也谈初中数学图形问题中教师的“导”

王长贵

摘 要：“教师为主导，学生为主体”，是全面实施素质教育的基本要求。学习讲究互动，学生的学习活动与教师的课堂指导活动同样重要。学生为主体，不是不要老师的“主导”作用。一般来说，教师的认识先于学生、高于学生。而学生心理特点又不同于成人，加上自身知识有限，单靠自学是有困难的。教师的有效指导可以让学生学得轻松愉快，从被动学习走向主动学习，提高学习效率。

关键词：初中；数学；图形问题；“导”

初中数学的图形问题主要来源于几何，当然还有函数问题，初中的几何内容是比较系统地学习欧几里德平面几何，从常见的物体抽象成数学中的体、面、线、点，要求有比较严谨的合情推理语言，而函数则要求学生具备较强的数形结合能力。相当部分学生对图形问题的恐惧来自无法用正确、严谨的几何语言表达自己的想法以及数形结合的能力较差。虽然新课标对初中图形问题的难度有所降低，但部分学生依然在作业与考试中言不达意，漏洞百出，甚至不知所措。为了实现“不同的学生在学习数学上有不同的收获”，教师在课堂上的指导方法是至关重要的。

一、利用简单教具、学具，化想象为直接观察

初中几何的许多内容的学习都要求学生进行直观观察，若让学生直接进行抽象想象，大部分学生是无法完成的，导致教学目标无法实现。若通过简单的教具或学具，就可把抽象想象转化为直观观察，这样既达到了教学目标，也达到了突破教学难点的作用。

比如截一个几何体、从不同方向看、有趣的七巧板等教学内容，主要目标是培养学生的空间观念，强调学生的动手操作和主动参与。我鼓励学生借助教具学具充分地实践、观察、探索与交流，给学生足够的时间去思考，取得了较好的效果。

在讲授几何体的截面时，我设计了两个环节：第一步在课堂上教师通过实物作示范性操作，利用白萝卜作教具，让学生了解各种几何体的截面；第二步把这个截切的任务布置成周末作业，学生回家后，亲自动手操作，更直观地去感受几何体的截面，特别是正方体的多种截面情况，返校时将作业带回检查。不同学生有不同的创意，从而加深了学生对截面的理解。这样，学生从直观感受到动手操作，再到抽象思维，从而对各种不同的截面有了深刻的理解，收效明显。

二、亲自画图，加深对问题的理解

初中几何主要是对平面图形进行观察，寻找点、线在位置、数量方面的一般规律。许多教师在教学时忽略让学生亲自画图的作用，用多媒体或小黑板一下子给出题目，学生在审题时看了许久才知道已知条件，产生极大的资源浪费，特别对于较长的题目，效率更低。而如果充分调动学生的主观能动性，让学生融入学习中，采用教师边叙述，学生边画图形，这样教师叙述完题目学生已经有了图形，而且在画图同时已经把已知条件都告诉给学生，学生对已知条件已经了若指掌，对于简单的题目，许多学生都能猜出要解决什么问题或借助度量工具猜出相关结论，即使学生猜不出来，长而久之也会大大提高学生的审题效率、作图能力、猜想能力、发散能力。

例1：E、F分别是△ABC的边AB、AC边上的中点，G、H是BC边上的三等分点，连结EG、FH相交于D，求证：四边形ABDC是平行四边形。

在这个题目中，题目不算长，但涉及的字母较多，学生一时难以认清题目中的已知条件，于是我并不将题目直接给出，而是要求学生做以下几个步骤的工作：

①画三角形ABC；

②分别取AB、AC的中点E、F；

③取BC的三等分点G、H；

④连结EG、FH并延长，它们相交于D，连结BD、CD；

⑤通过度量或猜测四边形ABDC是怎样的一个特殊四边形。

在这个过程中，也会产生有的学生所画的字母位置与原题目的不一致，那就需要老师及时加以点拨，许多学生得到老师的直接指导，虽然题目较难，但猜想总是成功的，对于学习较滞后的学生也能学有所获。

