函数与方程思想在初中数学解题中的应用

刘园园

函数与方程是初中数学很重要的内容，也是中考的重点，函数与方程思想是解决实际问题的重要工具.

例1 （2014·徐州）某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y=ax2+bx-75. 其图像如图1.

（1） 销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？

（2） 销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？

【思路突破】（1） 由函数y=ax2+bx-75的图像过点（5，0）、（7，16），根据待定系数法，可得二次函数解析式，进而求得顶点坐标可确定最值；

（2） 根据函数值大于或等于16，列出不等式，求出x的值，得出单价销售范围.

解：（1） y=ax2+bx-75图像过点（5，0）、（7，16），∴25a+5b-75=0，49a+7b-75=16，解得a=-1，b=20.

∴y=-x2+20x-75=-（x-10）2+25，顶点坐标是（10，25），

即当x=10时，y最大=25.

答：销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元.

（2） （方法一）∵函数y=-x2+20x-75图像的对称轴为直线x=10，可知点（7，16）关于对称轴的对称点是（13，16），

又∵函数y=-x2+20x-75图像开口向下，

∴当7≤x≤13时，y≥16.

（方法二）由-（x-10）2+25=16，

得x1=13，x2=7.

又∵函数y=-x2+20x-75图像开口向下，

∴当7≤x≤13时，y≥16.

答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元.

【解后反思】本题解题关键在于利用二次函数图像的特点，结合待定系数法求解析式，再利用顶点坐标求最值.方法一利用对称点求不等式的解集；方法二通过解方程-（x-10）2+25=16得x1=13，x2=7.两种方法各体现了函数与方程思想的应用，其实很多时候函数问题都可以转化为方程问题来解决.

例2 （2015·安徽）如图2，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c的图像相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b-1）x+c的图像可能是（ ）.

【思路突破】由一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c的图像相交于P、Q两点，得出方程ax2+（b-1）x+c=0有两个不相等的实数根，进而得出函数y=ax2+（b-1）x+c【解后反思】本题考查了二次函数的图像，直线和抛物线的交点，交点坐标和方程的关系以及方程和二次函数的关系等，函数与方程有着相辅相成的关系，熟练掌握函数与方程问题的相互转化及二次函数的性质是解题的关键.

例3 （2015·连云港）在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6 000元购买的门票张数，现在只花费了4 800元.

（1） 求每张门票的原定票价；

（2） 根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠政策，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率.

【思路突破】（1） 设每张门票的原定票价为x元，则现在每张门票的票价为（x-80）元，根据“按原定票价需花费6 000元购买的门票张数，现在只花费了4 800元”建立方程，解方程即可.

（2） 设平均每次降价的百分率为y，根据“原定票价经过连续二次降价后降为324元”建立方程.

（2） 设平均每次降价的百分率为y，根据题意得 400（1-y）2=324，

解得：y1=0.1，y2=1.9（不合题意，舍去）.

答：平均每次降价10%.

【解后反思】方程应用类型的题目解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解.

例5 （2015·南通）关于x的一元二次方程ax2-3x-1=0的两个不相等的实数根都在-1和0之间（不包括-1和0），则a的取值范围是______.

【思路突破】首先根据根的情况利用根的判别式解得a的取值范围，然后根据两个不相等的实数根都在-1和0之间（不包括-1和0），结合函数图像确定其函数值的取【解后反思】关于二次方程的根的分布问题，如果仅仅从方程的角度只考虑Δ>0是远远不够的，这样仅能说明有两个不等实数根而已，要进一步满足两根在-1和0之间，必须将方程转化为对应的二次函数，然后结合二次函数图像的特点（开口方向，对称轴，图像与x轴的交点等）进一步列出参数需要满足的条件方可.

函数思想即用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题，方程思想即从数学问题的数量关系出发，将问题中的条件转化为各种数学模型. 同时，函数思想与方程思想关系密切，有时，需要将函数与方程相互转化才能达到解决问题的目的，正是这些联系，促成了函数与方程思想在数学解题中的互化互换，丰富了数学解题的思想宝库.