统计中相关关系的典型问题

郭锐

自然界中变量与变量之间除了存在确定的关系（如函数关系）之外，还存在不确定的关系——相关关系. 本文旨在对相关关系的辨别、回归方程的建立等典型问题进行剖析，以期对同学们有所帮助.

函数关系与相关关系的辨别

例1 下列两个变量中具有相关关系的有_____.

①光照时间与果树的亩产量的关系；

②圆柱体积与其底面直径的关系；

③自由落体物体的质量与落地时间的关系；

④球的表面积与球半径之间的关系.

解析 ①光照时间与果树的亩产量之间没有确定的关系. 在一定程度上光照时间与果树的亩产量有关，但还与地质土壤等有关. ②圆柱体积与两个变量相关，一是底面面积，一是高，这里直径只决定了底面面积，因而当直径发生变化时，高也可能发生变化，这就对圆柱体积的变化造成了不确定性. ③自由落体的物体的质量与落地时间无关，它们之间没有关系. ④球的表面积与球的半径满足表达式，具有确定性的函数关系.

答案 ①②

点拨 相关关系的特点是相互依存性与不确定性，函数关系的特点是确定性，因而区分相关关系和函数关系的一个标准就是看变量之间的关系是否确定.

线性相关和回归方程的建立与应用

点拨 （1）线性相关系数与变量相关程度的关系为：若的绝对值越靠近1，说明数据和回归方程的“亲密度”高，拟合度好，也即两个变量的相关程度高. 反之，的绝对值越接近于0，则说明相关程度越低.

（2）线性回归方程的求法：①利用公式求系数. ②利用线性回归方程恒过样本的中心点这一特点，代入线性回归方程，求出系数.

例3 为了了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：