三、充分进行“变式”

循序渐进，先强化条件或弱化结论，再逐步弱化条件或强化结论，从而增强学习的信心，提高学习兴趣。

新课标下的数学中考，出现了较多的阅读理解题目或开放性题目，这些题目给学生带来了很大困难，怎样才能做到大部分的学生不“感冒”呢？我就是采用“变式”策略，循序渐进，让学生愉快轻松地完成学习内容，并从中得到解决问题的基本方法。

例2如图，已知直线与双曲线交于两点，且点的横坐标为4。

（1）求的值；

（2）若双曲线上一点的纵坐标为8，求的面积；

（3）过原点的另一条直线交双曲线于两点（点在第一象限），若由点A、B、P、Q为顶点组成的四边形面积为24，求点的坐标。

讲解本题时我采用给出题目后先给出问题（1）让学生求K值，等大部分学生完成，再给出问题（2），问：点C的纵坐标为8，C大约位置在哪里？这时点C的坐标能不能确定？然后求△AOC的面积。因为不是很难，所以这两个小题学生基本能解决。在这个基础上，给出问题（3），要求学生过原点O作一条直线，看看产生怎样的图形，从中分析四边形的特殊性，达到指导解决问题的目的。

四、从特殊到一般，形成一般规律，再从一般到特殊

数学学习中问题解决的突破口往往是依据规律性与经验，所以在平常教学过程中除了教会学生观察外，还要有意引导学生进行总结与归纳，通过多次的重复应用，学生就把知识的点滴收获升华为灵活运用的解决问题的工具，这就要求在教学过程中的设计具有一定的针对性。对于一个知识点用一系列相关又不相同的“问题串”引导学生，进行观察、探索、总结，最后形成规律。很多中考阅读理解题正是基于这种认识设计产生的。

教师作为课堂教学引导者就是起到架起学生与教材之间的“桥梁”作用，指导学生找到最佳的学习途径、养成良好的学习习惯，诱发学生学习的主动性，引导学生掌握知识并灵活运用知识。教师的作用就是在充分肯定学生个性化处理问题方法的同时，加以及时的指导点拨，提炼共性的方法，达成共识，形成规律，从而使学生掌握解决问题的通性通法与一般规律。这一过程是一名教师对知识把握程度的体现，对学情的体现，也是一名教师驾驭课堂把握课堂节奏的体现，是学生对知识、方法的掌握是否到位的关键环节。

例3如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，根据下列条件求∠BIC的度数.

（1）若∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠BIC=__________；

（2）若∠ABC+∠ACB=116°，则∠BIC=_____________；

（3）若∠A=56°，则∠BIC=________________________；

（4）通过以上计算，探索出您所发现的规律：∠A与∠BIC之间的数量关系是__________；

（5）若∠BIC=100°，则∠A=_________________。

例4（课本例题）已知∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC.求证：AB=AC。

本题主要考查学生应用等腰三角形判定定理的能力，学生已在七年学过平行线的性质与判定，可在这里将条件与结论对换进行变式：

1.已知∠CAE是△ABC的外角，AB=AC，AD∥BC.求证：∠1=∠2。

2.已知∠CAE是△ABC的外角，AB=AC，∠1=∠2.求证：AD∥BC。

让学生试试证明两个逆命题，从而告诉学生规律：

角平分线+平行线→等腰三角形；

等腰三角形+平行线→角平分线；

角平分线+等腰三角形→平行线。

无数的几何题目都涉及到这个基本图形，利用上面规律往往达到事半功倍的效果，大大提高解题效率。

五、肯定不同想法，调动学习积极性

几何问题的解决途径往往不止一个，有多个甚至几百个（勾股定理的证明有300多种方法），但老师在课堂指导中不可能面面俱到，在师生互动过程中学生可能提出不同的思路，不管是不是可行，让学生表述，如果语言表达不是很清楚，可以让学生到黑板上板书，如果解法正确，老师再加以复述，让其他学生也能理解，如果没做么步步有据，指出学生的不足之处，无论结果是否正确，老师应加以肯定、鼓励，这样课堂上就会出现更多的学生独立思考问题或讨论解决问题，对学生的思维训练或活跃课堂气氛有不可忽视的效果，更重要的一点，让学生喜欢上你的课堂，真正实现“不同的学生在学习数学上有不同的收获”。

例5如图，矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE=AD，DF⊥AE于F，连结DE，求证：DF=DC.

