例谈求解平面向量数量积的方法和策略

冯平

平面向量数量积的运算一直是高考热点内容，它在处理线段长度、垂直等问题的方式方法上尤为有突出的表现，而正确理解数量积的定义和几何意义是求解的关键，同时平面向量数量积的运算结果是实数而不是向量，因此要注意数量积运算和实数运算律的差异，本文将借助平面向量数量积的定义和几何意义、借助零向量、借助平行向量与垂直向量、借助转化基底法和借助坐标系利用坐标运算来例谈求解向量数量积运算的方法和策略.

一、借助定义和几何意义直接求解数量积

例1 若向量a，b满足|a| = |b| = 1，a，b的夹角为60°，则a·a + a·b = ______.

解析 根据数量积的定义：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫作a与b的数量积（或内积或点积），记作：a·b，即a·b = |a||b|cos θ（规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量）. 得a·a + a·b = 1 × 1 + 1 × 1 × cos60° = .

例2 如图， 已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是 （ ）.

A. · B. ·

C. · D. ·

解析 选项中均有向量 ，根据a·b的几何意义：数量积a·b等于a的模|a|与b在a上的投影的乘积知，要找 · （i = 3，4，5，6）的最大值，只需求 （i = 3，4，5，6）在 方向上的投影最大即可，画图可知只有 在 方向上的投影最大，故最大选A.

点评 若借助定义求解平面向量数量积时要注意弄清楚两向量的夹角和模长；若借助几何意义求解平面向量数量积时要注意数量积的几何意义就是一向量的模与它在另一向量方向上的投影的乘积.

二、借助零向量求解数量积

例3 已知△ABC中， = a， = b， = c，若a·b = b·c = c·a，求证：△ABC为正三角形.

证明：∵ b·c = c·a，∴ c（b - a） = 0，又∵ a + b + c = 0，c = -（a + b），

故-（a + b）（b - a） = 0， 知a = b， 同理可知b = c，故a = b = c ， 得证.

例4 已知平面上三点A、B、C满足| | = 3，| | = 4，| | = 5，则 · + · + · 的值等于 .

解析 注意到∵ + + = 0，两边平方得

| |2 + | |2 +| |2 + 2 · + 2 · + 2 · = 0

所以 · + · + · = -25.

点评 借助零向量即借助“围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量”，再合理使用向量的移项以及平方等变形，求解数量积.

三、借助平行向量与垂直向量求解数量积

例5 如图，在Rt△ABC中，已知BC = a，若长为2a的线段PQ以点A为中心，问 与 的夹角θ取何值时 · 的值最大？并求出这个最大值

解析 ∵ ⊥ ∴ · = 0

又∵ = - ， = - ， = - ，

∴ · = （ - ）·（ - ） = · - · - · + ·

= -a2 - · + · = - a2 + （ - ） = - a2 + · .

∴当cos θ = 1，即 θ = 0（ 与 方向相同）时， · 最大，最大值为0.

点评 借助平行向量与垂直向量即借助向量的拆分，将待求的数量积转化为有垂直条件关系或平行向量关系的向量数量积，借助a⊥b，则a·b = 0等解决问题.

四、借助转化基底法求解数量积

例6 如图，在平行四边形ABCD中，已知AB = 8，AD = 5， = 3 ， · = 2，则 · 的值是________.

解析 由 = 3 ，得 = = ， = + = + ， = - = + 14 - = - . 因为 · = 2，所以 + · - = 2，即 2 - · - 2 = 2. 又因为 2 = 25， 2 = 64，所以 · = 22

点评 借助转化基底法即将待求向量的数量积转化为题目中能求解的数量积. 一般当向量的模或夹角不明确，且建立直角坐标系后，相关点的坐标不易求出. 而题目已知两条线段长或一条线段长和以此线段为一边的角度时，常常以这两个向量作为平面上所有向量的一组基底（据平面向量基本定理易得），将要求的向量用这组基底表示出来.

结束语

综上所述，平面向量数量积的运算有两种形式：一是依据模和夹角，二是利用坐标运算，向量的几何形式与代数形式的“双重身份”以及它的一套优良的运算系统使它成为“重要工具”和“桥梁”，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择（注：有时同一个题目可以用两种形式来求解）. 在教学中，教师应当指导学生理解并掌握平面向量数量积，教会学生在不同的条件下怎样正确地使用这些知识. 经过长期培养，学生就能够全面地看待问题，由此提高解决平面向量题的效率.