对一道几何概型概率题的探究

王丹

试题展现，抛砖引玉

例 若函数[y=k（x+1）]的图象上存在点[x，y]满足约束条件[x-y+3≥0，3x-y-3≤0，y≥3，]则函数[y=k（x+1）]的图象与圆[（x-4）2+][（y-3）2=2]有公共点的概率为（ ）

A. [12] B. [34]

C. [3-12] D. [3+14]

解法1 记样本空间为[Ω]，“函数[y=k（x+1）]的图象与圆[（x-4）2+（y-3）2=2]有公共点”为事件[A]，

根据数形结合，[y=k（x+1）]可以理解为平面直角坐标系中过定点[（-1，0）]的动直线，

要使[y=k（x+1）]的图象上存在点满足约束条件，只需[k∈33，3]即可，

而欲使[y=k（x+1）]的图象与圆[（x-4）2+（y-3）2=2]有公共点（如下图所示），

只需[5k-31+k2≤2?723≤k≤1.]

因此，[Ω=k33≤k≤3，][A=k33≤k≤1.]

故[P=1-333-33=3-12].

解法2 从直线[y=k（x+1）]倾斜角的角度可知，

要使[y=k（x+1）]的图象上存在点满足约束条件，只需[α∈][π6，π3，]

而欲使[y=k（x+1）]的图象与圆[（x-4）2+（y-3）2=2]有公共点，

只需[α∈][π6，π4]，

所以[P=π4-π6π3-π6=12].

以上两种解法看似都正确，这使得很多同学感到困惑，其实也有一部分老师把它简单地归结为“等可能的角度不同，概率的结果也不同”，但是笔者认为：一个概率问题只会有一个结果，既然结果不同，那么它们一定是不同的问题.

问题探究，追本溯源

为了解决其中的疑虑，最好的方法是回归教材，因为教材是教学最直接的依据，只有透彻准确地理解教材，困惑才能迎刃而解！

解法1中试验的全部结果构成的区域为[Ω=k33≤k≤3，]满足条件[y=k（x+1）]的图象与圆[（x-4）2][+（y-3）2=2]有公共点的基本事件构成的区域为[A=k33≤k≤1，]由几何概型的概率公式得，[P=1-333-33=3-12.]

而解法2中基本事件角[α]在[0，π，2]上不是均匀分布的，即基本事件角[α]不是等可能发生的.

人教A版必修3教师用书第117页阐述：

“均匀分布是一种常用的连续型分布，它来源于几何概型”，这说明几何概型研究的是均匀分布的连续型随机变量.

“值得注意的是，由计算机不能直接产生区间[a，b]上的均匀随机数，只能通过线性变换得到；如果[X]是区间[0，1]上的均匀随机数，则[a+（b-a）X]就是区间[a，b]上的均匀随机数.”

解法1中的[33，3]上的随机数[k]，与解法2中在区间[π6，π3]上的随机数[α]之间的关系为：[k=tanα.] 它们不是线性关系，所以解法2中区间[π6，π3]上的随机数[α]不是均匀分布的，反之亦然，故解法2是错误的.

应用举例，融会贯通

变式 边长为1的正方形[ABCD]的顶点[A，][D]分别在[x]轴、[y]轴的正半轴上移动，求[OB?OC≥1+32]的概率.

解析 过[B]作[BE⊥x]轴于点[E]，过[C]作[CF⊥y]轴于点[F]，记样本空间为[Ω]，“[OB?OC≥1+32]”为事件[A].

设[OA=a]，则[BE=DF=a].

因为[A，][D]分别在[x]轴、[y]轴的正半轴上移动，

所以[a∈（0，1）].

易求得[AE=OD=CF=1-a2]，[OE=a+1-a2].

[∴B（a+1-a2，a）].

同理可得，[C（1-a2，a+1-a2）].

则[OB?OC=（a+1-a2，a）?（1-a2，a+1-a2）]

[=1+2a1-a2].

欲使[OB?OC≥1+32，]只需[1+2a1-a2][≥1+32.]

[?16a4-16a2+3≤0，]

[?12≤a≤32].

因此，[Ω=a0由几何概型公式可得，[P（A）=32-121-0=3-12].

点拨 当点[A]在[x]轴上等可能移动，此时点[D]在[y]轴上跟着等可能移动，因此点[A]在[x]轴[（0，1）]上是均匀分布的，所以设出[OA=a]计算是正确的.

归纳总结

通过这类题我们可以发现，研究几何概率一定要搞清楚到底什么是直接表示试验随机结果的变量，不能主观臆断. 解决几何概率问题一定要分清问题中的变量哪一个是直接变化的变量，哪一个是被引发变化的变量. 只有直接表示变化的连续型均匀分布的随机变量才是几何概型计算的根据！