一组三角恒等式的猜想、证明与推广

张汉字

[摘要]教师给出一组三角恒等式的猜想，并进行证明与推广，得出一些性质或定量.

[关键词]三角恒等式 猜想 证明 推广

[中图分类号] G633.6

[文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2016）02-0048

在参考文献中，姜坤崇老师证明了以下三个三角恒等式，设△ABC的三个内角分别为A，B，C，则有

（1） sin?B+ sin?C-sin?A=2sinBsinCcosA：

（2） sin?C+sin?A-sin?B=2sinCsinAcosB：

（3） sin?A+sin?B-sin?C=2sinAsinBcosC.

笔者在解题中偶然发现，在三角形中，存在COS?45°+COS?60°-sin?75°=2cos45°cos60°cos75°，于是就有下面的猜想.

性质1 设△ABC的三个内角分别为A，B，C，则有

（4） COS?B+COS?C-sin?A=-2cosBcosCcosA：

（5） COS?C+COS?A-sin?B=-2cosCcosAcosB：

（6） COS?A+COS?B-sin?C=-2cosAcosBcosC.

下面仅对（4）进行证明，（5）（6）的证明过程与（4）类似.

证明：在△ABC中，由A+B+C=π知，cOs（B+C）=-cosA，根据三角函数的基本关系，推导如下.

对于（4），等式左端=1/2（1+cos2B+1+cos2C）-sin?A=1/2（cos2B+cos2C）+l-sin?A=cOs（B+C）cos（B-C）+CoS?A=COS（B+C）cos（B-C）+COS?（B+C）=cos（B+C）[cos（B-C）+cos（B+C）]=2cosBcosCcos（B+C）=-2cosBcosCcosA=等式右端.

下面抛开上述的六个恒等式的条件，把它们推广到更一般的结论，于是有下面的定理和推论.

定理1对于任意角a.p，均有恒等式：

（l）sin?a+sin?β-sin?（a+β）=-2sinasinβcos（a+β）；