基于VaR的报童问题新解

贾达明，文平

(常州工学院数理与化工学院，江苏常州213002)



基于VaR的报童问题新解

贾达明，文平

(常州工学院数理与化工学院，江苏常州213002)

摘要：试图解释管理者的报童问题决策，这些决策基于以下两方面原因可能系统性偏离利润最大化：一决策者可能具有不同于最大化利润的偏好；二决策者可能应用其他方法选择订货量。在2种不同决策方法下，讨论了报童问题的解，并进行了必要的比较静态分析。

关键词：损失厌恶；报童问题；VaR

0引言

一个标准的随机存货管理模型是单阶段报童问题。自从Arrow等[1]开始关注该问题之时，报童问题得到了来自各领域学者的广泛研究。与之同名的故事是这样讲述的：早晨，报童必须决定从报社订多少报纸。他所遇到的难题是他并不知道有多少顾客要买他的报纸，而他所订报纸太多，将有可能因为报纸卖不出去而遭受损失，所订报纸太少，则有可能失去获得额外利润的机会。这种经典的单阶段存贮问题被称为报童问题。报童问题在企业管理中经常会出现，商业企业的订货量问题和生产企业的产出量问题都可归结为报童问题，因此对报童问题的研究非常重要。

经典的报童模型是建立在风险中性的假设基础之上的，认为报童会选择使期望利润达到最大的订货量。然而，实证表明实际订货量往往偏离经典报童模型的最优订货量，且大部分实证结果还表明报童倾向于订购比经典报童模型最优订货量少的货物。为了解释这种现象，学者们从不同角度对报童问题进行了研究。Eeckhoudt等[2]在期望效用理论框架下讨论了风险厌恶的报童的订货量，并对影响订货量的各因素进行了比较静态分析。文平[3]则在Kahneman、Tversky等[4-6]提出的预期理论(prospect theory)框架下对报童问题进行了讨论，他的研究表明，订货量不仅与价格等因素有关，还与报童的损失厌恶程度有关，并且损失厌恶使得订货量比经典报童模型的订货量少。Gotoh等[7]利用条件在值风险讨论了报童问题。Wang等[8-9]同样将损失厌恶运用于报童问题模型中，他发现假如短缺成本不被忽略，损失厌恶的报童的订货量要比经典的报童的订货量要多。不过Wang所用的效用函数与文平所用的效用函数不同，自然所得研究结果也不相同。Herweg[10]假设报童是基于期望的损失厌恶的人，他认为报童的参照点是以往的利润数据，在这些假设下，他推出报童的订货量要比经典报童模型的订货量少。

为此，有必要在一种合理而又简单的决策准则下对报童问题进行讨论。本文试图用一个替换的决策模型——损失厌恶来解决报童问题。之所以用损失厌恶去描述报童问题有两方面原因：一是损失厌恶在金融、经济和组织行为等领域得到了强有力的支持；二是用损失厌恶去描述管理者的决策仍处于开始的阶段。研究的目的就是从另外一个角度构筑框架用以解释为什么管理者的实际订货量异于经典报童模型的最优订货量。

1经典报童模型

在报童问题中，管理者必须在面对随机需求的前提下选择订货量。设X为某一阶段的随机需求，其分布函数为F(x)，其概率密度函数为f(x)。假设货物的单位成本为c，货物的单位售价为p。如果货物因卖不出去不得不以价格s售出，这里假设p>c>s。在经典的报童问题中，最优订货量Q*是在最大化期望利润下得到的，它满足

(1)

定义设X为1个随机变量，其分布函数为F(x)。对于任意α∈(0,1)，称相应的风险在值为F-1(α)，记为VaRα(X)。

根据以上定义，经典报童问题的最优订货量为

Q*=VaRα(X)

(2)

2损失厌恶的报童模型

2.1安全第一决策准则

一种决策准则是控制损失的概率，与之对应的风险测度是损失概率。根据Roy的观点，人们决策时主要考虑的是避免灾难的可能性。他提出的决策准则是安全第一，而给出的风险测度为损失的概率。Roy的风险测度被定义为

R(X)=P(X≤r)

(3)

(4)

则

(5)

所以

(6)

式中β反映管理者对亏损的容忍程度，β的取值越小，说明管理者对亏损的容忍程度越小，他的损失厌恶程度就越高；反之，β的取值越大，说明管理者对亏损的容忍程度越大，他的损失厌恶程度就越小。

为了获得进一步的结论，下面对损失厌恶的管理者的最优订货量进行比较静态分析。

故有定理1 的结论。

该决策准则虽然简单，却具有重要的理论意义和现实意义，不仅表现在定理内容与笔者的直觉是一致的，而且与实证也是一致的。定理1与定理2表明：管理者的损失厌恶程度是另外一个决定定货量的重要因素，管理者的损失厌恶程度越高，管理者的最优定货量就越少；反之，管理者的损失厌恶程度越小，管理者的最优定货量就越多。定理2还表明随着β从0变化到1，最优定货量从(p-s)L/(c-s)变化到(p-s)M/(c-s)。

2.2加权期望损失最小化

经典报童问题的解决是在期望利润最大准则下得到的，同样经典管理者问题的解决也可以在期望损失最小准则下得到。损失函数为

L(Q,X)=(p-c)max(0,X-Q)+(c-s)max(0,Q-X)

(7)

加权期望损失为

(8)

求导后，有

(9)

