正午日形迹的天文学原理和时空分布规律

蒋洪力（唐山市开滦一中， 河北 唐山 063000）



正午日形迹的天文学原理和时空分布规律

蒋洪力
（唐山市开滦一中， 河北 唐山 063000）

摘要：太阳周年视位置轨迹为“8”字形，也叫做“日行迹”，它是重要的天文现象。本文分析了日行迹的天文学原理和日行迹的形成过程，并运用球面三角学推导太阳的地平坐标公式，结合Excel自动计算太阳的地平坐标并绘制日行迹图，并由此归纳和综合得出日行迹的性质和时空分布规律。

关键词：天文学；日行迹；时差；平太阳日；时空分布规律

太阳在天球上的周年运行路线是黄道，它是近似正圆的椭圆轨道。但是，2015年浙江高考文科综合试题第11题给出的某地正午太阳周年位置轨迹图却是“8”字形，我们称其为“日行迹”［1］，它是重要的天文现象（见图1）。该图提供了丰富的天文地理信息。但很多学习者对其中一些问题感到困惑：为什么轨迹是“8”字形？它是如何形成的？图中各点代表哪些日期？二分日的太阳位置究竟在“8”字形的哪个位置？日行迹的时空分布有哪些规律等。

图1

为了培养学习者运用所学知识发现、分析、解决问题的能力和创新能力，不仅要让学习者知道“是什么”，也应懂得“为什么”，知其然更要知其所以然。本文拟从研究正午日行迹的天文学原理入手，进而探讨日行迹的性质和时空分布规律，并根据分析、推理、归纳得出的结论给出上述问题的解释。

一、真太阳日和平太阳日

由于地球不停地自转（同时伴随公转），在其旋转一周的过程中，太阳先后经过地球上所有经线。一个真太阳日就是真太阳视圆面中心相继两次经过当地经线半平面的时间间隔。真太阳是在椭圆轨道——黄道上运行的，根据开普勒第二定律可知，它在轨道上各点的运行速率是不同的。真太阳（视太阳）位于午圈的时刻，即正午12时整，叫做“视午”。

一个平太阳日就是平太阳圆面中心相继两次经过当地经线半平面的时间间隔。平太阳是在天赤道上运行的，它的运行速率是均匀等速的。平太阳位于午圈的时刻，即正午12时整，叫做“平午”。

真太阳日的长度不均匀，用它计时误差较大。为此，美国天文学家纽康于19世纪末提出，用一个假想的太阳（平太阳）代替真太阳，这个平太阳在天赤道上按真太阳在黄道上一年视运动的平均速度匀速运动，并尽量靠近真太阳。一平太阳日等于真太阳日全年的平均值。由于平太阳日的长度较为稳定和均匀，因而人们将它定为时间单位，并将其长度的86，400分之一定为“秒”的长度。之后，国际上规定在英国伦敦格林尼治天文台零度经线测得的并由平子夜作为零时起算的平太阳时叫做“世界时”，它是平太阳时系统的代表。随着计时系统的不断改革和完善，出现了“协调世界时”，设置了“闰秒”制度，它是人们在科研、生活、生产活动中不可或缺的世界时的时刻和原子时的空前精密的秒长相互折衷协调的计时系统。由于它的精密、科学和实用性，在20世纪70年代顺理成章地成为了世界通用的计时系统。

二、日行迹的天文学原理

日行迹的形成主要受以下因素影响：

1.黄赤交角

太阳周年运行的轨道是黄道，而时间（日长）是在天赤道上度量的。由于黄道面与天赤道面有23°26’的夹角（或地轴与地球公转轨道面有66°34’的夹角），由球面三角学的正弦和余弦定理可以计算和证明，每日黄道上的黄经差并不等于它在天赤道上的投影即每日赤经差。在二至日，每日59’（即360°÷365.2422日）的黄经差投影到天赤道上造成64’的赤经差；在二分日，每日59’的黄经差造成54’的赤经差。即黄赤交角因素使太阳日发生±5’的变化，也即±20s的变化。因此，即使每日黄经差都相等，每日赤经差也是不等的，况且每日黄经差并不相等。

