关于求解费马点问题的多种方法探究与综述

李静爽

摘要：本文主要针对经典的三角形费马点问题及其加权推广问题，对几种方法（两种数学和两种物理解法）进行综述和扩展，展现不同解法的不同知识层次和逻辑思维方式，为不同的教育工作者都能提供一个较好的教学案例。

关键字：费马点；加权费马点；二元极值；最小势能；光行最速

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）21-0231-03

费马点问题的原型为生产实践中经常遇到的一类问题——选址问题。例如在三个城市之间建造一个垃圾场，如何选择垃圾场的位置，使其到三个城市的距离之和最小，这就是经典的三角形费马点问题。进一步地，若从三个城市向垃圾场运送垃圾的代价不同，且与其距离成正比，如何选择垃圾场的位置使其总代价最小，那么就变为一个加权费马点问题。

费马点问题是17世纪时，由法国数学家费马在写给意大利数学家托里折利的一封信中最早提出，最早由托里拆利解决。因此该问题后来被称为费马点问题。有关费马点的研究很多，推广应用也很多。主要是费马点问题具有多层次性，可以用初等数学知识求解，也可用高等数学知识求解，还可与物理知识结合求解。题目可变换多种形式和深度，设计为中学题目，竞赛题目，可作为大学课堂例题，也可作为研究性课题，甚至是推广到组合优化中的斯坦纳树问题。本文主要针对经典的三角形费马点问题及其加权推广问题，对几种方法进行综述和拓展，展现不同解法的不同知识层次和不同的逻辑思维方式，为不同的教育工作者均能提供一个较好的素材。

本文详细阐述和推导了求解三角形费马点问题的四种方法，并且每种方法均推广到了求解加权费马点的问题。二元极值法需要利用高等数学中多元微分的知识，方法严谨，但不利于观察其中的几何特征；梯度法同样需要高等数学知识，方法简洁，且与几何特征相联系，是学习梯度时较好的课堂案例；最小势能解法和光行最速解法为物理解法，构思巧妙，学科交叉，启发思维，可以作为数学教学的案例，更可以作为物理应用的教学案例，都有助于培养学生的创造性思维。

参考文献：

[1]郭镜明，韩云瑞，章栋恩，等.美国微积分教材精粹选编[M].高等教育出版社，2012.