积分不等式的证明方法

程村

【摘要】 如何证明积分不等式是学习高等数学这门课程的一个难点问题. 本文专门讨论积分不等式证明的五种方法：构造积分上限的函数，利用定积分的比较性质，利用积分中值定理，利用Schwarz不等式和利用平均值不等式.

【关键词】 积分不等式；积分上限的函数；积分中值；Schwarz不等式；平均值不等式

一、引 言

积分不等式是微积分学中的一类重要不等式，在数学分析中有着广泛的应用. 但是，笔者在教授高等数学这门课程的过程中发现大部分学生碰到积分不等式的证明问题时往往会束手无策. 主要困难如下：被积函数不能用初等函数表示，从而无法应用Newton-Leibniz公式求出定积分的值；被积函数的具体表达式未知，只给出了它的某些性质. 鉴于此，本文将专门讨论积分不等式的证明问题，主要介绍了五种方法：构造积分上限的函数，利用定积分的比较性质，利用积分中值定理，利用Schwarz不等式和利用平均值不等式.

二、构造积分上限的函数

例1 设f（x）在[0，1]上可微，且当x∈（0，1）时，0 < f′（x） < 1，f（0） = 0.试证：（ f（x）dx）2 > f 3（x）dx.

证一：（ f（x）dx）2 > f 3（x）dx ？圳 （ f（x）dx）2 -

f 3（x）dx > 0

令F（x） = （ f（t）dt）2 - f 3（t）dt

因为F（0） = 0，所以只要证明在（0，1）内有F ′（x） > 0

因为当x∈（0，1）时，0 < f′（x） < 1，f（0） = 0，

所以，当x∈（0，1）时，f（x） > 0

令g（x） = 2 f（t）dt - f 2（x），则g（0） = 0

g′（x） = 2f（x） - 2f（x）f ′（x） = 2f（x）[1 - f′（x）] > 0

于是，g（x） = 2 f（t）dt - f 2（x） > 0.

所以，当x∈（0，1）时，F ′（x） > 0. 得证.

证二：（ f（x）dx）2 > f 3（x）dx ？圳 > 1

令F（x） = （ f（t）dt）2，G（x） = f 3（t）dt

由柯西中值定理知

= =

= = （0 < ξ < 1） =

= =

> 1（0 < η < ξ < 1）

例2 设f（x）在0 ≤ x ≤ 1上连续且单调减少，f（1） > 0.试证： ≤ .

证：令F（t） = f 2（x）dx xf （x）dx - f （x）dx xf 2（x）dx

F′（t） = f 2（t） xf（x）dx + tf（t） f 2 （x）dx - f（t） xf 2（x）dx - tf 2（t） f（x）dx = f（t） f（x）[f（x） - f（t）]（t - x）dx

因为f（t）单调减少，且f（1） > 0，

所以当t∈[0，1]，f（t） > 0，且f（x） - f（t） ≥ 0，t - x ≥ 0，

故F′（t） ≥ 0，F（t）单调增加，又F（0） = 0，故F（t） ≥ 0，F（1） ≥ 0，即

f 2（x）dx xf （x）dx - f （x）dx xf 2（x）dx ≥ 0

因此 ≤ .

例3 设函数f（x）在区间[0，a]上可导，且f（0） = 0，f′（x）单调增加，试证： xf（x）dx > f（x）dx.

证：令F（x） = t - f（t）dt，则F（0） = 0

F′（x） = xf（x） - f（t）dt，于是F′（x） = 0

F″（x） = [xf′（x） - f（x）] = [xf′（x） - （f（x） - f（0））] = [f′（x） - f′（ξ）] > 0

于是F（x）在[0，a]单调增加.

由F（0） = 0，得F（a） > 0，即 xf（x）dx > f（x）dx

三、利用定积分的比较性质证明积分不等式

例4 设函数f（x）在区间[0，1]上单调不增，试证：对于任何α∈（0，1）， f（x）dx ≥ α f（x）dx.

思路分析 观察左边、右边的两个积分，被积函数相同，但积分区间不同. 于是，用定积分对积分区间的可加性构造需要的积分区间.