2.椭圆轨道

地球公转轨道叫作黄道，其形状为椭圆形，真太阳位于椭圆的一个焦点上，离心率为0.0167，因此日地距离随时在发生变化。根据开普勒第二定律，地球绕太阳公转的速率是不均匀的，有时运行速率快，有时运行速率慢，这就使得真太阳日长度各不相同。1月初，地球位于轨道的近日点，公转速度最快，则太阳日最长，每日黄经差为61’；7月初，地球位于远日点，公转速度最慢，则太阳日最短，每日黄经差为57’。即椭圆轨道因素使太阳日发生±2’的变化，也即约±8s的变化。这样，真太阳日长度与均匀的平太阳日长度59’相比较，就有一个差值。

如果仅考虑黄赤交角的影响，则真太阳长度为二至日最长，二分日最短；如果仅考虑椭圆轨道的影响，真太阳长度为1月初最长，7月初最短。

上述两因素中，黄赤交角影响大于椭圆轨道的影响。由于两因素的叠加作用，全年真太阳日极大值由二至点向近日点（1月初）偏移，极小值由二分点向远日点（7月初）偏移，从而造成：

全年真太阳日极大值为24h0m29s，出现在12月23日，次极大值为24h0m13s，出现在6月20日；

全年极小值为23h59m39s，出现在9月17日，次极小值为23h59m42s，出现在3月26日；

真太阳日长于平太阳日的时段为5月15日～7月26日和11月3日～2月12日；

真太阳日短于平太阳日的时段为2月12日～5月15日和7月26日～11月3日；

真太阳日等于平太阳日的日期为：2月12日，5月14日，7月26日，11月3日；

冬至日接近近日点，则冬至长于夏至；秋分接近远日点，则秋分日短于春分日。

因此，由真太阳和平太阳为标准的计时系统即视（真）太阳时不同于平太阳时，视午不等于平午。

我们定义视时（即视太阳时）减去平时（即平太阳时）叫做时差，即时差η=视时-平时。

真太阳的速率有时大于平太阳，则位于平太阳以西，时差为正值；有时小于平太阳，则位于平太阳以东，时差为负值；有时等于平太阳，则时差为零值。以平午周年位置“l”字形轨迹为标准，全年各日期视太阳偏离平太阳幅度大小不同，因此就形成了“8”字形视午日行迹。［2］

三、北纬40°正午日行迹图的计算和绘制

表1 40°N视午和平午日行迹计算数据

为了深入了解日行迹的性质，我们绘制并选取北纬40°正午日行迹图来进行分析。

首先，选取每月的1日、11日和21日前后、二分二至日、与时差为零值和极值相对应的日期（由于篇幅所限，具体日期请看图2的日期标记），在《中国天文年历》上选取与上述日期相对应的时差和赤纬等数据，在Excel建立表1。因为3、6、9、12月的21日前后为二分和二至日，而1日是各月的首日，选取上述日期可以在日行迹图上清晰地显示各月时段及其对应的太阳位置以及时差周年变化的趋势。

其次，根据球面三角学推导出高度角公式［3］：

（φ∈［-90°，90°］，δ∈［-23°26’，23°26’］，t∈［0°，180°］。）。

上式中，h为太阳高度角，φ为当地纬度；δ为赤纬，即太阳直射点纬度；t为时角，即午圈与太阳所在时圈的经度差。根据余弦和反余弦函数的定义、定义域和值域，为了计算简便并使时角与时差同号，本文定义时角以午圈与周日圈的交点为计算起点，沿周日圈度量，向西为正值，向东为负值。

然后将φ=40°、t值和表1的δ值代入公式（1）中，用Excel软件自动计算出40°N地区全年各日期的真太阳高度角。

例如计算2月12日的太阳高度角，则φ=40°，δ=-13.8222°，t=-14.224÷4°。因为太阳周日运行轨道——周日圈与天赤道平行，而时角是从天赤道或周日圈上度量的，时差既表示视午和平午的差值，同时也反映了视太阳在该日周日圈上的位置，所以时差η可以看作时角t。由于地球的自转，太阳时角每小时增长15°，每4分钟增长1°，即

