基于疲劳累积损伤的板弹簧疲劳寿命预测与实验研究

李智勇 王文瑞 聂 帅

(1北京科技大学机械工程学院 北京 100083) (2北京现代汽车有限公司技术中心 北京 101300)

基于疲劳累积损伤的板弹簧疲劳寿命预测与实验研究

李智勇1王文瑞1聂 帅2

(1北京科技大学机械工程学院 北京 100083) (2北京现代汽车有限公司技术中心 北京 101300)

在斯特林发动机板弹簧理论研究模型基础上，建立疲劳强度有限元模型，以位移方式加载模拟其工作过程，研究板弹簧在实际工况下的变形与应力状况，并采用Gerber模型计算板弹簧疲劳强度。然后，基于板弹簧工作疲劳载荷谱，利用疲劳累积损伤理论，建立弹簧疲劳寿命预测模型。研究表明板弹簧疲劳失效发生在涡旋臂根部，选取合适的型线结构以及弹簧材料，可以使得弹簧满足疲劳强度和工作寿命要求。最后，搭建板弹簧疲劳寿命实验台对疲劳寿命仿真预测模型结果进行验证。结果表明，建立的板弹簧疲劳寿命预测模型准确，研究方法有效，结果可信。

斯特林制冷机 板弹簧 疲劳强度 工作寿命 实验研究

1 引 言

随着低温制冷系统的发展，大冷量自由活塞斯特林制冷机在空间观测、侦查、固体电子学及低温生物方面有着广泛的应用前景和重要的使用价值。斯特林制冷机通常采用直线电机驱动、间隙密封、板弹簧支撑的技术方案，独特的封闭循环方式使其成为当前低温制冷系统研究的热点[1-2]。板弹簧是保证斯特林制冷机正常工作的重要部件，弹簧疲劳失效是斯特林制冷机的主要失效模式，板弹簧的寿命直接影响着斯特林制冷机的安全服役性能[3]。板弹簧的疲劳强度和工作寿命的研究，对于斯特林制冷机的可靠性分析有着重要的理论价值和工程价值。

目前相关文献对板弹簧强度的研究主要通过仿真和实验的手段。仿真方面，通常基于有限元模型施加最大静态轴向行程，得到其最大工作应力，再与材料的疲劳极限进行对比分析，但未针对实际的动态位移载荷情况，进行应力场分析，而且也未利用得到的应力场进行板弹簧疲劳寿命预测[4-7]。强度试验方面，主要是利用弹簧拉伸试验机，研究板弹簧在轴向拉伸过程中静强度情况，对板弹簧的疲劳寿命试验不足[8-9]。

建立板弹簧疲劳强度力学分析模型，结合相应应力集中衡量指标，采用Gerber模型计算板弹簧的疲劳强度，建立强度失效准则。基于板弹簧工作疲劳载荷谱，采用疲劳累积损伤理论预测板弹簧的工作寿命。在疲劳寿命仿真预测基础上，搭建板弹簧疲劳寿命实验台，通过实验数据与仿真结果的对比，最终验证板弹簧满足其疲劳强度和工作寿命要求，为板弹簧的设计和分析提供理论基础和工程依据。

2 板弹簧理论研究模型

工作中，板弹簧随着由直线电机驱动的压缩活塞做上下往复运动。板弹簧外边缘与机体用螺栓固定，内边缘通过活塞杆与直线电机动子相连，弹簧处于四周固定中心随动的力学环境中。板弹簧的型线参数和结构尺寸对其疲劳强度有着重要的影响。根据渐开线几何学特性，为某型斯特林制冷机设计涡旋槽，设定基圆半径R，内侧曲线的发生角为+β/2，外侧曲线的发生角为-β/2，得到如图1所示的两条等距渐开线，形成板弹簧涡旋槽。涡旋槽内外侧上任意一点M1和M2的笛卡尔坐标分别是：

(1)

