数学建模之太阳影子定位模型

李超　姜娟娥　王俊瑞　郭秀娟

摘 要：本文针对太阳影子定位技术，通过太阳与地球相对运动的规律建立了太阳影子定位模型.利用最小二乘法原理分析了不同地点、不同季节影子长度的形成规律及变化趋势，运用MATLAB软件进行了曲线拟合分析，得出了不同地区经纬度与影子变化的模型，并运用建立的模型对实际问题进行了可行性分析，最后通过分析视频中物体影长的变化，确定了视频拍摄的地点和日期。

关键词：太阳高度角；赤纬角；MATLAB；最小二乘法；曲线拟合

中图分类号：G64 文献标识码：A 文章编号：1673-9132（2016）32-0229-03

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.32.146

一、引言

现代技术的发展使得人们能够方便地记录高质量的视频文件。在分析视频材料时，需要确定视频的拍摄地点和日期，而利用太阳影子定位技术对视频中的太阳影子变化进行分析是确定视频拍摄的地点和日期的一种重要方法。本文在已有研究的基础上主要解决四个问题。问题一：根据已知条件和经度、纬度、时差之间的内在联系建立数学模型，并用MATLAB制作出直杆的太阳影子的变化曲线图；问题二：根据坐标数据和数学模型，确定太阳的赤纬，得出所求地的纬度值，最后由Google地图软件搜寻出可能存在的地点；问题三：根据模型和影子顶点坐标得出可能地点的经纬度，建立三维立体纬度模型，同时通过MATLAB对所得的坐标数据曲线拟合分析得出对应的经、纬度，得出可能的地点；问题四：对附件中的视频进行分析，抽出每四分钟的图像，用灰度处理图像得出杆长和影长，再与实际杆长对比得出该段之间内影长变化趋势，根据模型确定可能的拍摄地点。

最后对模型进行局部分析和检验，通过改进，该模型给我们提供了一个从视频中读取数据再进行定位的方法。

二、模型假设与符号说明

（一）模型假设

1.北京时间为标准时间。

2.地球是一个光滑的理想球体。

3.太阳光直射地球途中无遮挡物且不受大气层影响。

4.观测影子变化途中天气晴朗。

（二）符号说明（见表1）

三、模型的建立与求解

（一）问题一：模型的建立与求解

1.模型的建立。通过对问题的分析建立天安门广场（北纬39度54分26秒，东经116度23分29秒）3米高直杆的太阳影子长度变化曲线的模型。一天时间内太阳高度角的变化与地方时和太阳赤纬的变化密切相关，对于地球上的某个地点，太阳高度角随着地方时和太阳赤纬角的变化而变化，如图1所示。

通过图形和各个角度的关系得到太阳高度角的计算公式，从而建立了影子长度变化的三角函数模型：，根据太阳赤纬角计算公式

将以上三式代入（1）式解得，再将代入模型可解得太阳高度角的正弦值为。

图2为固定直杆在太阳光照射下的影子，其中H=3 （单位：米），可得固定直杆影长公式为，联立以上式子可得影长公式为：

（2）

2.模型的求解。利用Matlab软件编写程序分析影子长度关于太阳高度角、太阳赤纬、地方时日期时间的变化规律，可得2015年10月22日北京时间9：00-15：00之间天安门广场（北纬39度54分26秒，东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线，如图3所示。

根据图像分析，在北京9：00到12：00之间太阳照射固定直杆的影子从大约6米逐渐递减到大约3.6米，正午12：00以后太阳的影子又开始逐渐增长。

利用Matlab软件编写程序分析影子长度随经度和纬度变化的图像，如图4根据图像与已知条件分析可得，在不同地区相同的时间内（存在时间差）同一直杆长度的影子变化情况为：

（1）在不同的地方直杆影子的变化趋势基本相同，但在同一时刻直杆的影子随着经纬度的变化而变长。

（2）在每个地区直杆影子最短的时刻是在中午12点左右，但在12：00之前直杆的影子由长变短，12点以后直杆的影子逐渐变长。利用Matlab软件编写程序绘制不同日期、相同地方、相同时间段内的直杆影子变化情况，如图5所示。

