考虑智能配电网谐波谐振模式不确定性的抑制措施

余光正 ，林 涛 ，陈汝斯 ，徐遐龄

（1.武汉大学 电气工程学院，湖北 武汉 430072；2.湖北工业大学 太阳能高效利用湖北省协同创新中心，湖北 武汉 430068；3.华中电网调控分中心，湖北 武汉 430077）

0 引言

电力电子装置的广泛应用以及大功率非线性负荷的日益增加［1］，使得注入电网中的谐波分量增多，导致电力设备的过热和损坏。电力系统中普遍装设电容器组作为无功补偿的手段，当其参数选择不当时有可能导致谐波谐振，造成电力设备的损坏，影响系统安全运行［2-4］。因此，对电网谐波谐振现象进行监测和抑制具有重要意义。

对谐波谐振问题常见的分析方法有频谱分析法、模态分析法等。频谱分析方法能够识别谐振的存在并确定谐振频率，然而该方法无法得出谐波谐振的更多信息，并且只能对系统运行状态（主要指电网的拓扑结构和运行方式）不发生变化的情况进行确定性分析［5-6］。特别地，对于谐波谐振的抑制措施主要是针对电网中特定谐振频率进行设计。文献［7］提出了基于模态分析的谐波谐振评估方法。该方法通过分析网络节点导纳矩阵特征根的幅值，揭示了有关谐振机理和程度的信息。在此基础上，文献［8-9］介绍了抑制谐波谐振的方法。该方法针对某一次谐振频率，以无源滤波器投资费用最少作为目标函数，以无源滤波器安全约束和谐波潮流约束作为约束条件，以无源滤波器品质因数和无源滤波器的电容值作为优化变量构建优化模型，对无源滤波器进行设计。

在智能配电网中，各种新能源发电装置、可控负荷通过电力电子变换器接入电网。研究［10］表明并网逆变器可以等效成为由电感、电容以及变换器控制策略构成的输出阻抗的形式。由于智能配电网的操作运行可能导致电网节点导纳矩阵的特征值发生变化。根据模态分析法，电网节点导纳矩阵特征值发生变化可能造成某个运行状态下谐振模式在另一个运行状态下消失；反之，原本不存在的谐振模式在电网新的运行状态下可能出现；此外，还有可能出现谐振模式在不同的运行状态下频率发生偏移的现象。抑制谐波谐振多采用在电网中装设滤波装置的方法。由于无源滤波器具有成本低、补偿无功、调节电压、功能易于实现的优点，因此一直是应用最为广泛的滤波方法。无源滤波器的抑制谐波谐振原理，就是对应于谐波频率，电容器与电抗器的阻抗相匹配，滤波器支路呈纯阻性，使谐波电流得到有效的分流，从而减少流入电网中的谐波电流。

文献［11］提出的谐波谐振“模态分析”方法定义电网节点导纳矩阵特征值倒数（即模态阻抗）出现极大值时，该特征值即为谐波谐振的“关键模式”。本文根据电网节点导纳矩阵特征值幅值离散的特点，提出了一种基于聚类算法的自动搜索不同运行状态下关键模式的识别方法，并根据关键模式集合选择所需抑制的目标模式，采用无源滤波器作为抑制电网谐波谐振的方法。根据目标模式的参与因子集合，取强相关节点的交集作为无源滤波器的安装地点。针对目标模式，以无源滤波器品质因数Q和电容量C为优化变量，以目标模式的模态阻抗幅值最小化为优化目标，以优化后其他模式模态阻抗幅值不发生明显变化为约束条件建立优化模型，并采用基于云理论的改进模拟植物生长算法（PGSA）对优化模型进行求解。同时采用了模式追踪技术确保优化过程始终对目标模式进行，优化后的滤波器参数可以保证对系统运行状态发生改变情况下的频率偏移问题具有良好的适应性。

1 谐波谐振模态分析简介

模态分析法利用系统节点导纳矩阵奇异性和特征值确定得到相关谐振信息和程度，并利用矩阵左右特征向量给出谐振模式的最大可激励性和最高可观测性节点，并利用参与因子确定谐振中心。

