基于自动微分技术的含UPFC电力系统最优潮流

钱臻，刘建坤，陈静，张宁宇，李海欣（.河海大学能源与电气学院，江苏南京　00；.江苏省电力公司电力科学研究院，江苏南京　006；.国网福建省电力公司福州供电公司，福建福州　5000）



基于自动微分技术的含UPFC电力系统最优潮流

钱臻1，刘建坤2，陈静2，张宁宇2，李海欣3
（1.河海大学能源与电气学院，江苏南京211100；2.江苏省电力公司电力科学研究院，江苏南京210036；3.国网福建省电力公司福州供电公司，福建福州350003）

摘要：根据UPFC的稳态潮流模型，提出了基于原对偶内点法与自动微分（AD）技术相结合的含UPFC最优潮流算法。采用自动微分技术实现了雅可比矩阵和海森矩阵的自动生成，减少了微分表达式的推导，从而提高了开发效率。算例仿真结果表明，该算法对含UPFC的OPF模型具有良好的适用性和收敛性。

关键词：统一潮流控制器；自动微分技术；原对偶内点法；最优潮流

Project SuPPorted bY Nationa1 Natura1 Science Foundation of China（51277052）；the Science and Techno1ogY Project of State Grid （SGRI-DL-71-14-002）.

KEY W0RDS：unified Power f1ow contro11er；automatic differentiation；Prima1-dua1 interior Point method；oPtima1 Power f1ow

统一潮流控制器（unified Power f1ow contro11er，UPFC）是迄今为止功能最强大、控制方式最灵活的新一代柔性交流输电（f1exib1e AC transmission sYstems，FACTS）装置，其综合了多种FACTS装置的控制方式。UPFC可以通过控制线路阻抗、相角、电压三大参数，独立地实现对输电线路潮流和节点电压的控制［1-3］。其不但可以有效地改善电力系统的潮流分布，而且能够提高电力系统的稳定性，具有广阔的应用前景［4-6］。我国的UPFC示范工程也将于2016年在江苏南京落地。

最优潮流（oPtima1 Power f1ow，OPF）因能够同时考虑电力系统的安全性、经济性以及电能质量，在电力系统优化运行领域得到广泛运用［7-8］。文献［9］提出了一种利用直接非线性原-对偶路径跟踪内点算法求解含UPFC的OPF问题的算法，但是采用该算法，在模型发生变化的情况下，程序的适用性和可扩展性不高；文献［10］探讨了用牛顿法求解含UPFC 的OPF问题，并推导了UPFC所连节点注入功率以及等效串、并联电源的偏导公式，但是UPFC的引入以及其控制方式的多样性将使雅可比矩阵和海森矩阵的求解变得十分复杂，使得编程难度大大增加。因此，寻找一种快速有效的方法来求解含UPFC的OPF问题具有重要意义。

自动微分（automatic differentiation，AD）技术是计算机数值计算和分析领域内的一项崭新的技术。AD技术将微分定义为代数运算，只需要输入函数的解析表达式即可自动计算函数的任意阶导数，因此大大降低了编程和计算的复杂度。目前，AD技术已在电力系统潮流计算、状态估计以及OPF计算等方面得到广泛应用［11-15］。

本文基于UPFC的稳态功率模型，实现了计及UPFC的最优潮流计算，考虑到其具有多种功能和控制方式，采用自动微分技术实现了雅可比矩阵和海森矩阵的自动生成，简化了编程的难度。算例仿真结果表明，本文所提算法具有很好的适用性和良好的收敛性，有效地提高了含UPFC的OPF问题的求解效率。

1　自动微分技术

AD技术的软件代码能自动获取函数的导数，它以链规则为数学理论基础。由于任何解析函数被分解成一系列的基本运算，例如+、-、×、÷、指数函数、正弦函数等，链规则都能够得到这些基本运算的导数。因此，任何简单原始函数的导数能够被推导出来。

自动微分有正向和反向模式［16］。例如：

本例的计算图如图1所示，x4～x9为中间变量，并令x9等于y。

图1　（fx1，x2，x3）的计算图Fig. 1 Computational diagram of（fx1，x2，x3）

正向模式直接利用链规则的优势，分别由一个自变量计算所有因变量的偏导数。反之，反向模式由所有自变量计算一个因变量的导数。在反向模式下实现函数f（x1，x2，…，xn），偏导数δy/δx可以由函数的偏导数δy/δxj和式（2）得到：

表1　正向模式和反向模式Tab. 1 The forward model and the reverse model

AD技术的反向模式的一个明显的缺点是需要存储整个计算图来完成导数计算，在解决大规模问题时需要相当大的内存。正向模式避免了存储整个计算图，相比于反向模式，节省了CPU时间和内存。因此，本文采用AD技术的正向模式。

2　含UPFC的OPF模型

2.1UPFC稳态模型

图2为UPFC的双电压源模型等值电路［17-18］，UPFC安装在线路sm的首端s侧。r为新增节点，其将UPFC所在的支路分解为UPFC支路sr和原线路支路rm，使UPFC成为独立的支路参与系统潮流计算和最优潮流计算。

