有重要意义.

图1 基于RBF元模型集的多变量全局优化算法流程

图2 五杆平面桁架结构

图3 Pareto边界分布、精确分析点分布、解集分布及收敛曲线

表1 计算结果分析

Tab.1 The results analysis

求解次数迭代次数精确分析次数近似分析ε1值精确分析ε2值Pareto边界点数量占精确分析点比例/%1#122041.0231.00898482#182231.0151.007105473#203071.0301.00812340

5 小结

根据元模型集的相关理论，利用RBF函数表达式的特点，再加上增量Pareto适存度计算方法，从而完善了基于元模型集的多变量全局优化算法.通过上述函数及工程实例的分析测试，表明了该算法科学合理，效果良好.可以说，这是一种值得考虑并有较大研究前景的方法.随着元模型不确定性问题和多目标优化评价方法的深入研究，基于增量RBF元模型集的多变量全局优化算法就可以得到更大的完善和发展.

[1] 郭建涛，刘洋，唐天宇.用于跳频分量搜索的环形拓扑粒子群算法[J].信阳师范学院学报(自然科学版)，2014,27(2)：267-270.

[2] 张慧霞，张焱，高兴宝.求解作业车间调度问题的粒子群优化算法[J].河南科技大学学报(自然科学版)，2008,29(6)：49-52.

[3] LI X D. A non-dominated sorting particle swarm optimizer for multiobjective optimization[C]//Proceedings of Genetic and Evolutionary Computation Conference. Berlin, 2003: 37-48.

[4] DEB K, JAIN S. Multi-speed gearbox design using multi-objective evolutionary algorithms[J].J Mech Des, 2002, 125(3): 609-619.

[5] MARTIN J D, SIMPSON T W. A study on the use of kriging models to approximate deterministic computer models[C]//Proceedings of International Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference.Chicago,2003:567-576.

[6] LI Y, FADEL G M, WIECEK M M. Approximating Pareto curves using the hyper-ellipse[C]//7th AIAA/USAF/NASA/ISSMO Symposium on Multidisciplinary Analysis and Optimization. St. Louis, 1998:1990-1999.

[7] WILSON B, CAPPELLERI D, SIMPSON T W,et al. Efficient Pareto frontier exploration using surrogate approximations[J]. Optimization and engineering, 2001, 2(1): 31-50.

[8] 胡万强,董永强. 基于RBF元模型的自适应采样方法研究[J].湖北第二师范学院学报,2015,32(2):7-10.

[9] SCHAUMANN E, BALLING R, DAY K. Genetic algorithms with multiple objectives[C]//7th AIAA/USAF/NASA/ISSMO Symposium on Multidisciplinary Analysis and Optimization. St. Louis, 1998: 2114-2123.

[10] SHAN S, WANG G G. An efficient Pareto set identification approach for multiobjective optimization on black-box functions[J].Journal of mechanical design transactions, 2005, 127(5): 279-291.

[11] NARAYANAN S, AZARM S. On improving multiobjective genetic algorithms for design optimization[J]. Structural optimization,1999, 18(2):146-155.

(责任编辑：孔 薇)

Research of Multivariable Global Optimization Algorithm Based on RBF Meta-model Set

YANG Fei, HU Wanqiang, LI Yaohui

(SchoolofMechanicalandElectricalEngineering，XuchangUniversity,Xuchang461000,China)

Firstly,the concept of meta-model set was proposed, which utilized the feature of RBF function and converted the coefficient vector into coefficient matrix, and made multiple variables simulating in the same meta-model. Then, to tackle the difficult problems such as calculating Pareto fitness matrix through the sample points, a new incremental iterative Pareto fitness calculation method was proposed to significantly reduce the calculation by using the fitness value of the previous iteration directly. Finally, a new multivariable optimization algorithm based on meta-model set and incremental Pareto fitness algorithm was applied to numerical computation and design optimization of five-bar plane truss structure. The result showed that the method was scientific and reasonable, and the improvement was obvious.

meta-model set; multivariable global optimization; incremental Pareto fitness calculation method; optimization algorithm

2015-11-04

杨飞(1980—)，男，河南长葛人，讲师，硕士，主要从事电力电子技术研究，E-mail：35955368@qq.com.

杨飞，胡万强，李耀辉.基于RBF元模型集的多变量全局优化算法研究[J].郑州大学学报(理学版)，2016，48(2)：116-120.

TP301.6

A

1671-6841(2016)02-0116-05

10.13705/j.issn.1671-6841.2015228