(c-s)F(Q)+(p-c)F(Q)-(p-c)=0

(10)

所以

(11)

可见，期望利润最大准则与期望损失最小准则是等价的。仔细分析一下期望收益最大准则和期望损失最小准则，会发现两者均存在缺陷。就以期望损失最小准则而言，它将欠缺损失与超额损失在人们决策中视为一样的，这显然与实际不符。所谓欠缺损失，即销售量低于定货量时由于部分产品卖不出去所遭受的损失，是看得见摸得着的损失，不妨称之为显性损失。而超额损失是由于销售量高于定货量时由于部分产品不够卖所遭受的损失，是看得见摸不着的损失，不妨称之为隐性损失。2种损失在决策中所起的作用是不同的。一般来讲，欠缺损失所起的作用要大于超额损失。为了反映两者作用的不同，在决策中应综合考虑两者的作用，为了正确衡量欠缺损失与超额损失的作用，不妨将期望损失最小准则修正为加权期望损失最小准则。加权期望损失为

(12)

式中λ为欠缺损失的权重，它介于0与1之间。

管理者选择的报纸订购量Q就是使w(Q)达到最小值的Q，为此让w(Q)对Q求导得

(13)

则

(14)

所以

(15)

λ(c-s)F(Q)+(1-λ)(p-c)F(Q)-(1-λ)(p-c)=0

(16)

(17)

证明：

故定理3成立。

证明：

加权期望损失最小准则与控制损失概率准则虽然是2种不同的决策准则，但是得到的结论却是类似的，比较静态分析充分地说明了这一点。

2种决策准则中β与λ所起得作用却不同，在加权期望损失最小准则中表示管理者对欠缺损失与超额损失的敏感程度。数值越大表明管理者对欠缺损失比较敏感,越小表明管理者对超额损失比较敏感。

3结论

报童问题是经济管理中常见的重要问题，对它的研究讨论有助于管理者做出科学的、有效的决策。本文在控制损失概率准则以及加权期望损失最小准则下对报童问题进行了研究，并进行了比较静态分析。研究发现：

1)报童的最优订货量不仅与需求量的概率分布、价格、成本等因素有关外，还与人的损失厌恶程度以及人对欠缺损失与超额损失的厌恶程度不同有关。

2)在控制损失概率准则下,报童的损失厌恶程度越高，报童的最优定货量就越少；反之，报童的损失厌恶程度越小，报童的最优定货量就越多。随着损失厌恶程度从0变化到1，最优定货量在需求量所在区间内变化。

3)在加权期望损失最小准则下，如果报童对欠缺损失的厌恶程度高于超额损失，则报童的最优定货量较之经典的最优定货量要小；反之，如果报童对欠缺损失的厌恶程度低于超额损失，则报童的最优定货量较之经典的最优定货量要大。

4)一般来说，报童对欠缺损失的敏感程度要高于对超额损失的敏感程度，正是基于此，报童的最优定货量一般小于经典的最优定货量。

[参考文献]

[1]ARROW K J,HARRIS T.Optimal inventory policy[J].Econometrica,1951(19)：250-272.

[2]EECKHOUDT L,GOLLIER C,SCHLESINGER H.The risk-averse(and prudent)newsboy[J].Manage Sci,1995，41(5):786-794.

[3]文平.损失厌恶的报童：预期理论下的报童问题新解[J].中国管理科学,2005(6):64-68.

[4]KAHNEMAN D A,TVERSKY A D.Prospect theory:An analysis of decision under risk[J].Econometrica,1979(2):263-291.

[5]TVERSKY A，KAHNEMAN D.Advances in prospect theory:Cumulative representation of uncertainty[J].J Risk & Uncertainty,1992，5(4):297-323.

[6]TVERSKY A,KAHNEMAN D.Rational choice and the framing of decisions[J].Journal of Business,1986，59(4):251-278.

[7]GOTOH J Y,TAKANO Y.Newsvendor solutions via conditional value-at-risk minimization[J].Eur J Oper Res,2007(1):80-96.

[8]WANG C X,WEBSTER S.The loss-averse newsvendor problem[J].Social Science Electronic Publishing,2009(1):93-105.

[9]WANG C X,WEBSTER S,SURESH N C.Would a risk-averse newsvendor order less at a higher selling price?[J].European Journal of Operational Research，2009(2):544-553.

[10]HERWEG F.The expectation-based loss-averse newsvendor[J].Economics Letters,2013(3):429-432.

责任编辑：陈亮

A New Solution to Newsvendor Problem Based on Value-at-Risk

JIA Daming，WEN Ping

(School of Sciences and Chemical Engineering,Changzhou Institute of Technology,Changzhou 213002)

Abstract：This paper expounds on managers′ newsvendor decisions.These decisions may systematically deviate from profit maximization for several reasons.First,the decision maker may have preferences other than profit maximization.Second,the decision maker may apply a heuristic method to choose an inventory degree.Under the two different decision making,this paper discusses the newsvendor problem and reaches a solution to the newsvendor problem.Finally,comparative static effects of changes in the various price and cost are analyzed.

Key words：loss aversion;newsvendor problem;Value-at-Risk

doi:10.3969/j.issn.1671- 0436.2016.02.013

收稿日期：2016- 01- 03

作者简介：贾达明(1958—)，男，副教授。

中图分类号：F224

文献标志码：A

文章编号：1671- 0436(2016)02- 0055- 06