图2　UPFC双电压源等值电路Fig. 2 Equivalent dual voltage sources circuit of UPFC

在潮流或最优潮流计算中，需要求出UPFC所在支路两端节点s、r的注入功率Ps+jQs、Pr+jQr。

然后将注入功率代入潮流方程中，UPFC的作用将被等效为两端的节点注入功率，节点s、r之间等效为不再相连，大大减少了计算难度。

2.2含UPFC的OPF

含UPFC的OPF问题可表示为非线性优化模型：

式中：x为待优化变量；f（x）为目标函数；h（x）和g（x）分别为等式约束和不等式约束，为不等式约束上、下限。

1）以发电费用最小作为目标函数：

式中：a2i、a1i、a0i为第i台发电机的经济费用参数；PGi为第i台发电机的有功出力。

2）以系统网损最小作为目标函数

式中：PDi为节点i的有功负荷。

2.2.2等式和不等式约束

含UPFC的OPF模型中等式约束包括一般节点功率平衡方程、UPFC的首末端节点功率平衡方程、UPFC有功功率平衡方程、UPFC控制目标约束。

1）节点功率平衡方程为：

式中：ΔPi、ΔQi为节点功率残差；Pi、Qi为节点等效注入功率；Vi、Vj为节点电压幅值；θij、Gij、Bij分别为节点i、j间的相角差、电导以及电纳。

需要指出的是，在UPFC所在支路的首末节点还应加入Ps+jQs、Pr+jQr作为UPFC所在支路首末端节点的附加注入功率。

2）UPFC有功功率平衡方程为：

式（8）保证了稳态时并联侧的有功输入与串联侧的有功输出相等，即UPFC既不吸收系统的有功功率，也不对系统注入有功功率。

3）UPFC控制目标约束。UPFC的控制目标有并联侧的节点电压Vs、UPFC支路末端有功Pr和无功Qr，其方程为：

一般不等式约束包括发电机出力有功无功上下限、节点电压幅值限制、线路功率约束；在计及UPFC的模型中，还包括UPFC等效电压源幅值限制等，表达式为：

3　AD技术在含UPFC的OPF计算中的应用

3.1AD技术在基于内点法的OPF中的应用

构造拉格朗日函数来求解式（4）所示非线性规划问题［19］：

式中：y、z、w为拉格朗日乘子；l、u为不等式约束的松弛变量；μ为障碍函数的罚因子。

将库恩-塔克（karush-kuhn-tucker，KKT）条件线性化后，用牛顿-拉夫逊法进行求解。求解的过程中，需要计算多个雅克比矩阵和海森矩阵，而引入UPFC和改变UPFC的控制方式将使得f（x）、g（x）、h（x）出现不同程度的改变，因此微分表达式的推导和实现都将变得更加复杂。

自动微分技术将求解复杂的雅克比矩阵和海森矩阵的工作交给计算机自动完成，能够快速而准确地实现含UPFC的OPF问题计算。以h（x）为例，运用AD技术求雅克比、海森矩阵的具体步骤如下。

1）为AD申请内存，声明活跃变量：自变量X和因变量H（X）。

2）将系统变量x的数值传递给活跃变量X。

3）用自变量X写出H（X）的表达式。

4）将H（X）的数值传递给h（x）。

通过步骤1）～4）实现的基于AD技术的含UPFC 的OPF，只需为求解程序提供问题模型的表达式，即可自动完成其余计算，在式（9）的UPFC控制方式改变时，只需修改对应的UPFC控制目标约束。

3.2求解步骤

基于AD技术内点法对含UPFC的OPF进行优化计算，其具体求解步骤如图3所示。

图3　基于AD技术计算含UPFC的0PF计算流程Fig. 3 Calculation flow chart of 0PF with UPFC based on AD

4　算例分析

4.1UPFC控制效果测试

采用IEEE-14系统对UPFC在最优潮流中的控制效果进行测试分析，加装UPFC于线路4～5的节点4侧。需要添加新节点15于4～5线路之间，以发电费用最小为目标。所用计算机处理器主频3.4 GHz，内存4 GB，运行平台为Windows 7。

设计如下几种UPFC控制方式：

3）不设置控制值。

需要说明的是，方式3）表示不限定各控制量的值，这样做的意义在于，最优潮流模型中增加了UPFC变量，方式3）不加任何控制条件，使得寻优空间变大，理论上将会获得更优的目标函数值。这其实是在解最优潮流的同时，寻找UPFC最优控制策略的过程。同理，方式1）表示对Vs_ref不设置控制值。

表2　各控制方式下的UPFC参数和目标函数Tab. 2 Parameters and calculation results of UPFC in different control modes

由表2可知，本文提出的算法对于UPFC多种控制方式均能优化，具有较强的适应性，其中控制方式1）、2）的不同，导致了UPFC控制参数的很大差异，这也说明了UPFC拥有灵活的控制能力。另外，控制方式1）UPFC的加入，能够使OPF目标函数进一步降低，但控制方式2）比控制方式1）多一个约束条件，使得问题的寻优空间减小，其最优值反而大于无UPFC的情况；而控制方式3）相比于其他情况，其目标函数值是最优的，这是因为控制方式3）能够实现自动寻优，它是一种非常适合于最优潮流的控制方式，能够使UPFC在最优潮流中发挥最大作用。