△t=360°÷24h=15°/h=1°/4min，因此，时差η也可以用角度单位来表示，则时角t =η÷4°=-14.224÷4°。

将上述数据代入公式（1），用Excel进行自动计算，得真太阳高度角：

h=arcsin（sinφsinδ+cosφcosδcost）

=arcsin（sin40°sin（-13.8222°）+cos40°cos（-13.8222°）cos（-14.224÷4°）

=36.0762°

第三，根据球面三角学推导出方位角A公式：

然后将有关数据代入（2）式计算出所有方位角。

根据余弦和反余弦函数的定义、定义域和值域，以及视午的方位角均位于午圈附近，本文定义方位角以南点S为起点，在地平圈上度量，向西为正值，向东为负值，即与时差正负相同。因此，（2）式的计算结果要根据时差的正负修正正负号。

第四，将地平圈作为横坐标轴，表示方位角大小和方向；南点S向上的垂线段为午圈，作为纵轴，表示太阳高度；原点为S。在表1选中“方位角”和“真太阳高度”这两列数据，利用Excel制作“散点图”，最后对图像进行格式修饰。日行迹图的计算和绘制如图2所示。

图2 北纬40°视午、平午日行迹

四、北纬40°正午日行迹图形的性质

1.平午轨迹为“l”字形

当太阳位于正南天空，即位于午圈时，为正午时刻，时角t=0°，代入公式（1），即

sinH午=sinφsinδ+cosφcosδcos0°=cos（φδ）=sin［90°-（φ-δ）］

得正午太阳高度角公式：

以该公式的解为坐标的点都是午圈上的点，即全年各日期的平午高度位置都在午圈上，所以平午轨迹为“l”字形，即图2的午圈。

2.视午轨迹为正“8”字形，但并不是严格垂直于地平

由图2可以看出，视午日行迹为正“8”字形。由于时差较小，全年视午太阳高度最大值和最小值仍然分别在6月22日和12月22日。将表示这两日的点连一直线，作为“8”字的轴线，则该直线上半段向东偏离午圈，下半段向西偏离午圈，即视午日行迹并不是严格地垂直于地平。

3.时差与视太阳日、平太阳日的关系

上述时差实际上是视太阳日和平太阳日差值的累计。这好比手表（视太阳）时间每天比北京时间（平太阳）慢2s，则第60天就比北京时间慢120s；如果第61天手表时间加快2s，则此日手表时长等于北京时间时长，因此第61天仍比北京时间慢120s；从第62天起，如果手表时间每天比北京时间快3秒，则经过40天，两者之差的累计依次为-117s，-114s，…，-3s，0s；再经过20天，两者差值累计为+60s。假如次日手表时长精确等于北京时间时长，而从第3天起，手表时间每天比北京时间慢1s，则从次日起，两者之差的累计依次为+ 60s，+59s，+58s，…。

所以，当视太阳日（手表时间）长于平太阳日（北京时间）期间，视午逐日推迟，时差逐日变小；当视太阳日短于平太阳日期间，视午逐日提前，时差逐日变大；当视太阳日由长于平太阳日转为短于平太阳日，或视太阳日由短于转为长于平太阳日的时刻，也就是视太阳日等于平太阳日之时，时差出现极小值或极大值，如上述-120s和+60s的情况。

视午的方位角与时差呈正相关，因此可以用图2和表1来分析时差与视太阳日、平太阳日的关系。图2中纵坐标为午圈，表示日期；横坐标为地平圈，表示视午的迟早和时差的大小；南点S为原点，表示时差为零值以及平午的位置，向右（西）为正，视午提前，时差增大；向左（东）反之。