根据频谱分析，设系统经受频率为f的并联谐振。这意味着通过式（1）计算出的电压向量的某些元素对应于频率f有很大的值。

其中，Yf为在频率f处的网络导纳矩阵；Uf、If分别为节点电压、节点注入电流矩阵。省略下标f，根据文献［11］，矩阵Y可以分解为以下形式：

其中，Λ为对角特征值矩阵；Λ为特征值对角矩阵；L、T分别为左、右特征向量矩阵，且L=T-1。将式（2）代入式（1）得：

其中的对角特征值矩阵，且有如果 λ1=0 或者非常小，则趋近于无穷大，即很小的模态1注入电流J1将导致很大的模态电压U1；I为节点注入电流向量。定义Umt=TU为模态电压向量，J=TI为模态电流向量。

2 智能配电网谐波谐振不确定性分析

在传统电网中，对电网的节点导纳矩阵进行特征值分析，计算出谐振模态下的参与因子，根据参与因子排序大小确定无源滤波器的最优配置位置。特别地，主要针对电网的拓扑结构和运行方式不变的情况对谐波谐振抑制进行确定性分析。对于谐波谐振的抑制方法，主要是针对电网中特定次谐振频率进行设计。

在智能配电网中，各种分布式电源、可控负荷通过电力电子变换器接入电网。研究［12］表明并网逆变器可以等效成为由电感、电容以及变换器控制策略构成的输出阻抗的形式。文献［13］从阻抗角度对并网逆变器建模，得出并网逆变器的阻抗模型。文献［14］考虑控制方式对并网逆变器阻抗的影响。并网逆变器相当于一个受控电流源，可等效为一个电流源i0并联一个阻抗（并网逆变器输出阻抗）z0的形式，即诺顿等效电路，如图1所示。电网可等效为电压ug串联电网输入阻抗Zg，并网开关S1控制分布式电源投入和退出电网运行。逆变器通过公共连接点（PCC）的LC滤波器耦合到电网中。

图1 并网逆变器诺顿等效电路模型Fig.1 Norton equivalent circuit of grid-connected inverter

以LC单相并网逆变器为例进行分析，由于逆变器开关管频率远远高于电网基波频率，且忽略直流母线电压波动及开关频率以上的高次谐波，则有如图2所示的平均模型。图中，RLf、Lf和Cf组成滤波电路；RLg为电网电阻；Lg为电网电感；ug为电网电压；u*为调制信号；Ginv为脉宽调节逆变器线性增益；i*为电网参考电流；iL为电网电感反馈电流。

图2 单相并网逆变器的平均电流模型Fig.2 Average circuit model of single-phase grid-connected inverter

为了简化模型，逆变器的反馈回路PI调节器控制为：

其中，kP、kI为 PI调节参数。

由图2可得输出阻抗为：

则有：

其中，ZCf=1 ／（sCf）；ZLf=RLf+sLf。 由式（6）可得逆变器等效输出阻抗与控制器结构和方式有关。

由此可见，智能配电网分布式电源分期接入时，智能配电网发生故障需要分布式电源退出运行导致并网逆变器等效输出阻抗（即图1中的Z0）发生变化，从而造成电网参数发生变化。此外，配电网自动化系统为保证电网运行的安全性和经济性会进行电网拓扑结构调整，这些过程均可导致电网运行状态发生变化。从谐波谐振的模态分析角度分析，受上述不确定因素的影响，网络导纳矩阵或回路阻抗矩阵中的元素是变化的，这导致特征值和对应的模式参与因子也是变化的，从而可能使电网谐波谐振模式发生变化。比较常见地，还有可能出现谐振模式在不同的运行状态下谐振频率发生偏移的现象［15］。然而传统方法是针对某一谐振频率对谐波谐振现象进行抑制，当谐振频率发生偏移时，基于确定性的常规谐波谐振抑制方法在智能配电网中可能效果不够理想，针对这种情况，下文提出了一种针对谐振模式进行治理的无源滤波器参数优化方法，该方法考虑了智能配电网谐波谐振不确定性。