4.2算法收敛性测试

首先，对IEEE-14系统在各种UPFC控制方式下的最优潮流收敛性进行分析。选取不加装UPFC、控制方式1）、控制方式3）3种情况的最优潮流作为对象，求得的收敛曲线如图4所示。

从收敛曲线中容易得到，加装UPFC后的OPF的两种补偿间隙减小速率明显慢于无UPFC的OPF。无UPFC经过10次迭代完成收敛，而控制方式1）、3）分别经过15、21次才收敛，且含UPFC的OPF的收敛曲线的波动性更大。表明UPFC将改变最优潮流的收敛特性，且不同控制方式由于寻优范围不同导致收敛特性不同。

图4　补偿间隙收敛曲线和最大潮流差收敛曲线Fig. 4 Convergence curve of compensation clearance and maximum flow difference

4.3某市78节点系统优化效果

受负荷和电源分布等因素影响，某市电网内存在220 kV线路输送功率不均的情况，线路重载和轻载情况并存，局部地区少量重载线路的存在导致电网整体供电能力难以提升。

该系统总负荷6 429.1 MW，输电线路132条，其中变压器20台。现考虑在该市加装两台UPFC装置［20］，并采用最优潮流控制策略，研究含UPFC的OPF对该市供电能力的影响。其中UPFC的安装选址有两种方案：

1）加装于线路8～26的双回路上，记为1号；

2）分别加装于线路26～27和线路41～39，记为2号。

UPFC的控制方式都采用的控制方式3），其计算结果如表3所示。

表3　目标函数值比较Tab. 3 Comparison of the objective function values

由表3可知，含UPFC的OPF的网损值都优于传统的OPF，证明了加装UPFC提高了该市电网的经济运行能力。而在2种UPFC加装方案中，方案1的优化效果优于方案2，说明UPFC选址对最优结果有一定影响，2种加装方案下UPFC控制策略如表4所示。

表4　UPFC最优目标参数Tab. 4 The optimal parameters of UPFC

由于该市电网存在潮流不均、部分线路重载等问题，限定线路传输功率上下限为原来的75%，加入以上限制后的计算结果如表5所示。

表5　计及限制后的UPFC参数和目标函数Tab. 5 Parameters and calculation results of UPFC considering limits

由表5可知，加入限制后UPFC参数发生了较大变化，程序找到了新的最优点；而目标值相比于未限制时有所增大，但依然小于不含UPFC的情况，证明UPFC具有强大的潮流控制能力，能够解决线路重载问题。

综上所述，UPFC的接入改善了该市电网输送功率不均的状况，提高了该市的供电能力，也提高了该市电网运行的经济性。

5　结语

UPFC具有多种控制方式，给定UPFC参数可以改善系统运行特性，提升电网供电能力；不给定UPFC参数可以扩大最优潮流的寻优范围，提高电网的经济运行能力。算例仿真验证了AD技术和内点法结合的实现方法对计及UPFC的OPF模型具有很好的适用性和良好的收敛性。

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钱臻（1993—），女，硕士研究生，研究方向为计及FACTS的电力系统分析；

刘建坤（1980—），男，高级工程师，研究方向为电力系统计算和分析工作。

（编辑董小兵）

0ptimal Power Flow with UPFC Based on Automatic Differentiation

QIAN Zhen1，LIU Jiankun2，CHEN Jing2，ZHANG NingYu2，LI Haixin3
（1. Co11ege of EnergY and E1ectrica1 Engineering，Hohai UniversitY，Nanjing 211100，Jiangsu，China；2. Jiangsu E1ectric Power ComPanY Research Institute，Nanjing 210036，Jiangsu，China；3. Fuzhou E1ectric Power SuPP1Y ComPanY，State Grid Fujian E1ectric Power ComPanY，Fuzhou 350003，Fujian，China）

ABSTRACT：The introduction of unified Power f1ow contro11er （UPFC）has comP1icated the so1ving Procedure of the oPtima1 Power f1ow（OPF）. This PaPer ProPoses an OPF a1gorithm incor-Porating UPFC（so1ved bY Prima1-dua1 interior Point method）on the basis of combination of the steadY state mode1 of UPFC and the automatic differentiation（AD）technique. The AD technique is emP1oYed to estab1ish the Jacobi and Hessian matrix automatica11Y. Thus，the efficiencY is imProved bY reducing the deduction of differentia1 exPressions. The ProPosed a1gorithm is verified on test cases to demonstrate its aPP1icabi1itY and convergence.

文章编号：1674-3814（2016）04-0024-06中图分类号：TM711

文献标志码：A

基金项目：国家自然科学基金资助项目（51277052）；国家电网公司科技项目（SGRI-DL-71-14-002）。

收稿日期：2015-09-06。

作者简介：