式中：(x1，y1)表示涡旋槽内侧上点的坐标；(x2，y2)表示涡旋槽外侧上点的坐标，其中各符号含义与取值参见表1。

表1 板弹簧基本参数

图1 等距涡旋槽型线Fig.1 Equidistance line of vortex groove

板弹簧如图2所示，涡旋槽按空间规律排列呈辐射状，涡旋槽内圈起始点选取与弹簧中心活塞连接孔、紧固螺母的大小相关；外圈终止点选取则与弹簧外径尺寸大小及弹簧与压缩机机体装配情况有关。因此需要将涡旋槽内外端光滑封闭，这样即满足整体尺寸和装配要求，也防止末端由于非平滑引起的应力集中。

图2 板弹簧Fig.2 Flexure spring

3 板弹簧疲劳强度有限元模型

建立板弹簧疲劳强度模型过程中，为了更准确地反映板弹簧轴向变形和应力分布情况，在板弹簧厚度方向和首尾封闭处加密了网格数量，有限元模型的网格划分结果如图3所示。弹簧材料为60Si2 MnA，弹性模量为206 GPa，密度为7.85×103kg/m3，泊松比0.3。板弹簧外边缘一周各点的x、y、z方向的移动和转动均被约束，在弹簧的内边缘施加正弦变化的位移载荷。

图3 网格划分Fig.3 Meshing

4 板弹簧疲劳强度研究

在往复载荷作用下，疲劳裂纹一般从结构的局部应力集中处产生，继而不断扩展，导致结构失效。通过考察节点处的应力集中程度，可预测疲劳裂纹产生的位置，并通过理论方法计算构件的疲劳强度，为疲劳设计提供参照。

4.1 板弹簧应力集中研究

疲劳缺口应力集中系数Kf反映了试件缺口对疲劳强度的降低程度，Kf与材料、缺口形状、载荷形式等因素有关，可以通过疲劳试验测得。采用Peterson近似算法建立的疲劳缺口系数计算公式[10],Peterson根据统计尺寸效应，提出了确定疲劳缺口应力集中系数的数学关系式：

(2)

对板弹簧模型进行计算，为模拟板弹簧实际载荷工况，在模型内孔处施加7mm的极限位移载荷。观察板弹簧应力场分布情况可知，在涡旋槽首尾封闭小圆弧处有一定的应力集中，而在涡旋臂中段和板弹簧外测安装孔附近所受应力较小。图4表示涡旋槽内、外圈封闭处应力集中情况。图中颜色越亮的区域表示其应力集中程度越明显，可以看出内、外圈两处应力云图形态一致，但外圈涡旋槽封闭处的应力集中情况更加明显。

图4 涡旋槽内外圈封闭处应力集中情况Fig.4 Stress concentration of vortex inner and outer ring

以表1所示结构参数的板弹簧为例计算弹簧疲劳缺口应力集中系数Kf。首先提取涡旋槽内外圈封闭处局部最大应力，并通过计算4条对称涡旋臂的平均值，得到涡旋槽内圈最大应力σmax1=216.5 MPa和外圈最大应力σmax2=281.3 MPa。由涡旋槽封闭处的应力云图可知，在距离封闭圆弧5r倍处，应力变化很小，在95.9 MPa至111.1 MPa之间，取这些测点的平均值作为受轴向集中载荷作用的板弹簧表明的名义应力，即σn=104.1 MPa。计算可得内圈理论应力集中系数Kt1=2.08和外圈理论应力集中系数Kt2=2.70。然后，按照Peterson算法计算疲劳缺口系数，采用60Si2MnA，材料抗拉强度σb=1 372 MPa，则a=0.052 3 mm；缺口半径r为涡旋槽封闭圆弧半径=1.5 mm。将Kt、a和r代入式(2)得到板弹簧涡旋槽内外圈疲劳缺口应力集中系数Kf1=2.04和Kf2=2.65。

4.2 板弹簧疲劳极限模型

对于有缺口的板弹簧结构来说，缺口处的应力幅为Kfσa。则：

(3)