全年时差为零值的日期为4月16日，6月15日，9月1日和12月24日，此四日视午与平午均位于午圈上，高度相同，两个太阳重合，具有相等的赤经；［4］

时差极大值为+16.4min，出现在11月3日；次极大值为+3.8min，出现在5月15日。视太阳位于平太阳以西，视太阳日等于平太阳日；

时差极小值为-14.224min，出现在2月12日；次极小值为-6.3min，出现在7月26日。视太阳位于平太阳以东，视太阳日等于平太阳日；

5月15日～7月26日和11月03日～2月12日，真太阳日长于平太阳日，视午逐日推迟，时差逐日减小；

2月12日～5月14日和7月26日～11月03日，真太阳日短于平太阳日，视午逐日提前，时差逐日增大［5］。

4.“8”字形下宽上窄

因为全年时差最大值和最小值分别出现在11月3日和2月12日，两者太阳高度近似相同，均位于“8”字形的下圆环，因此下部宽于上部。

5.“8”字形的两个圆环的交点并不是春秋分日，而是4月16日和9月1日

令m为所求月份，d为所求日期，则北半球夏半年（3月21日至9月23日）总天数Sd为

Sd=｛28（m9-1）+［2.6（m9+1）］-7+d9｝-｛28 （m3-1）+［2.6（m3+1）］-7+d3｝

=｛28（9-1）+［2.6（9+1）］+23｝-｛28（3-1）+［2.6（3+1）］+21｝

=28（8-2）+26+23-10-21=186（天）。

上式中，左边花括号内的算式是计算1月1日至9月23日的总天数；右边花括号内的算式是计算1月1日至3 月21日的总天数；下取整函数［x］表示x的整数部分，其值为不大于x的最大整数，x∈R。

北半球夏半年总计186天，比冬半年的179天（即365-186）多7天。因此，“l”字图形最高点和最低点连线的垂直平分线平行下移一小段距离，与“8”字形相交的两交点才是春秋分日视太阳的位置（见图2）。

6.时差的周年变化趋势

时差的周年变化趋势可以从“8”字的上环和下环分别来分析：

上环的太阳位置随日期的推移沿逆时针方向移动。每年的4月16日，两个太阳具有相等的赤经，时差为零；从这时开始，时差为正值，且愈来愈大，到5月15日达极大值；此后逐渐减小，到6月15日，时差为零；之后时差为负值，到7月26日达极小值；此后负的时差值逐渐缩小，到9月1日，两个太阳又具有相等的赤经，时差为零值；

下环的太阳位置随日期的推移沿顺时针方向移动。9月1日之后，时差为正值，且逐渐增大，到11月3日达全年最大值；之后逐渐减小，到12月24日，时差为零；此后时差为负值，且逐渐减小，到2月12日达全年最小值；此后负的时差值逐渐缩小，到4月16日，两个太阳又具有相等的赤经，都回到一年前的4月16日的位置，时差为零（见图2）。［6］

五、日行迹的时空分布规律

1.北回归线至北极圈之间的北温带地区

视午日行迹为正“8”字形，圆环上小下大；

太阳高度最大值和最小值之差为46°52’，即各日行迹的“身高”均相同。这是因为：

全年正午太阳高度最大值Hmax，应是太阳直射北回归线的时刻，全年正午太阳高度最小值Hmin，应是太阳直射南回归线的时刻。

将δ=-23°26’代入（3）式，因为φ＞δ，

Hmin=90°-|φ-δ|=90°-φ+δ=90°-φ-23°26’；

将δ=23°26’代入（3）式，

Hmax=90°-|φ-δ|=90°-φ+δ=90°-φ+ 23°26’。

联立上两式，并相减，得

Hmax-Hmin=23°26’-（-23°26’）=46°52’。

因为太阳直射点南北移动的幅度为23°26’×2= 46°52’，而此地区位于北回归线以北，φ＞δ，所以极值之差为46°52’。如图3所示。

随着纬度由高纬向低纬逐渐降低，“8”字形整体逐渐平行上移，即太阳高度逐渐增高。因为纬度越低，太阳高度角越大，但极值之差不变，或者说，日行迹的“身高”都相等。

2.南北回归线之间的热带地区

日行迹体现太阳高度角和方位角随日期（或赤纬）而变化。本区是全球太阳最高的地区，各纬度一年内有两次太阳直射。太阳高度自直射点向南北两侧递减；高度极值之差由回归线的46°52’向赤道递减到23°26’，北（南）半球日行迹也随之以地心为旋转中心，逐渐向天顶以北（南）旋转，到赤道，日行迹与地平平行；高度最高的弧段随直射点的移动而移动，日行迹逐渐变形。

