张琳
摘 要:二项分布是概率论中重要的分布之一,在实际中也有着广泛的应用,因此它的计算十分重要,本文就二项分布的近似计算进行了简单的讨论。
关键词:二项分布;泊松分布;正态分布
二项分布是概率论中最重要的分布之一,在实际问题中也有着广泛的应用。但是,当二项分布的第一个参数较大时,它的计算变得比较复杂,因此需要借助泊松分布或者正态分布等进行近似。
一、二项分布介绍
在同一条件下独立重复进行次试验,每次试验只有两种可能结果与,且每次试验中,,事件出现的次数记为随机变量,则服从参数为的二项分布,记为,且有
二、二项分布的近似计算公式
从二项分布的定义可以看出,当参数较大时,其计算比较复杂,因此有如下结论:
定理1:(泊松定理)设随机变量,(是一个常数),则有,
定理1表明,当足够大,不大,且为常数时,二项分布可以用泊松分布近似计算,近似为参数为的泊松分布。
定理2:(隶莫弗—拉普拉斯中心极限定理)设随机变量,则对于任意的,有
定理2表明,当二项分布中参数充分大时,可以用正态分布近似计算二项分布,。
三、近似计算
例1:某汽车站有大量汽车通过,设每辆汽车在一天的某个时间段内出事故的概率為,在某天这段时间内有辆汽车通过,则这段时间内出事故的次数不小于的概率是多少?
解:设为出事故次数,则,
且,
①用二项分布自身求解,则
②由于此题很大,相对很小,且也不大,因此可以用泊松分布近似
从结果看出,用泊松分布的近似度是很高的。
③此题很大,也可以考虑用正态分布近似
近似服从
此题用正态分布计算,结果几乎为零,不是非常合适。
例2:若随机变量,同样计算
且,
①用二项分布自身求解,则
②由于此题很大,相对也较小,且也不大,用泊松分布近似得
此题用泊松分布的近似度仍然很高。
③再次考虑用正态分布近似
近似服从
从结果看出,此二项分布用正态分布近似,结果还是不错的。
例3:若随机变量,
且,
若计算,数值太小,几乎为零,所以我们计算此二项分布的最可能值的概率,即计算
①用二项分布自身求解
=
②由于此题很大,其实不小,且较大,若用泊松分布近似得
=
其实近似度大约为95%,仍然很高
③再次考虑用正态分布近似
近似服从
从以上计算可以看出,只要比较大,用泊松分布近似二项分布还是比较合理的,但是越小近似度越高。用正态分布近似二项分布,则越大,方差越大,近似度越好。
参考文献:
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(作者单位:山东工商学院数学与信息科学学院)