初中数学探索规律技巧

王海瑞

我们观看世界的不同角落，不同的物质，不同的事物，都有它各自不同的形态. 数量和形态是事物最基本的性质，认识事物常常要从研究数量和形态的规律开始.

探索规律问题是华师大版七年级上册中第一章“走进数学世界”内容的一部分，它让学生初步体验数学是一个充满着观察、实验、归纳、类比和猜想的探索过程. 它能够培养学生独立思考、归纳猜想的数学思维能力，提高对字母表示数量关系的应用能力. 怎样有效地正确地探索数学规律问题？我们给出几个具体的、特殊的数、式或图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论.解题的思路是实施特殊向一般的简化；具体方法和步骤是（1）通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳；（2）猜想符合规律的一般性结论；（3）验证或证明结论是否正确， 规律性问题主要有这样几类：数字类、计算类、图形类.

一、数字类

数字类由以数列更为突出，数列问题大都和序列号有关联，通过数字和序列号的对比，较容易发现规律. 如：

1. 一数列2，4，6，8，10，…，按照这个规律第n个数是什么？（2n）

2. 一数列2，4，8，16，…，按照这个规律第n个数是什么？（2n）

3. 观察下列各式数：0，3，8，15，24，…. 试按此规律写出的第100个数是什么？（1002 - 1） ，第n个数是什么？（n2 - 1）.

数字找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列数，要求我们根据这些已知的数找出一般规律. 找出的规律，通常与序列号有关. 所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其规律.

我们以例3为例，我们把有关的量放在一起加以比较：

给出的数：0，3，8，15，24，….

序列号： 1，2，3， 4， 5，….

容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1. 因此，第n项是n2 - 1，第100项是1002 - 1.

二、计算类

计算类找规律，多数是函数的解析式. 函数的解析式里常常包含着数学运算. 因此，找规律，在很大程度上是在找能够反映已知量的数学运算式子. 所以，从运算入手，尝试着做一些计算，也是解答找规律题的好途径. 如：

4. 观察下列等式：4 - 1 = 3，9 - 4 = 5，16 - 9 = 7，25 - 16 = 9，36 - 25 = 11，…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n（n ≥ 1）表示了自然数，为什么用关于n的等式表示这个规律？

解析：通过观察计算发现被减数4，9，16，25，36分别是2，3，4，5，6的平方；减数1，4，9，16，25分别是1，2，3，4，5的平方，而结果是从3开始的奇数. 进而有22 - 12 = 3，32 - 22 = 5，42 - 32 = 7，…. 所以有（n + 1）2 - n2 = 2n + 1（n ≥ 1，n表示了自然数）

如：5.观察下列等式：1 = 1，1 + 3 = 4，1 + 3 + 5， = 9，1 + 3 + 5 + 7 = 16，…，根据观察可得：1 + 3 + 5 + … + 2n - 1 = 什么.（n 为正整数）

解析：观察发现等号左边都是奇数的和，右边分别是1，2，3，4的平方，所以有1 + 3 + 5 + … + 2n - 1 = n2

三、图形类

图形类规律问题主要根据题目中所给图形之间的变化关系寻找规律，通常能够寻找出多种不同的方法，教学过程中应该最大程度的给学生谈论的空间，发挥学生的想象力和协作能力. 如：

6. 用火柴棒按如图方式搭正方形，然后思考下列小题：

搭1个正方形需要4根火柴棒.

（1）按上图方式，搭2个正方形需要多少根火柴棒，搭3个正方形需要多少根火柴棒.

（2）搭10个这样的正方形需要多少根火柴棒？

（3）搭100个这样的正方形需要多少根火柴棒？你是怎样得到的？

（4）如果用n表示所搭正方形的个数，那么搭n个这样的正方形需要多少根火柴棒？与同伴进行交流.

（5）根据你的做法，搭200个这样的正方形需要多少根火柴棒？

方法一：第1个正方形用了4根火柴棒；

第2个正方形用了4 + 3 × 1根火柴棒；

第3个正方形用了4 + 3 × 2根火柴棒；

第4个正方形用了4 + 3 × 3根火柴棒；

第5个正方形用了4 + 3 × 4根火柴棒；

……

第n个正方形用了4 + 3 × （n - 1）根火柴棒.

方法二：将n个正方形分成上边、下边和竖边，其中上边和下边各用了n根火柴棒，竖边用了n + 1根火柴棒，因此，可知搭n个正方形共用了n + n + （n + 1）根火柴棒.

方法三：把每个正方形都看成是由4根火柴棒搭成的，按照这种思路，从第2个正方形起，每个正方形都比实际多用了1根火柴棒，搭n个正方形就比实际多用了n - 1根火柴棒，所以，搭n个正方形实际用的火柴棒的数目应该是4n -（n - 1）.

方法四：第1个正方形用了1 + 3 × 1根火柴棒；

第2个正方形用了1 + 3 × 2根火柴棒；

第3个正方形用了1 + 3 × 3根火柴棒；

第4个正方形用了1 + 3 × 4根火柴棒；

第5个正方形用了1 + 3 × 5根火柴棒；

……

第n个正方形用了1 + 3 × n根火柴棒.

解决这类问题，应遵循从特殊到一般的原则，先观察搭1个、2个、3个正方形各需火柴棒的根数，分析正方形个数与火柴棒根数之间的关系，然后找出规律.