追逃问题的运动学分析

陈 龙，赵 民，康永来，韩 松，高华宇



追逃问题的运动学分析

陈 龙1，赵 民2，康永来2，韩 松1，高华宇1

（1. 北京宇航系统工程研究所，北京，100076；2. 中国运载火箭技术研究院，北京，100076）

从运动学角度阐述追逃问题，建立描述追逃双方运动状态的数学模型，结合运动学原理得到追逃问题中的重要结论，根据结论给出追逃双方相应的追击、逃逸策略，最后通过仿真实例验证追逃结论的合理性。

追逃；策略；运动学

0 引 言

追击-逃逸博弈（PE game），即“PE博弈”问题，于1967年由美国数学家Issacs提出。追逐-逃逸博弈实际上是博弈论在具体场景中的应用和扩展，在该博弈过程中，逃逸方通过各种策略努力使某一支付值（如脱靶量等）最大化，而追逐方则正好相反，它通过各种策略努力使同一支付值最小化，如果双方的策略存在一个平衡点，那么该点可称为“鞍点”，类似于博弈论中的“Nash平衡”点。“追击-逃逸博弈”是博弈论的一种扩展[1,2]，研究博弈方如何通过不同的策略选取使自己的收益最大化，是利益冲突双方调和的一种方法，是一个典型的最大值最小值优化问题，体现了二人零和博弈思想。

PE博弈问题对涉及对抗的问题有普遍适应性，在军事技术的对抗中，飞机与防空导弹的对抗[3]、弹道导弹与反导导弹的对抗、干扰机与雷达之间的电磁对抗都是追逃问题的不同体现。本文主要从运动学角度研究两个运动物体之间的追逃问题，对于防空、反导、突防等领域有一定的借鉴意义[4，5]。

1 追逃问题基本模型

为分析追逃问题，首先建立描述追击、逃逸对象运动状态的坐标系，称为追逃坐标系，如图1所示。选取平面为当地水平面。

图1 追逃双方在追逃坐标系下的位置、速度关系

L—追击方；T—逃逸方；—速度；—航迹倾角，定义为速度矢量与平面夹角；—航迹偏角，为速度矢量在平面内的投影与轴的夹角；—视线倾角，为视线矢量与平面的夹角；—视线偏角，为视线矢量在平面内的投影与轴的夹角；，，—位置坐标

根据几何模型，易得视线向量与位置坐标的几何关系：

追逃过程中，双方需要控制力来改变自身的运动状态，从而实现追击和逃逸，因此控制力是追逃双方存在的力；另外当前运动对象的追逃问题多在地球引力范围内，所以地球引力也是双方所受的力；为简化问题，不考虑追逃过程中的空气动力。

基于以上假设，追击方动力学模型可写为[6]

2 追逃过程理论分析

根据上面模型，从运动学角度看，决定追逃结果的因素可归结为追逃起始点处的视线矢量和相对速度矢量；两个矢量决定一个平面，故可在一个平面内分析两者的关系（见图2）。

图2 视线矢量和相对速度矢量的几何关系

追逃双方的对抗过程从运动学角度可看作两个正交方向的运动过程：一是沿初始视线方向（轴方向）的相对运动，该相对运动速度为，其作用是使追击方沿着初始视线的方向一直逼近逃逸方；另一方面是垂直于初始视线的方向（轴方向）上的运动，该相对运动速度为，其作用是在初始视线的法向上拉大双方距离，使追击方在初始视线法向上远离逃逸方。

基于上述讨论，可以得到以下重要结论：

a）忽略重力作用，在逃逸方不主动逃逸的情况下，从理论上分析追击方存在着理想的初始追击状态，该状态下的为0，此时追击方可以不需要控制力机动就能追击到目标。

b）初步确定双方的机动策略：追击方利用法向过载机动的目标是将引起的在方向的相对运动距离变为0，使逃逸方和追击方的相对运动只沿方向。逃逸方逃逸的目标是调整推力方向与一致，加大引起方向的相对运动距离。

c）在逃逸方不主动机动的情况下，假设追击方推力所能提供的可用过载为，单位为m/s2；追逃过程持续时间的条件下，则追击方成功追击的条件为；其物理意义是追击方的可用过载能在追逃过程一半的时间内将变为0，此处方向的相对距离最大；用剩下的一半时间将方向的相对距离变为0。

上面只是理论分析，没有考虑追击、逃逸双方获取对方信息的探测误差和改变自身运动状态的控制误差等因素带来的随机影响，离实际情况还有一定距离，但理论分析为下文的追击策略、逃逸策略提供了理论基础。

3 追击方的机动策略——扩展比例导引律

追击方的扩展比例导引律为[7，8]：在铅垂平面内，航迹倾角的变化率正比于视线倾角变化率；水平面内，航迹偏角变化率正比于视线偏角变化率，即：

式中1，2为导引系数。

可以得到：

代入导引律公式，即可得到追击方的扩展比例导引律。

4 逃逸方的逃逸策略

逃逸方的逃逸参数包括机动过载大小、机动的方向、机动时间段；机动过载可以在可用过载范围内自由调整，因此与另外两个参数相结合，就能找到一个消耗最小的最优值，在该值下，刚好保证无法实现方向的相对运动距离为0。然而这一条件是建立在逃逸方准确知道追击方过载的情况下而实现的；一方面逃逸方不能保证准确地得到追击方的机动过载，另一方面，即使得到了准确的情报信息，这种情况下的逃逸结果也是处于逃逸是否成功的边界值上，无法实现大逃逸脱靶量。因此，更合适的做法是逃逸的过载直接采用逃逸方的可用过载。

