建构模型 融入思想

《标准（2011年）》新增加了三个关键词，之一就是“模型思想”，并指出“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径、建立和求解模型可以提高学习数学的兴趣和应用意识. ” “模型思想”成为新一轮数学课程改革的一个明显亮点，人们对其内涵、组成、教育意义等都进行了深入的探讨.

但如何在实际教学中帮助学生有效地建构数学模型、融入模型思想，仍值得研究. 本文略提几点想法，求教于大家.

一、直观感知——建模的土壤

数学教学是数学活动的教学，小学生学习数学是自我探索、体验建构的过程. 教者提供丰富的感性材料，学生动手做一做，拼一拼. 活动中学生的思维具有很大的空间，他们手脑并用，在操作中思维，在思维中操作，在直观形象与抽象概括之间架起了数学模型的桥梁，以促使新的知识内化成认知结构. 案例 《圆的面积》

（一）七次剪拼

1. 学生操作学具

先是分成2等分，发现拼不起来，再等分成4等份，发现拼成的图形有点平行四边形的轮廓（如下图1）. 接着引导学生操作学具将圆平均分成等分成8等份、16等份，再试着拼一拼，发现拼成的图形接近平行四边形. （如下图2）.

2. 电脑演示

等分成了32份、64份、128份，学生发现竟然越来越接近长方形了. 有了这样的体会，引导学生想象如果等分成无限份再拼的话，会怎样呢？学生肯定地说，拼成的图形就是长方形了. 从不像，到有点轮廓，有点像，更像，最后到简直就是长方形、就是长方形，学生经历了知识产生和形成时艰难的探索过程.

（二）观察比较

师：请大家观察圆与长方形，你发现了什么呢？

生①：长方形的长 = 圆周长的一半，长方形的宽 = 圆的半径

生②：长方形的长用字母表示πr，宽用r表示.

生③：长方形面积 = 圆的面积，圆的面积 = 长方形面积 = πrr = πr2

学生经历圆面积的推导过程，获取广泛的数学活动经验，并将这些直观经验形成的表象深深地印在脑中，推导出圆面积的数学模型. 思维是从动作开始的，教学中，尽量让学生多动手操作，化静态为动态，化抽象为具体，增强学生感知觉的敏感度. 形象的支撑，土壤的“滋润”，建模水到渠成，思想趋向生成.

二、归纳抽象——建模的关键

数学模型构造过程的本质是数学思维的活动，在构建数学模型的过程中，面临各种问题，能用数学的眼光、从数学的角度，运用观察、实验、猜想、归纳、抽象等思维方法发现、提出问题，分析和解决问题. 数学思维的过程和动态促成了模型思想的稳定渗透. 抽象概括是形成概念，得出规律的关键性手段，也是建立数学模型最为重要的思维方法. 在充分观察、积累“厚实”的基础上，从许多数学事实或数学现象中舍去个别的，非本质的属性，而抽象出共同的本质属性，构建现实问题的数学模型.

案例 《正比例的意义》

例1：一辆汽车每小时行50千米，行1小时、2小时、3小时……各行了多少千米？所行的路程和时间有什么关系？

例2：一种圆珠笔，枝数和总价如下表.

学生总结出关系式：

■ = 速度（一定） ■ = 单价（一定）

学生概括出成正比例的量的含义.

师：你能不能用一种关系式，把成正比例的两种量表示出来呢？

学生展示自己创造出的各种关系式，最后统一概括成：

如果用字母x和y分别表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，正比例关系就可以用下面的式子表示：■ = k（一定）

可以发现，这个学习过程，正是以一个抽象概括方式建立数学模型的过程，是“具体问题——数学问题——符号模型”的过程. 它舍去了与数无关的具体情节，把反映数学问题的“本质特征”抽取出来，用关系式概括，形成数学模型，以便于后面学习中有效地进行解释、应用. 当我们以抽象概括的思维方法来审视小学数学教学中的许多数学问题时，可以发现，貌似不同的数学情景的背后，往往具有相同的思维模型. 因此抽象、概括，可以加深学生对事物本质的把握，形成一般化、形象化的认识，构建数学模型.

三、应用拓展——建模的灵魂

学生在教师的引导下，运用多种方法、形式建构数学模型，但学习不能总是依赖老师的“引”，思维不能仅仅停留在这个层面上，建构模型更应是一种自觉行为，一种内心需求. 教学中，教者应该适时退出去，搭建平台，放手让学生主动建构，让构建数学模型的程序、方法成为学生的一种学习思想. 从具体问题中抽象出数学模型后，建模并未终结. 还要变换问题情境，引导学生将数学模型再应用到丰富的、典型的实际问题中，以此来深化模型的内涵，拓展模型的外延.

案例 《常见的数量关系》

1. 学生得出了数学模型：速度×时间=路程

2. 师：我们来回顾二年级的学习内容.

（师出示：4个盘子，每盘有3个苹果）

师：可以列出怎样的算式？哪个数据相当于速度？哪个数据相当于时间……

（师出示：用砖砌成的墙）

师：什么相当于速度？什么相当于时间、路程？

师：是不是还有些数量也是这种“一乘两除”的关系？

（师出示：单价、数量、总价）

师：它们之间是什么关系？学生回答.

师：这些都是二年级学习的乘法问题. 打个比方：乘法是个筐，好多东西里面装！

【课件出示：（ ） × （ ） = （ ）】

学习不仅仅是局限于一个问题、一类问题的解答，而应在解决问题中体会数学的模型思想. 思考至此，接下来的教学应“乘胜追击”.

建立了行程问题的模型后，教者并未罢手，进行了类比抽象，将一系列“一乘两除”的问题归之于乘法，对乘法模型进行了适度的生成、拓展、与重塑，由此派生出新的数学模型.

从具体问题中抽象出基本的数学模型，在解释应用数学模型的过程中，適时引导学生自主探究、迁移类推，学会创造性地建模、探索性地变模，举一反三，随着一个个问题的提出和解决，不但使学生深化对数学模型的理解、把握与构建，也使学生自然地养成从不同的问题情境中找出统一结构关系的数学模型的思维习惯和数学观念. 以“不变应万变”，加深学生对事物本质的把握，使得学生学会抓住数学的模型思想这个“灵魂”，在以后的学习中学会思考、善于思考，学会有效地去创造新知识，使他们适应未来的学习和发展.

数学是关于模式的科学，学生学习数学，重要的是学会探求模式，发现规律. 模式可以模仿，更可以创新. 建模中，学生经历了数学模型“动态”的、鲜活的形成过程，在活动中获得了“静止”的、形式化的数学模型，领会数学建模的思想和方法，也就可能使学生日后在面对不熟悉的问题情境乃至数学学科以外的现实世界时，像数学家那样进行“模型化”的处理，让“模型思想之花”处处开放.