考虑平均应力σm对构件的疲劳性能产生影响，这时因为当应力幅一定时，平均应力的增大会导致疲劳强度降低。同时，在实际工况中，板弹簧承受非对称循环载荷，即应力比R≠1，因此需要根据载荷条件对疲劳极限进行进一步修正。

由载荷条件引起的平均应力σm可表示为：

(4)

为了计算构件在不同应力比下的疲劳极限，根据材料的平均应力极限应力线，提出了一些估算疲劳极限的经验模型[11]。选取Gerber抛物线模型，其方程表达式为：

(5)

Gerber抛物线模型假设疲劳极限线是一条通过对称循环疲劳极限点和抗拉极限应力点的抛物线，根据相关实验Gerber抛物线与实验数据比较符合，尤其在传统的疲劳强度设计计算中的疲劳极限的标准差计算比直线模型简便的多，因此Gerber应用最广[7]。

采用Gerber模型预测板弹簧疲劳极限方程表达式为：

(6)

4.3 板弹簧疲劳强度计算及参数影响分析

现采用Gerber模型，结合上文分析计算的板弹簧疲劳缺口系数，预测板弹簧涡旋槽内外圈圆弧封闭处的疲劳极限，则对应于设计寿命106次脉动循环载荷作用下的疲劳强度为Δσ=2σ0，得到如图5和图6所示的板弹簧疲劳强度与结构参数的变化关系曲线。由图5可知，板弹簧内圈涡旋槽封闭处的疲劳强度大于外圈的疲劳强度，表示涡旋槽外圈圆弧封闭处更易发生疲劳破坏。而且随着弹簧厚度的增加，疲劳强度降低，寿命减小。从图6得到，随着涡旋槽槽宽的增加，板弹簧的疲劳强度呈先上升后稳定的趋势，当槽宽超过3 mm时，疲劳强度基本保持不变，可见当涡旋槽槽宽较小时，改变涡旋槽槽宽可以明显的改变板弹簧疲劳强度。

图5 弹簧厚度与疲劳强度关系曲线Fig.5 Diagram of spring thickness and fatigue strength

图6 涡旋槽槽宽与疲劳强度关系曲线Fig.6 Diagram of scroll groove width and fatigue strength

5 板弹簧工作寿命预测

板弹簧是斯特林制冷机中的关键部件，其寿命直接影响制冷机的可靠性，所以对实际工况下板弹簧疲劳强度及寿命的研究是至关重要的。利用疲劳累积损伤分析理论，借助Fe-safe耐久性仿真分析软件，完成对板弹簧在工作载荷下的寿命估算，并探究材料参数和结构参数对寿命的影响规律。

5.1 板弹簧工作寿命预测模型

查阅相关设计手册，再根据板弹簧的实际工况，选择60Si2MnA为设计材料。Fe-safe材料库含有Seeger近似算法，允许用材料的抗拉极限和弹性模量生成近似的材料疲劳数据。根据前面查找的材料数据，60Si2MnA的强度极限UTS为1 372 MPa，弹性模量为206 GPa，将以上的数据导入Fe-safe疲劳分析软件中得到如表2所示的60Si2MnA的疲劳性能参数。表中α为材料的延伸率，其中：

(7)

在Fe-safe中Ansysis Settings栏中，通过双击Algorithm来完成疲劳算法的选择。根据60Si2MnA的材料性能，该种材料属于韧性材料，因此，疲劳寿命分析模型中采用Brown-Miller组合剪应变及法向应变的方法，这种方法属于局部应力应变法的范畴，适用于大多数金属材料。Brown-Miller应变寿命方程见式(8)。

(8)