以赤道为例，3月和9月太阳直射赤道及其附近，所以这两个时段太阳最高；6月和12月太阳分别直射北回归线和南回归线及其附近，赤道地区远离直射点，所以这两个时段太阳最低，但两者高度基本相同或相近。夏半年和冬半年各时段的太阳分别位于天顶以北和以南，“8”字形与地平面平行；全年高度极值之差即“身高”只有23°26’（见图3）。

图3 北半球主要纬度日行迹

3.南回归线至南极圈之间的南温带地区

此地区为视午标准的倒“8”字形日行迹；随着纬度由南回归线向南逐渐增高，视午“8”字形整体逐渐平行下移。因为纬度越高，高度角越小，但极值之差不变，为46°52’，日行迹的“身高”都相等（见图4）。

图4 南半球主要纬度日行迹

4.极圈至极点的寒带地区

北寒带地区，视午日行迹为正“8”字形的上半部分弧段。以85°N地区为例，4 月3日至9月10日太阳直射点在5°N至23°26’N之间北南移动两次，此时段为160天的极昼期，日行迹图只显示此时段正“8”字形上半部分的弧段；

图5 南极康考迪亚科考站16时日行迹

南寒带地区，视午日行迹为倒“8”字形的上半部分弧段。以85°S地区为例，自10月6日经过12月22日至次年3月8日共有153天的极昼期，日行迹图只显示此时段倒“8”字形的上半部分弧段。图5为科学家在南极的康考迪亚科考站每天16时拍摄的复合照片［7］，清楚地显示了南极附近地区倒“8”字上环太阳随日期的推移呈顺时针方向移动。该影像呈现了9月到3月的太阳位置，其他时间都是极夜，太阳在地平以下。由于大气折光作用，3月23日和9月17日、9月21日的太阳在地平以上。严格来说该科考站并不是南极点，而是南极点附近，因此16时的日行迹略向西倾斜。［8］

由于南北寒带地区各有一时段为极夜期，太阳在地平以下，为负的高度值，其地平以下部分的日行迹不显示，因此，地平面以上日行迹的“身高”取决于极昼期的长短。但太阳在轨道的位置是真实存在的，理论上负的高度值也是合理的，高度的极值之差仍为46°52’。

六、结语

我们来给出2015年浙江高考文科综合试题第11题的解析。

例：图1为某地地方时12时的太阳周年位置轨迹示意图，若甲、乙两个位置的太阳高度之和为90。，则乙位置太阳高度为多少度？

解：由本文分析可知，图1为北半球的日行迹。正午太阳高度全年最小值在地平面以上，说明该地无极夜现象。因为甲乙两个位置的太阳高度之和为90°，而温带范围的太阳高度之和在47°至133°之间，热带范围的太阳高度之和在133°至156.5°之间，见表2（根据公式（3）计算），说明某地位于温带范围，但温带范围的太阳高度角之差必为47°。甲为全年正午太阳高度最大值，应为北半球的夏至日，乙为全年正午太阳高度最小值，应为北半球的冬至日。

表2 北半球正午太阳高度极值之比较

设甲位置太阳高度为H甲，乙太阳高度为H乙。将δ =23.5°代入（3）式，因为φ＞δ，

H甲=90°-|φ-δ|=90°-φ+δ=90°-φ+ 23.5°；

将δ=-23.5°代入（3）式，

H乙=90°-φ+δ=90°-φ-23.5°

联立上两式，并相减，得H甲-H乙=47°。

列方程组：H甲+H乙=90° H甲-H乙=47°

解得： H甲=68.5°

H乙=21.5°

φ=90°-H甲+23.5°=45°

答案：乙位置太阳高度为21.5°。

由（3）式可以得出图1为45°N地区的日行迹。

现象和本质是两个不同的概念。现象是事物本质的外部表现，是局部的，可以为人的感官直接感知；本质是事物的根本特征，是比较深刻的、一贯的和稳定的方面，是事物的内部联系，本质只能借助于分析、推理、论证、综合等抽象理性思维才能被认识。因此我们要透过现象揭示本质，把握事物的规律和发展方向。

