基于APOS理论的高中函数概念的教学活动

沈淼楠

摘 要：函数是高中学习的重点，函数概念的学习在一定程度上影响着函数性质、图像等后续的学习，不过在实际教学中可以发现学生对函数的概念的理解仍然存在着一定的问题。为了改善这一问题，在APOS理论的指导下，笔者安排了如下的教学活动，望有助于教学开展。

关键词：APOS理论；函数概念；教学

中图分类号：G633.6文献标志码：A文章编号：2095-9214（2016）09-0039-01

APOS理论是以建构主义为基础的数学学习理论，它以社会线索为出发点，分析数学情景问题，帮助学生在已有的知识基础上建立自己的数学思想。APOS理论认为数学知识是学习者在解决数学问题过程中获得的，在这个过程中，学习者依照依序构建了心理活动（action）、程序（process）和对象（object），最终组织成用以理解问题情境的图式结构（scheme）。

数学教材把许多重要的数学概念按螺旋式上升的方式分散安排，其中函数的概念就是一个典型的例子。初中我们学习函数概念是从“变量观点”的定义开始，它是一个过程性质的概念，与高中函数的“对应”观点相比较，更易于学生掌握。由于函数概念同时具有两种属性，既表现为一种动态的算法、操作过程，又表现为一种静态的结构、对象。假如学生对函数概念的理解停留在“过程”水平，认为函数就是给x赋一个值相应计算出y的一个值，那么对f±g，f·g，fg等就会发生理解上的困难。在教学过程中，我甚至发现一些高三学生对函数概念也只有模糊理解，笔者猜想或许正是以上的原因所造成的。在由初中步入高中这个过程中，函数概念的学习没有达到衔接的要求，针对这个问题，考虑到学生原有的认知发展水平和已有的知识经验基础，在APOS理论指导下，笔者尝试了如下的教学活动设计，望能有助于课堂教学实践。

一、action阶段

活动1：老师带领学生回顾初中函数的概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x，y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，就说y是x的函數，其中x是自变量。

活动2：通过课本实例，让学生感受函数背景下的数学思想：（1）炮弹的距地面的高度与时间的变化关系问题；（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题。

通过两个活动让学生亲身体验、感受函数概念的直观背景。

二、Process阶段

活动3：分析实例，归纳总结出它们之间的联系？

活动4：引导学生从初中函数概念到高中函数概念的转变，帮助学生使用集合与对应的语言来描述实例中变量之间的关系。

活动5：以初中学习的函数概念为依据，对实例中变量之间的关系是否为函数关系进行判断。

三、object阶段

活动6：给出函数的有关概念及符号

1.函数的有关概念

（1）函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）。

记作：y=f（x），xA。

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域（range）.

需要注意的是y=f（x）是一种函数符号，它也可以用另外的字母表示，比如y=g（x）；

y=f（x）”中的f（x）表示的是当x为某一定值时它所对应的值，它代表着一个数，而不是类似于乘法的运算法则。

在明确了函数的概念之后，我们应该清楚的知道构成函数的三要素是什么。回顾我们初中学过的正比例函数、一元二次函数、反比例函数，分析它们构成函数的三要素是什么。同时为了方便研究函数，这时给出区间的概念。

比较利用变量定义的函数概念和集合定义的函数概念，师生讨论它们之间的具体联系。

四、scheme阶段

活动7：

1.求函数的定义域

例1：已知函数f（x）=x+2+1x+2

（1）求函数的定义域；（2）求f（-3），f（23）；

（3）当a>0时，求f（a），f（1-a）。

初中生刚升入高中，对抽象的知识掌握有一定的难度，适当的以具体实例进行辅导学习，化抽象为具体，有助于更好的理解函数的概念及相关定义。紧接着与学生一起总结几种常见的函数定义域类型：函数如果是分式的形式，那么分母不能为0；如果函数以根式的形式出现，那么根式下的部分必须大于或等于0；如果函数以整式形式出现，则定义域为实数集；如果函数以四则运算的形式出现，定义域为它们各部分的交集；如果以实际问题出现，只需要使实际问题存在就好。

2.判断两个函数为同一函数的方法：

例2：与y=x为同一函数的是哪些函数？

（1）y=（x）；（2）y=3x3；（3）y=x；（4）y=xx

师生共同完成该活动，老师设疑，学生作答，共同得出判断两个函数是否为同一函数的依据，加深对函数概念的理解。

活动8：至此，我们在初中学习的基础上，运用集合和对应的语言刻画了函数概念，并引进了符号y=f（x），明确了函数的构成要素，比较两个函数的定义，你对函数有什么新的认识？举出生活中函数的例子（三个以上），并用集合与对应的语言来描述函数，同时说出函数的定义域、值域和对应关系。

（作者单位：西华师范大学）

参考文献：

[1]曹一鸣，张生春.数学教学论[M].北京：北京师范大学出版社，2013

[2]鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社.

[3]沈敏鉴.APOS理论指导下高中数学概念的教学实践研究[J].数学教学通讯.2016（3）：21-22

[4]普通高中课程标准实验教科书数学必修1[M].北京：人民教育出版社.

[5]义务教育教科书数学（八年级下）[M].北京，人民教育出版社.