式中：Δγmax为剪应变；Δεn为正应变范围；C1、C2为常系数，C1=1.65，C2=1.75。

通过Fe-safe疲劳寿命分析求解模块，得到了板弹簧在7 mm极限工作振幅情况下的疲劳寿命分析结果，所选的设计寿命N为106。图7板弹簧工作寿命云纹图及其局部放大图。由图7分析可以得出：基于局部应力-应变法的板弹簧的最小寿命发生在板弹簧涡旋臂的始端和末端，最短对数寿命为5.876，即循环次数为105.876≈751 623。

图7 板弹簧工作寿命云纹图Fig.7 Moire pattern of flexure spring working life

5.2 板弹簧工作寿命结果分析

首先选取两种常用的弹簧钢材料，包括65Mn和60Si2MnA。为了研究这两种材料在设计寿命下，可以满足的最大工作振幅和弹簧厚度，运用控制变量法，通过保持弹簧结构不变施加不同工作振幅和保持工作振幅不变改变弹簧厚度的两种研究方案，得到如图8和9所示的结果。由图8分析得出，保持弹簧结构参数不变时，若增大板弹簧的工作振幅则工作寿命呈减小的趋势，其中65Mn材料的减小幅度大于60Si2MnA。65Mn材料在工作振幅是5 mm之前，均可以满足设计寿命，当工作振幅增加到5 mm时，其对数寿命降低到5.588，无法满足正常的工作要求。60Si2MnA材料是两者中抗疲劳性能最好的材料，在工作振幅是7 mm之前，其许用寿命远大于设计寿命，直到工作振幅达到7 mm时，对数寿命才降低到6以下。通过以上分析得出，60Si2MnA材料更适合选作斯特林制冷机用直线压缩机中高频板弹簧的材料，在合适的结构设计下，可以使其满足工作寿命要求。由图9可以看出，随着板弹簧厚度的增加，其工作寿命均迅速下降，可见板弹簧厚度的变化对其工作寿命的影响是十分显著的。所以通过修改弹簧的厚度，可以设计出满足不同寿命要求的板弹簧。在7 mm的极限工作振幅下，两种材料的板弹簧均不能达到较大

图8 工作振幅与工作寿命的关系Fig.8 Diagram of working amplitude and working life

图9 弹簧厚度与工作寿命的关系Fig.9 Diagram of spring thickness and working life

的厚度，若因此不能满足其轴向和径向刚度要求，就需要通过修改板弹簧其它的结构参数来兼顾寿命和刚度要求，使板弹簧的工作性能和可靠性均满足设计要求。

6 板弹簧疲劳寿命实验研究

6.1 搭建板弹簧疲劳寿命实验台

在疲劳寿命预测分析的基础上，搭建板弹簧疲劳寿命实验台，对实际工况下的弹簧进行疲劳寿命实验，并将实验数据与仿真结果进行对比验证。通过分析板弹簧的型线结构，为了使得贴好的应变片具有良好响应输出信号，需要选择在板弹簧交变振动时，在材料出现拉压情况的位置[12]。根据有限元分析，弹簧涡旋臂根部变形和应力很大，而且有足够大贴片空间，所以在弹簧涡旋臂根部分径向和切向贴应变片，并编号1-7，如图10所示。

图10 贴片位置图Fig.10 Chart of chip location

按照图10所示的位置将应变片组成的桥路固定在板弹簧表面，通过DH3810应变适调器为电桥供电，并读取应变变化，将应变变化转化为电压信号，记录在信号采集分析设备DH5920动态信号测试分析系统中，组成如图11所示的测试实验系统图。实验的惠更斯电桥组桥方式选用半桥测量方式，这种电桥方式适用于测量拉伸压缩或者弯曲应变，对测试环境要求不高。

图11 测试实验系统图Fig.11 Chart of test system

通过加载记录，得到不同测点处的应变值，再与有限元模型中得到的应变场进行对比分析，绘制出如图12所示的应变场对比分析柱状图。由图12分析得出：板弹簧涡旋臂根部沿切向的应变大于径向的应变值，而且4条涡旋臂根部的应变保持一致，说明4条涡旋臂在空间位置的受力情况相同。通过将仿真数据与实验结果对比分析，两者结果相吻合，验证了仿真模型是正确的， 也证明所搭建的弹簧疲劳寿命实验台可以准

