一类常微分方程的伯恩斯坦定理

黄荣里，李长友

(广西师范大学数学与统计学院，广西桂林541004)

一类常微分方程的伯恩斯坦定理

黄荣里，李长友

(广西师范大学数学与统计学院，广西桂林541004)

摘要：本文对一类二阶常微分方程，u=u(t)在一些条件下解的表达式进行探讨，若u′(0)=0，那么可得到方程的解一定是二次多项式形式，进而推动平均曲率流的自相似膨胀解的刚性定理这一新问题的研究进程。

关键词：平均曲率流；自相似解；解析解

0引言

近年来，有许多学者研究平均曲率流的自相似解的各种刚性定理，自相似解可以分类两种情形：自相似收缩解(self-shrinking solution)和自相似膨胀解(self-expanding solution)。

就目前国外学者研究情况来看，更多的还是对平均曲率流的自相似收缩解刚性定理研究，如《拉格朗日平均曲率流的自相似解和孤子解》[1]一文中，给出两个横向拉格朗日平面在RN⊂CN特征角度的和小于Π，可证明这里存在拉格朗日自相似膨胀渐近在这对平面中。而文献[2]作者给出一定条件下自相似收缩和自膨胀拉格朗日解的平均曲率流新例子。文献[3-4]也对拉格朗日自相似收缩相关性质及定理做了相关的研究。

文献[7]首先导出并证明了以下蒙日安培方程

在一定条件下的全局解必然是二次多项式，其中这类方程是伪欧氏空间的拉格朗日平均曲率流的自相似收缩解。然而，对应的自相似膨胀解

(1)

的刚性定理，其研究要比收缩解困难很多，至今仍无大的进展。

考虑方程(1)中自变量维数等于1的情形，本文将研究常微分方程

(2)

的解的伯恩斯坦定理。所谓二阶方程的伯恩斯坦定理，就是解在什么条件下可以写成二次多项式，逐步来完善上述对应的自相似收缩解的刚性定理的研究。

1主要引理及证明

要证明在u′(0)=0条件下，方程(2)的解一定是二次多项式，那么我们先考虑较强的限制条件情形下——在x=0处的解析解的表达式是否也是二次多项式形式。因此有如下引理：

引理1如果u′(0)=0，则在x=0的邻域满足方程(2)的解析解必然有如下表达形式：

证明设u是方程(2)给定条件的解。由解析性，u可以展开成t=0附近的泰勒级数：

其中收敛半径不等于0。下面我们根据方程来计算u在t=0处的各阶导数。为方便起见，我们记

f(w)=ew。

根据定理条件，显然u′(0)=0。直接在方程(2)的两边对自变量t求导，得：

(3)

把t=0代入，利用u′(0)=0，我们得到

u‴(0)=0。

(4)

一般情况下，我们将证明，当n≥4时，u在t=0处的n阶导数恒等于0。令n=k+1，k>2，对方程(3)两边的自变量求k-2次导数，根据求导公式，我们有：

(5)

其中

(6)

而当l>1时，

所以，把t=0代入，我们得到：

(7)

结合式(4)～(6)，我们有：

u(k+1)(0)=0。

再结合式(3)，我们实际证明了，当n≥3时，u(n)=0。代入u所展开的泰勒级数，我们得到：

(8)

由方程

u″(0)=e-u(0)，

所以，代入式(8)我们最后得到：

证毕。

利用柯西-科瓦列斯科亚定理，我们可以放宽引理1中对解的正则性要求。考虑一阶拟线性偏微分方程组

(9)

带初始条件

ui(0，x1，x2，…，xn)=φ(x1，x2，…，xn)，i=1，2，…，N

(10)

由文献[8]的定理2.2，我们不加证明地引入如下柯西-科瓦列斯科亚定理。

2主要结果及证明

利用引理2，我们可以把引理 1 的条件适当放宽，于是得到本文的主要定理。

定理1如果u′(0)=0，则在t=0的邻域满足方程(2)的解必然有如下表达形式：

证明根据引理 1，我们只需证明在x=0的邻域满足方程(2)的解必然是解析解即可。设

u1=u(t)，u2=u′(t)，u(0)=a，

则方程(2)等价于以下微分方程组

带初始条件

u1(0)=a，u2(0)=0

的解在t=0邻域的性质。其中f如引理1的证明所示，是通常的指数函数，它在定义域内解析。根据柯西-科瓦列斯科亚定理，我们知道

u1=u(t)，u2=u′(t)

在t=0的邻域解析。根据定义，也就有u=u。证毕。

参考文献：

[1]JOYCE D，LEE Y I，TSUI M P.Self-similar solutions and translating solitons for Lagrangian mean curvature flow[J]. J Diff Geom，2010，84(1)：127-161.

[2]ANCIAUX H.Construction of Lagrangian self-similar solutions to the mean curvature flow in Cn[J].Geom Dedicata，2006，120(1)：37-48. DOI：10.1007/s10711-006-9082-z.

[3]CHAU A，CHEN Jingyi，YUAN Yu. Rigidity of entire self-shrinking solutions to curvature flows[J].J Reine Angew Math，2012，2012(664)：229-239. DOI:10.1515/CRELLE.2011.102

[4]SMOCZYK K.Self-shrinkers of the mean curvature flow in arbitrary codimension[J].Int Math Res Not，2005，2005(48)：2983-3004. DOI:10.1155/IMRN.2005.2983.

[5]DING Qi，XIN Yuanlong.The rigidity theorems for Lagrangian self-shrinkers[J].J Reine Angew Math，2014，2014(692)：109-123. DOI:10.1515/crelle-2012-0081.

[6]XU Ruiwei，CAO Linfen. Complete self-shrink solutions for lagrangian mean curvature flow in pseudo-euclidean space[J]. Abstract and Applied Analysis，2014，2014：196751.DOI：10.1155/2014/196751.

[7]HUANG Rongli，WANG Zhizhang.On the entire self-shrinking solutions to Lagrangian mean curvature flow[J].Calc Var Partial Differential Equations，2011，41(3/4)：321-339. DOI:10.1007/s00526-010-0364-9.

[8]陈恕行.现代偏微分方程导论[M].北京：科学出版社，2005.

(责任编辑黄勇)

On Bernstein’ Theorem to a Class of Ordinary Differential Equations

HUANG Rongli， LI Changyou

(College of Mathematics and Statistics，Guangxi Normal University，Guilin Guangxi 541004，China)

Abstract:For a class of second order ordinary differential equations ，u=u(t), under some condition, the expressions of solutions of these equations are investigated. If u′(0)=0，it is shown that the solution of the equation has the form of a quadratic multinomial. This result may have a positive effect in finding out the rigidity theorem related to the self-similar expansion solution of the mean curvature flows.

Keywords:mean curvature flow； self-similar solution； analytic solution

中图分类号：O175.7

文献标志码：A

文章编号：1001-6600(2016)01-0102-04

基金项目：国家自然科学基金资助项目(11261008)；广西自然科学基金资助项目(2012GXNSFBA053009)

收稿日期：2015-06-02

doi:10.16088/j.issn.1001-6600.2016.01.015

通信联系人：黄荣里(1979—)，男，广东开平人，广西师范大学副教授，博士。E-mail:ronglihuangmath@gxnu.edu.cn