证： f（x）dx ≥ α f（x）dx ？圳 f（x）dx ≥ α f（x）dx + α f（x）dx

要证 f（x）dx ≥ α f（x）dx + α f（x）dx，

即证（1 - α） f（x）dx ≥ α f（x）dx，

或 f（x）dx ≥ f（x）dx

因为f（x）在区间[0，1]上单调不增，所以

f（x）dx ≥ f（α） ≥ f（x）dx

四、利用积分中值定理证明积分不等式

例5 已知函数f（x）在区间[0，1]上连续且单调不增，试证： f（x）dx ≥ λ f（x）dx，0 < λ < 1 .

思路分析 利用积分中值定理将积分不等式转化为不含积分的不等式，再进行证明.

证：因为 f（x）dx = f（x）dx + f（x）dx，

所以要证 f（x）dx ≥ λ f（x）dx，

即证 f（x）dx ≥ λ（ f（x）dx + f（x）dx），

或（1 - λ） f（x）dx - λ f（x）dx ≥ 0.

因为f（x）在区间[0，1]上连续，所以存在ξ1∈（0，λ），ξ2∈（λ，1），使得 f（x）dx = f（ξ1）λ， f（x）dx = f（ξ2）（1 - λ）.

所以，要证（1 - λ） f（x）dx - λ f（x）dx ≥ 0，

只需证λ（1 - λ）[f（ξ1） - f（ξ2）] ≥ 0.

因为f（x）在区间[0，1]上单调不增，0 < ξ1 < ξ2 < 1，

所以f（ξ1） ≥ f（ξ2）. 于是λ（1 - λ）[f（ξ1） - f（ξ2）] ≥ 0.

五、利用Schwarz不等式证明积分不等式

Schwarz不等式 若f（x）和g（x）在区间[a，b]上可积，则（ f（x）g（x）dx）2 ≤ f 2（x）dx g2（x）dx.若f（x）和g（x）在区间[a，b]上连续，其中等号当且仅当存在常数α，β，αf（x）≡βg（x）时成立（α，β不同时为零）.

例6 已知函数f（x）在区间[a，b]上连续，f（x） ≥ 0， f（x）dx = 1，k为任意实数，试证：

（ f（x）cos kxdx）2 + （ f（x）sin kxdx）2 ≤ 1.

思路分析 应用Schwarz不等式，要注意恰当地选取函数f（x）和g（x）.

证：由Schwarz不等式

（ f（x）cos kxdx）2 = [ （ cos kx）dx]2 ≤

f（x）dx· f（x）cos2 kxdx = f（x）cos2 kxdx

同理，（ f（x）sin kxdx）2 = [ （ sin kx）dx]2 ≤ f（x）dx· f（x）sin2 kxdx = f（x）sin2 kxdx

所以，（ f（x）cos kxdx）2 + （ f（x）sin kxdx）2 ≤

f（x）cos2 kxdx + f（x）sin2 kxdx = f（x）dx = 1

六、利用平均值不等式证明积分不等式

平均值不等式 对于任意n个实数ai≥0（i = 1，2，…，n）恒有 ≤ ，其中等号当且仅当a1 = a2 = … =an时成立.

例7 设正值函数f（x）在区间[0，1]上连续，试证：

e ≤ f（x）dx.

思路分析 将定积分表示成积分和的极限，再应用平均值不等式.

证：因为f（x）在区间[0，1]上连续，所以f（x）和ln f（x）在区间[0，1]上可积将[0，1]n等分，作积分和

f（x）dx = f（ ），

ln f（x）dx = ln f（ ） = ln[ f（ ）]

所以，e = e = [ f（ ）]

由平均值不等式，[ f（ ）] ≤ f（ ）.

所以，e ≤ f（x）dx

本文通过实例说明了证明积分不等式时可以尝试的五种方法：构造积分上限的函数，利用定积分的比较性质，利用积分中值定理，利用Schwarz不等式和利用平均值不等式. 希望对读者有所帮助.

【参考文献】

[1]裴礼文. 数学分析中的典型问题和方法[M]. 北京：高等教育出版社，1993：249-278.

[2]卢兴江，金蒙伟. 高等数学竞赛教程[M]. 杭州：浙江大学出版社，2009：58-74.

[3]毛京中. 高等数学竞赛与提高[M]. 北京：北京理工大学出版社，2004：80-127.

[4]李晋明. 大学生数学竞赛指南[M]. 北京：经济管理出版社，2011：107-131.