至于机动的时间段，原则上说，越早机动越好；考虑到逃逸方能用于逃逸的能量有限，因此在逃逸过程起始点处开始机动是一个不错的选择。为了节省能量，也可以在双方更近的距离上机动，但同机动过载的分析类似，这样会带来很大的风险；另外整个攻防对抗过程只有几秒钟的时间，即使采用了优化的方法找到了最优的机动时间段，其所节省的能量也有限。

综上所述，逃逸方最优的逃逸策略为从逃逸过程起始点开始，以最大过载沿着方向机动。

5 逃逸过程仿真实例

假定追击方可用过载为80 m/s2；选定追逃起始点处，逃逸方位置坐标为（26.7 km，28.6 km，1074.2 km），速度为5 963.1 m/s，航迹倾角为-22.99°，航迹偏角为220.24°；追击方的位置坐标为（0，0，1065.4 km），速度为7 544 m/s。

通过优化的方法得到其理想状态下的航迹倾角为4.46°，航迹偏角为51.89°；追逃过程时间为3.01 s，根据前面的结论，在逃逸方不机动情况下，只要80×3.01/2=120 m/s，即可成功追击，反之则会失败。在逃逸方机动的情况下，需要近似满足，即可追击成功。理想状态下的追击过程如图3所示。

图3 理想状态下的追击过程

逃逸方不机动，追击方航迹倾角和航迹偏角取不同值时的仿真结果如表1所示。

分析表1数据，可以发现以下规律：

a）第1组数据代表理想状态，可见在忽略重力的情况下，选择理想状态可以实现零过载成功追击；对比第2组数据，发现在理想状态下考虑重力，追击所需的代价（平均需用过载）也是最小。因此证明理想状态的重要性。

b）第3、4组数据表现出实际航迹偏角相对理想状态航迹偏角具有对称性，在理想状态偏角左右加减0.89°，对仿真结果基本没有影响。

c）第5、6组数据表现出航迹偏角的临界值，第5组数据当航迹偏角为52.81°时，对应的= 119.97 m/s <120 m/s，所以能够追击成功；而第6组数据的航迹偏角为52.82°，对应的=121.28 m/s>120 m/s，所以结果是脱靶，这跟前面的理论完全吻合；还可以看出航迹偏角方向的动态范围是理想状态加减0.92°。

d）第7组数据显示了当航迹偏角继续增大时，导致脱靶量急剧增大。

e）第8、9组数据表现出实际航迹倾角相对理想状态航迹倾角的对称性，但因为铅垂平面内还受重力影响，因此这两组数据的对称性没有航迹偏角那么理想，但从这两组数据的比较来看，重力加速度的影响非常微小，这是因为起作用的重力加速度是其在方向上的投影部分。

f）第10、11组数据表现出了航迹倾角的临界值，第10组数据当航迹倾角为5.38°时，对应的=119.45 m/s<120 m/s，所以能够追击成功；而第11组数据的航迹倾角为5.39°，对应的=120.76 m/s >120 m/s，导致脱靶，这跟前面的理论完全吻合。其航迹倾角方向的动态范围是理想状态加减0.92°。

当追击方初始状态为理想状态，但逃逸方有机动时，不同机动过载对追逃结果的影响如表2所示。

表2 理想状态下逃逸方不同机动过载对追逃结果影响

对表2的数据分析可以发现，在理想初始条件下，逃逸方要躲过拦截，至少需要50 m/s2的过载；可用过载越大，脱靶量越大。另外还发现追击方的平均需用过载永远不会到达80 m/s2，这是因为初始状态是理想状态，因此在开始一段时间内，追击方的过载需要有一个从0 m/s2上升到80 m/s2的过程，因此平均下来永远不会达到80 m/s2。

当初始条件不是理想状态，取表1中的第8组数据，追击方的航迹倾角为4°时，仿真结果如表3所示。

表3 非理想状态下逃逸方不同机动过载对追逃结果影响

分析表3数据，可以发现，与表2相比，相同的逃逸方可用过载下，初始条件不在理想状态需要比理想状态下多付出很多代价（平均需用过载）。另一方面，在理想状态下，逃逸方最低需50 m/s2的过载才能成功逃逸，而在初始条件不理想的情况下，逃逸方最低只需41 m/s2的过载就可成功逃逸。

6 结束语

本文讨论了追击逃逸对抗的模型、模型分析、追击、逃逸的策略；并重点针对追逃对抗初始条件，提出了追逃双方相对速度在视线法平面内的投影这一物理量，根据这一物理量确定双方的追逃策略，给出了追击成功应近似满足的条件，并通过实例仿真，验证了该条件的合理性。

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Kinematics Analysis of Pursuit-evasion Game

Chen Long1, Zhao Min2, Kang Yong-lai2, Han Song1, Gao Hua-yu1

(1. Beijing Institute of Aerospace Systems Engineering, Beijing, 100076;2. China Academy of Launch Vehicle Technology, Beijing, 100076)

Pursuit-evasion Game as viewed from kinematics was describes in the paper, math model to depict the state of both sides was established. According to kinematics principle, the paper get a series of important conclusions. Based on the conclusions, the paper get the maneuver tactics of both sides. Lastly, the rationality of the conclusions was validated by simulation experiment .

Pursuit-Evasion; Tactics; Kinematics

1004-7182(2016)02-0013-04

10.7654/j.issn.1004-7182.20160203

V412

A

2014-12-03；

2015-01-14

陈 龙（1989-），男，硕士研究生，主要研究方向为运载火箭总体设计