本题中的两条线段不在同一个三角形中，很容易想到全等三角形，但两个直角三角形的全等条件除了直角与公共边外，另一个条件是间接给出的，回到已知条件，把AE=AD用好，得出∠DEF=∠ADE=∠DEC，再全等，这是很多同学可以理解接受的，不过有学生还想到另一种解法，在∠DEF=∠ADE=∠DEC的基础上得到了角平分线ED，且DF⊥AE，DC⊥EC，我何不直接应用角平分线定理？另有学生想到△ABE与△AFD全等这种解法，第一种解法学生易懂，而第二种就不那么容易想到且用语言不一定讲得明白，即使学生讲明白了，其他学生不一定听得明白，可让这个学生亲自上黑板给同学演示并带头动员全班学生为这位同学鼓掌。

六、根据实际需要，适当调整学生学习课时

我们很多老师常常根据教学用书所定的课时计划教学，这本无可非议，教学用书里的编排肯定有它的科学性。但我却认为不应当全按教学用书的课时安排来上课，应根据学情进行自我掌控，可根据学生掌握情况适当增加自己认为重点、难点的教学内容让学生在各个环节都能很好地理解清楚，如果忙于完成课时，学生难免囫囵呑枣，到最后阶段即使花很多时间复习，其结果很可能是事倍功半。

当然要实现这样的目标，对教师的要求比较高：

①要求熟悉整个初中数学内容，对各部分内容有整合的能力；

②新课标的要求胸有成竹，并把握好整个初中数学体系的重难点及各章节内部的重难点；

③对学情要认真调查；

④近年各地中考题目的深入研究，重难点的导向性等等。

又如对勾股定理的教学，人教社教学用书中只安排两课时，而我却花了四个课时，原因是：是中华民族引以为豪的伟大历史文化遗产；用面积证明定理为初接触，不容易想到也比较难以理解但却是勾股定理各种证法的“灵魂”；勾股定理是重要的考点，不可不掌握；勾股定理是解直角三角形不可或缺重要工具，在现实生活中的应用性广等等。

第一课时①互动方式证明勾股定理；②在直角三角形中已知任意两边求第三边。

第二课时①复习勾股定理证明的特殊性；②在直角三角形中已知一边，并且另外两边数量上存在关系，求另外的两条边——方程思想；③在直角三角形中已知一边，且有一个角为30°或45°求另外两边——可转化为以上两种情况。

第三课时总结直角三角形所有已的性质。①角的性质：两锐角互余；②边的性质：斜边最长、两边之和大于第三边、勾股定理；③边与角的性质：ⅰ）.30°角所对的直角边等于斜边的一半；ⅱ）.含30°角的直角三角形三边之比为1：：2；ⅲ）.含45°角的直角三角形三边之比为1：1：.

第四课时讲解勾股定理在实际生活中的应用。

教师教学功在“导”，没有教师合理科学的课堂指导，学生仅仅按部就班，那么学生的思维能力和合作交流、自主探究等能力就得不到锻炼，就无法真正实现“不同的学生在学习数学上有不同的收获”！

参考文献：

[1]全日制义务教育数学课程标准2011版（实验稿）[M].人民教育出版社，2012，1.

[2]义务教育数学课程标准2011版解读（实验稿）[M].北京师范大学出版社，2012，2.

[3]全日制义务教育数学教科书2013版[M].人民教育出版社，2013，5.

[4]全日制义务教育数学教学用书2013版[M].人民教育出版社，2013，5.

（作者单位：福建省福清市滨江初级中学）