从错例分析谈空间观念的培养策略

郑红

空间观念是新课标十大核心词之一，《义务教育数学课程标准》（2011年版）描述了空间观念的主要表现，其中包括“能够根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体;进行几何体与其三视图、展开图之间的转化”等。空间是物质存在的一种客观形式，是物质存在的表现;空间观念是由长度、宽度、高度表现出来的客观事物在人脑中留下的概括的形象。空间观念是创新精神所需的基本因素，没有空间观念，就谈不上任何发明创造，许多发明创造都是以实物的形态呈现的，都是设计者先根据想象画出设计图，然后做出模型，最后完善成功的。在这个过程中，空间观念起着非常重要的作用。所以明确空间观念的意义，认识空间观念的特点，发展学生的空间观念非常重要。

在实际教学中我发现，培养学生的空间观念存在着较大的困难，现状不容乐观。

一、错例分析

1.错例再现

“求彩带长度”是三年级上册总复习第113页中一道经典的实际问题，教材编排此题的目的是：通过本题的练习，使学生进一步熟练掌握长方形、正方形周长的计算方法，并能运用长方形和正方形的周长知识灵活地解决实际问题。由于学生对立体图形的特点还不熟悉，教材呈现的直观图，能帮助学生分析“捆盒子的彩带包括哪几个部分”，理解“需要的长度”的实际含义。

虽然在此之前，学生已在一年级上学期直观认识了长方体、正方体;在一年级下学期利用立体图形与平面图形的关系认识了平面图形——长方形和正方形;在二年级上学期学会了从不同的方向观察物体;在三年级上学期第七单元掌握了长方形和正方形的特征与周长的计算方法。但是学生对长方体、正方体的特征缺乏系统的认识，空间想象力不够，教材虽然提供了直观图，但要理解捆盒子的彩带包括哪几个部分，对学生来说难度较大。我在本校三年级的两个班中进行了调查测试和访谈，错误率80%以上，具体表现如下：

（1）长方体盒子错误率83.0%。

主要错误：

没加打结的45厘米：60×2+40×2+30×4。

30厘米只算了两根：（30+40+60）×2+45。

30厘米、40厘米、60厘米都算了四根：（30+40+60）×4+45。

30厘米、40厘米、60厘米都只算了一根：30+40+60+45。

30厘米、40厘米、60厘米都算了六根：（30+40+60）×6+45。

打结的45厘米不加反减：60×2+40×2+30×4-45。

（2）正方体盒子错误率85.1%。

主要错误：

没加打结的45厘米：40×4+40×4。

40厘米只算了四根：40×4+45。

40厘米算了十二根：40×12+45 ，40×3×4。

40厘米算了六根：40×6+45。

2.错因分析

（1）学生对周长这一概念缺乏本质的理解，长方形和正方形的周长计算公式只会在简单的图形中运用，部分学生只记住了长方形的周长是两个已知数字相加再乘以2。所以在解决“长方体的盒子需要多少彩带？”时，很多学生列出的算式是“（30+60+40）×2+45”。

（2）对于三年级学生来说，他们现在只限于对平面图形的感知和理解，而这道题目实际上是要求学生具备一定的空间观念。学生对长方体和正方体的结构不了解，找不准图上的60厘米、40厘米、30厘米分别是哪一条。

（3）多数学生在计算彩带的长度时，都是看图数出根数再计算的，但在计算时，由于空间想象能力的缺乏，能正确数出长宽高的根数的学生为数不多。

（4）教材设计这个练习的意图是让学生知道要求彩带的长度，只要分别求正面的长方形和正方形的周长，再加上打结所需的彩带长度就可以了。但学生的生活经验少，平时很少有机会接触到包装好的盒子，加之三年级学生的空间思维能力较弱，他们很难根据图画的意思想象出盒子的包装方法，更不能将这根彩带抽象为一个长方形和一个正方形的形状来计算。

二、培养策略

人们认识事物的本质、特点及其规律时，总是从具体到抽象，从感性到理性的。因为实物和图形的直观性很强，容易为学生认识和理解，也容易使学生建立起空间观念。利用“实物和图形”也就是运用和借助实物和图形让学生通过观察、比较、综合、抽象、分析等方法认识客观事物，这是帮助学生建立空间观念最好的途径。下面，我结合以上错例谈谈利用实物和图形帮助学生建立空间观念的教学策略。

1.放大过程，抓住本质

在解决“长方体的盒子需要多少彩带”时，很多学生列出的算式是“（30+60+40）×2+45”。在访谈中我了解到，这些学生是因为牢牢记住了长方形的周长计算公式是（长+宽）×2，而图中有三个数字，所以就把这三个数字都加进去吧。这让我回想起在毕业班的总复习时总会有一部分学生概括不出长方形周长计算公式中的“长+宽”表示的是半个长方形的周长。