日月星辰每日东升西落，即它们各自的周日视运动方向均是自东向西的，其本质是地球自西向东绕地轴自转的结果。

太阳周年视运动方向是自西向东的，其本质是由于万有引力作用，地球自西向东围绕太阳公转的结果［9］。

从地球上看，在天球恒星背景下，火星的视运动方向是向东的，但在“冲”日前后一段时间，也就是地球位于火星和太阳之间，并且三者大致成一直线时，火星是“逆行”的［10］，即向西运行。其原因是地球与火星在各自的椭圆轨道的同侧同向绕太阳公转，且地球公转速度大于火星公转速度，同时两者在椭圆轨道上速率发生变化造成的结果。而其本质则是火星一直在向东运行的。这好比在高速列车（地球）内的乘客，看到的是车外同向（向东）慢速行驶的汽车（火星）在向相反的方向（向西）倒退（逆行）。实际上汽车与列车是同向（向东）行驶的。

在图1至图5中我们看到的现象是，在固定的地点同一时刻视太阳周年位置完整的轨迹为“8”字形；而根据开普勒第一定律，地球轨道是椭圆形，或者说视太阳周年位置轨迹是椭圆形。［11］

又是“8”字形，又是椭圆形。那么，如何解释两者之间的关系呢？其实，这与观测者和太阳的相对位置有关。比如从不同的方向去观察一个正圆，得到的结果可能是正圆或椭圆或直线段等形状。

从地球上看，视太阳轨迹表现为相对于平太阳轨迹的高度和方位的周年变化，如图2。因此，固定的地点同一时刻日行迹表现为“8”字形。

从整体、宏观的层面来看，观测者的视线应从垂直于日行迹的方向去观测，才能得出完整真实的太阳周年轨迹形状。那就是超然于地球，从黄北极观测视太阳周年位置轨迹——黄道的形状为近似正圆的椭圆。

地球上的人类，无法感知地球的公转，人们所能感觉到的只能是太阳的周年运动，它的周年运动实际是地球公转的结果和反映。人们正是通过对太阳周年运动轨迹、位置、周期、速度和方向的观测和研究，得知地球公转的轨迹、位置、周期、速度和方向；同时，对太阳在地球上的日行迹进行天文学原理和时空分布规律的研究，也有助于我们对太阳在其他行星的日行迹的探究。这就是人们研究视太阳运动规律的意义之所在。

参考文献：

［1］ 百度百科.日行迹［EB/OL］.http：//baike.baidu. com/link？url=BR9W12OPrHxkFBuP2sifRY9kN0xi9Rm6VUWz6ZcfuAWDeLunJjoeYIPMLAybfxI6I-om6nctoPpCWZSSWfUca.

［2］ 金祖孟.地球概论［M］.北京：高等教育出版社，1983.

［3］ 人民教育出版社，课程教材研究所.普通高中课程标准实验教科书数学（球面上的几何）［M］北京：人民教育出版社，2008.

［4］ 天文学编委会.中国大百科全书（天文学）·天球坐标系［M］.北京：中国大百科全书出版社，1980.

［5］ 天文学编委会.中国大百科全书（天文学）［M］.北京：中国大百科全书出版社，1980.

［6］ 金祖孟.地球概论［M］.北京：高等教育出版社，1983.

［7］ 百度搜索.“北京天文馆每日一天文图，南极地区史上第一张日行迹”［EB/OL］.http：//weibo.chinatimes. com/user/nasawatch/3890316190986122.

［8］［9］［10］［11］易照华等.天体力学引论［M］.北京：科学出版社，1978.