图12 应变场对比分析图Fig.12 Chart of strain distribution

确的反映板弹簧在实际工作过程中的变形情况。

6.2 板弹簧疲劳寿命实验研究

当工作中的板弹簧失效时，最容易发生失效破坏的涡旋臂根部的应变值会出现突变，并以此为指标，判断板弹簧是否达到寿命。板弹簧的设计寿命为106次，当循环次数达到设计寿命时，若弹簧还没有失效，则符合设计要求，寿命记为106次；反之，弹簧不符合设计要求，并记下其循环次数。弹簧材料和弹簧厚度对板弹簧工作寿命的影响关系如表3和表4所示。由表3可知，当板弹簧轴向位移逐渐增加时，65 Mn材料的弹簧在位移达到5 mm时便已失效，但60Si2MnA材料的弹簧在满足设计寿命要求下，轴向极限位移可以达到6 mm，可见相同载荷条件下，60Si2MnA材料更适合做板弹簧材料。由表4可知，随着弹簧厚度的增加，两种材料的板弹簧寿命均极速下降，可见厚度参数对板弹簧的寿命有着重要的影响，在满足刚度要求情况下，选用较薄的弹簧有助于提高其使用寿命。通过对比实验数据与仿真结果，可知疲劳寿命实验台得到的板弹簧使用寿命与Fe-safe仿真分析结果相一致。

表3 弹簧材料与工作寿命的关系

表4 弹簧厚度与工作寿命的关系图

7 结 论

(1)通过板弹簧疲劳强度有限元模型，计算疲劳缺口应力集中系数，得到涡旋槽内外圈圆弧封闭处应力集中情况最明显；在应力集中研究基础上，采用Gerber模型计算了板弹簧疲劳强度，通过控制变量法，得到结构参数对板弹簧疲劳强度的影响规律。

(2)采用疲劳累积损伤理论，借助Fe-safe耐久性仿真分析模块，对板弹簧的循环疲劳寿命进行分析，得到设计寿命下的安全系数。探究结构参数对在实际工作过程中板弹簧疲劳强度和寿命的影响规律，筛选出更适合的板弹簧材料60Si2MnA。

(3)搭建板弹簧疲劳寿命测试实验系统，以涡旋臂根部的应变值为评价指标，判断板弹簧是否达到寿命。通过对比实验数据与仿真结果，疲劳寿命实验台得到的板弹簧使用寿命与Fe-safe仿真分析结果相一致。

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Prediction and experimental study on fatigue life of flexure spring based on fatigue cumulative damage theory

Li Zhiyong1Wang Wenrui1Nie Shuai2

(1School of Mechanical Engineering，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China) (2Technical Center，Beijing Hyundai Motor Co.，Ltd，Beijing 101300，China)

Mechanics model of involute flexure spring was established. The finite element method was adopted to establish the fatigue strength dynamic simulation model.The displacement and stress of the spring under the actual work condition was studied through the displacement loading method. Fatigue strength of flexure spring is calculated using Gerber model. Based on work fatigue load spectrum of flexure spring，fatigue life prediction model of flexure spring is established by the fatigue cumulative damage theory. Studies show that flexure spring fatigue failure occurrs in the root of spiral arms. The fatigue strength and working life requirements can be satisfied by selecting suitable line structure and spring material. Finally，the fatigue life experiment platform of flexure spring is used to validate the simulation model and the results are consistent. The results show that the prediction model of fatigue life of flexure spring is accurate，research method is effective and results are believable.

Stirling cryocooler；flexure spring；fatigue strength；working life；experimental study

2016-08-29；

2016-11-23

中央高校基本业务费(FRF-TP-15-023A3)，北京市高校青年英才计划(YETP0368)。

李智勇，男，25岁，硕士研究生。

TB663、TB664

A

1000-6516(2016)06-0011-07