这个现象引起了我的思考，我们在教学时是否节奏太快了，认识了周长的概念后，马上要学生概括出长方形和正方形的周长计算公式，然后就是运用公式进行计算。虽然最初作业正确率很高，但到了举一反三的运用阶段，错误率就明显上升。其实，教师在长方形周长的新授课教学时，不要过早地让学生用（长+宽）×2来计算长方形的周长。在教学中我发现，在教学周长的初始阶段，推迟使用公式计算，让学生用自己的方法计算周长，如长+长+宽+宽、长×2+宽×2、长+宽+长+宽。虽然这样的方法看起来比较麻烦，但它有助于学生真正地理解长方形和正方形的周长是四边之和。一段时间后，学生会明白长加宽的和就是半个长方形的周长，再乘以2就是一个长方形的周长，此时他们才真正理解了公式：（长+宽）×2的意思。对于优秀学生来说，公式的理解并不是难事，但对于大多数学生来说，这样才能从本质上理解长方形的周长这一概念，过早地人为划一地要求用公式计算长方形的周长，会导致学生机械化地记忆公式，模式化地计算周长，而不会灵活地解决问题。

2.学会观察，发挥想象

学生的空间知识来自丰富的现实原型，与现实生活非常紧密，也就是引导学生学会认真观察周围的实物，重视现实生活中有关空间与图形的问题，从视觉上去感受空间。我在上述错例指导课的教学中采用直观教学法，为学生提供实物模型，用扑克牌盒来代替礼品盒，让学生观察这个礼品盒是什么形状？摸一摸每一个面，并思考：这个长方体礼品包装盒共有几个面？这些面是什么形状？你能找到图中的30厘米、60厘米、40厘米分别在哪个位置吗？摸一摸教具，使学生初步感知长方体的特征，引导学生带着问题观察，并从立体图形中准确找到长、宽、高，为接下来计算彩带的长度做准备。

《义务教育数学课程标准》（2011年版）指出：“能从较复杂的图形中分解出基本图形，由几何图形想象出实物的形状。”分解图形、想象实物就是要求学生具有丰富的想象能力。而想象具有伴随性，学生在观察实物、概括实物及几何图形时，在练习、操作过程中始终伴随着想象，这些想象既有助于学生空间观念的建立，又有助于提高学生的创新能力。

在上述错例的学生访谈中，我发现多数学生在计算彩带的长度时，都喜欢采用看图数出根数再计算的方法，所以我在教学运用长方形、正方形周长解决问题的练习指导课时，就引导学生观察：由于角度的关系，有些长方形和线段看得到，有些看不到，需要我们去想象。想象一下：在礼品盒上捆的这根彩带，到底包含了几根30厘米、几根40厘米、几根60厘米呢？经过观察和想象，学生就会发现这根彩带中实际上包含了4根30厘米、2根40厘米、2根60厘米，所以彩带的长度就是4个30厘米、2个40厘米、2个60厘米的和再加上蝴蝶结的45厘米。

教学时，我通常让学生先观察实物，然后练习画出观察过的实物几何图形，有时也运用猜想、设计等手段，借助直观图形来进行合情推理，这样既增强了学生探究的好奇心，加深了学生对数学的理解，激发出潜在的创造力，又让他们逐步形成合乎逻辑的思考、严谨求实的态度和形成创新意识。

3.结合操作，训练概括

“操作是智力的源泉，思维的起点。”教学时，老师不但要重视引导观察，而且要重视让他们由被动听讲变为一起动手、共同参与，亲身操作。多种形式的操作能使他们的视觉、触觉协调起来，充分发挥其内化功能，以丰富他们的空间观念。

教学时，我让学生想象一下：在礼品盒上捆一根彩带，这根彩带捆上后会是什么形状？用铜丝代替彩带动手包扎一下，验证一下自己想得对不对？让学生在动手围一围中理解“捆盒子的彩带”指的是哪几个部分，然后把扎好的铜丝从盒子上取下来，让学生观察此时铜丝的形状是什么？和盒子正面的周长有什么联系？闭上眼睛想象一下：把取下的铜丝再套上去，是否和彩带的形状一个样？将抽象问题直观化，为学生分析问题提供表象支撑。选择合适的学习材料能在很大程度上提高操作的效率。用铜丝代替彩带，是因为铜丝易弯曲，取下后又可保持长方形的形状，便于学生观察。

用铜丝扎好后，我让学生来说一说：你在验证过程中发现了什么？学生发现了彩带是长方形的;彩带的长度就是右边这个长方形的周长，因为可以把彩带移到边缘进行验证。这时教师趁热打铁：“这根彩带有多长？如果再扎上另一根彩带，这根彩带有多长？这个礼品盒全部包装好，一共需要多长的彩带？”此时，学生已经发现了原来求彩带的长度只要分别求长方形的一个正面和一个侧面的周长之和，再加上打结所需的彩带长度就可以了。

《义务教育数学课程标准》（2011年版）指出：“能描述实物或几何图形的运动和变化，能采用适当的方式描述物体间的相互关系。”所以老师要积极鼓励学生从不同的角度观察物体，操作过后一定要让学生试着总结概括，把自己在操作过程中的所思所想用简洁的语言表达出来。让他们有较多的机会去参与活动，从语言表达和听觉上感知空间观念，不断地丰富他们的空间经验，使空间观念得到形成和巩固。这与观察实物相比有较大的难度，但是对学生建立空间观念有很大好处，这是在观察基础上的一个飞跃。

总之，空间观念对数学乃至其他学科的学习，对各种能力的培养都有很大的影响。空间观念的培养并不是一蹴而就的，而是一个长期的过程。以上三个方面的策略也并不是孤立存在的，而是相互渗透，相互促进，综合运用的。我们要根据学生的认知规律，引导学生运用多种感官积极主动地参与到教学中来，以促使学生对几何形体有深刻的认识，让他们的空间观念在学习活动中慢慢得到提升。