一题多解，提高学生数学解题能力策略

陈荔清

众所周知，数学的学习能力是否提高是初中学生解决问题能力的重要标志，也是许多数学教师关注的问题. 经过多年的教学实践探索，笔者认为学生在学习数学过程中经历了从模仿到创新的不同阶段. 模仿学习在初期是必要的，同时也应该认识到，过多的模仿会造成解题思路的模式化. 为了改变这种现状，我们在教给学生怎样解题的同时，我们更要集思广益，分析典型例题解法的多种途径，拓展学生们解题的思维，真正达到以点带面、触类旁通、举一反三的效果. 现举例与大家分享：

例1 在△ABC中，∠A = 90°，点D在线段BC上，∠EDB = ∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F.

（1）当AB = AC时，（如图1），

①∠EBF = _______°；

②探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明.

（2）当AB = kAC时（如图14），求的值（用含k的式子表示）.

这道题许多老师在讲评时都会觉得它很经典，学生们听完后也是颇有收获. 可是，过了几天再在试卷中呈现出来时，能解对的学生是寥寥无几. 这到底是怎么回事？是老师讲得不透彻？还是学生学得不扎实？原因肯定都有. 但是关键是教的方法不全面，造成学生学得不到位. 现多角度展现这道题的解法.

解 （1）① ∠EBF = 22.5°；思路是过D作DH∥AC交BE延长线于H，易证△BED ≌ △HED，则∠EBF = ∠HDE = -∠HDB = ∠C = 22.5°（图略）.

对于第（1）题②小题，笔者用以下常见6种方法进行论证：

方法一：如图3，过D作DH∥AC交BE延长线于H，

∴ ∠DMB = ∠A = 90°.

∵ ∠MBD = 45°，

∴ ∠MDB = 45°，

∴ BM = DM.

∵ ∠FMD = ∠HMB = 90°，

∠1 = ∠2，

∴ △BHM ≌ △CMF.

∴ DF = BH 易證△BDE ≌ HDE.

∵ BE = BH，∴ BE = DF，

方法二：如图4，过D作DG⊥AB于G，连接EG，

则∠BEF = ∠DGF = 90°

∴ E，B，D，G四点在以BD为直径的圆上.

∴∠1 = ∠2 = ∠3 = 22.5°.

取DF中点H，连接GH，

∴△EGH与△BGD均为等腰三角形，可证 △EBG ≌ △HDG.

∴ BE = DH = DF.

方法三：如图5，过A作AG∥DE交BE延长线于G，交BC延长线于H，过C作CN⊥AH于N，

∵ ∠BAC = 90°，

∴ ∠1 + ∠2 = 90°.

∵ ∠1 + ∠3 = 90°，

∴ ∠2=∠3.

可证 △ABG≌△CAN.

∴ BG = AN.

∵ ∠2 = ∠H = 22.5°，∴ AC = CH.

∵ CN⊥AH，

∴ AN = HN = BG.

∵ DE∥HG，

即DF = 2BE.

方法四：如图6，

延长CB到G，使BG = BF，连接GF，过B作BM⊥FG于M.

由∠1 = ∠2 = 22.5°，

可证 △BMF ≌ △FEB.

∴ BE = MF = GF.

由∠1 = ∠GDF = 22.5°，

∴ GF = DF.

∴ BE = DF.

方法五：（如图7）

过点F作FG∥BE交BD于G，取DG中点H，连接FH，过H作HM⊥DF于M.

则∠GFD = ∠E = 90°.

Rt△DFG中，H为DG中点，

∴ FH = DH，

∴ ∠1=∠2=22.5°，

∴ ∠FHB = 45°，

∴ FH = BF = DH，

再证 △BEF≌△DMH.

得 DM = BE = DF.

以上这五种方法一般是构造全等、相似对线段的倍数关系进行分解，从而达到获解的目的.

方法六则要引入参数来解（如图8）：

在DF上取一点G，使DG = BG，

则∠1 = ∠2 = 22.5°，得△BEG为等腰直角三角形，

设EF = x，BE = y，则BG = y，

∴ FD = y + y - x.

由△BEF ∽ △DEB，

∴ x = （ - 1）y，

∴ DF = y + y - y + y = 2y = 2BE. 证毕.

对于第（2）题，可套用以上方法，证明略.

通过这道题的分析与解答，学生能够从中发现一题多解，启发学生从不同的角度去思考，一方面培养学生学习的兴趣，另一方面又丰富学生的数学思维，既能梳理知识，巩固知识，又能开拓思维的广度，促进学生思维的发展，提升学生的解题能力.

总之，在初中数学教学中，只要我们备课时重视一题多解，开阔解题思路，就一定能够培养初中生的数学解题能力.