根据图像可知，相同长度直杆的影子的变化趋势基本相同，但是在不同的日期、相同的时间点上影子的长度不相同。在中午12时，7月的影子最短，1月的影子最长。由此可知，影子的长度与季节有关，而季节的交替变更与日期有关。这说明影子的长度受日期的影响。

（二）问题二：模型的建立与求解

为了解决问题二，我们需运用最小二乘法基本原理③求出误差平方和最小的拟合。在实验过程中实验数据不可能精确获得，往往有一定的误差。为了尽量减少误差，需要用一个拟合函数，使拟合函数在处的函数值与对应的实验实测数据值形成误差平方和最小值。 这就是最小二乘法。

通过分析上述问题，根据固定直杆的太阳影子顶点坐标数据，建立了三角函数数学模型，并且分析了直杆影子的变化趋势。在此基础上，通过反解倒推确定直杆所处的经纬度，建立了直杆影长与经纬度相关的数学表达式，并且应用最小二乘法曲线拟合的方法确定直杆所处的地点进行拟合分析得。因赤纬角日变化很小，一年内任何一天的赤纬角用下式计算：。其中N为日数，自每年1月1日开始计算P为真太阳时，a为北京标准差，Q为时差， （x，y）表示影子在平面内的坐标点，p=a+q，，， 联立这四个式子建立纬度与经度的数学模型为：

其中 ，

。

应用Matlab软件编写的程序对上述建立的数学模型进行拟合分析，如图6所示。该图是纬度117.78度，经度25.245度时的拟合情况。根据图像的变化趋势和最小二乘法的原理可以估计出实际的直杆位置，实际影子的长度与模型影子的长度之间的吻合程度比较接近。在14：42到15：20的时间段内，实际影长的曲线与模拟影长的曲线之间的距离渐渐接近，到15：20左右以后实际影长与模型影长之间曲线的接近程度减弱。

图7为纬度116.34度、经度25.248度时的拟合情况，表示的是实际影子长度和模型影子长度的拟合情况，由图像的变化趋势和最小二乘法的原理可以观测出在14.6到15的范围内有重合点，在范围以外也很接近，预测模型和实际模型的拟合度好，则预测模型的纬度116.34度、经度为25.248度的可以近似代替的经纬度。

（三）问题三：模型的建立与求解

根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，应用上述所建立的模型一与模型二采用了最小二乘法非线性拟合的方法变量经纬度与日期进行预测，用MATLAB软件编程绘制出的影子长度与时间的变化曲线图，如图8所示。

为检验模型的准确性，在地理位置纬度为160.51度，经度为5.5869度，积日为329.54秒内太阳光照射下模型影长与实际影长之间的长度较为接近，而且由图8可以进一步看出在13.10这一时间左右直杆的实际影长与模型影长大体一致，从而可以说明该模型可实施。

（四）问题四：模型的建立与求解

根据视频中已知直杆的影子变化情况，抽取出每两分钟的图像，再通过灰度处理图像得出视频中直杆影子的长度随时间变化而变化，如表2所示。所得数据应用所计算的数据建立有关经度与维度的模型，通过该模型的建立可以估计出测量时的地点，如表3所示。

如果拍摄日期未知，可以利用以上问题二的模型来确定拍摄的日期。

四、模型的评价

（一）模型优点

本文经过数据的合理处理，采用三角函数模型、最小二乘法模型并对模型，进行局部分析和检验。该模型给我们提供了一个从视频中读取数据并进行定位的方法。它在实际生活中具有较强的适用性，应用前景非常广阔。

（二）模型缺点

由于所采用的数据样本、读取数据和测量时的误差，对模型造成了数据对比方面的不平衡，加上考虑问题时忽视了天气变化对现实中太阳直射地面时杆影的影响，从而导致杆影的测量值与真实值之间存在误差。另外，在视频的截取技术方面还存在一定的误差，导致测量视频中直杆影子的长度时存在误差。