3 适应于谐波谐振不确定性的无源滤波器参数优化策略

通过第2节的分析，针对智能配电网谐波谐振不确定的现象，本文提出了一种适应于系统不同运行方式下谐波谐振频率发生偏移的谐振抑制策略。下面对各个关键技术进行介绍。

3.1 关键模式搜索技术

传统方法利用离散的数值绘制各个模态的阻抗频谱曲线，根据频谱峰值对应的频率确定谐振频率。这主要凭借人工判断，缺乏量化依据。文献［12］定义模态阻抗与全部模态阻抗之和的比值大于0.5，则认为此模态阻抗对应的模式是关键模式，然而该方法缺乏理论依据，且当系统出现若干关键模式时该方法难以判断。为了解决难以人工设定关键模式模态阻抗整定值的问题，本文提出了一种基于围绕中心点的划分PAM（Partitioning Around Medoid）聚类算法的识别方法，该方法能自动提取系统关键模式，并对其归类。

本文基于模态分析法分析各个模式的模态阻抗幅值，经观察可知模态阻抗幅值在数值上有明显的分层，其中关键模式的模态阻抗幅值明显大于其他模式的模态阻抗幅值。基于该现象，可根据模态阻抗幅值的间距大小来辨识关键模式。文中采用PAM聚类算法，以 HS（Homogeneity-Separation）指标为有效性指标，对电网进行模态分析，将所有模式的模态阻抗幅值进行聚类分析，模态阻抗明显大于其他模式的一类模式即为关键模式。

PAM聚类算法在聚类的过程中最小化各样本到其最近的代表样本的不相似度之和。其基本思想是选用簇中位置最中心的对象，然后反复地用非代表对象来代替代表对象，试图找出更好的中心点，对n个节点导纳矩阵特征值给出k个划分。当类标未知时，采用HS指标作为有效性指标。HS指标用同质性表示类内的样本具有内聚的结构，用分离性表示类与类之间被很好地分开。同质性定义为平均的类内样本之间的相似度，而分离性定义为不同类的样本之间的平均相似度。HS指标最大值对应的类数作为最优的聚类个数，其定义为：

其中，CHS（k）为数据集聚成k类时的HS指标值；kopt为最佳分类数；R（s，t）为第s个和第t个样本之间的相似度（例如Pearson相关系数）；具有n个样本的数据集被PAM聚类算法划分为k个聚类，ni为第i个聚类Ci的样本个数。评价的过程实为一优化过程，HS指标值越大，表明聚类质量越高。通过不断地进行计算直至HS指标最大值出现，其对应的聚类数即为模态阻抗幅值的最佳分类数。

假设电网中有n个节点，则通过模态分析法，可计算出n个模式的模态阻抗幅值的数据集合为Ar=［Ar1，Ar2，…，Arn］T。结合 PAM 聚类算法以及 HS 指标来确定最佳分类数。步骤归纳如下：

a.实验中模态阻抗幅值的等级划分方案k的范围为［2，kmax］，根据普遍使用的经验规则取

b.由计算所得的模态阻抗幅值数据集Ar，从kmin=2至kmax循环调用PAM聚类算法，以HS指标为评价标准对每个聚类结果进行评估；

c.比较各个HS指标值，取对应HS指标值最大的聚类数作为最佳分类数kopt；

d.输出最佳分类数、有效性指标值和聚类结果。

将模态阻抗幅值数据集Ar分为kopt类时，数值最大的一类模式即为关键模式，其对应的频率即为谐振频率。

3.2 目标函数和约束条件

谐波谐振是由系统节点导纳矩阵的奇异性引起的，根据谐波谐振产生的机理，本文选取待改善的关键模式为目标模式，以目标模式模态阻抗幅值最小化为优化目标，以无源滤波器阻容参数及品质因数为优化变量，在满足滤波器安全可靠运行的前提下，以其他模式模态阻抗幅值不出现较大升高为约束条件建立了无源滤波器的参数优化模型。该过程可以表述为如下带约束的优化问题：

其中，Atget为目标模式的模态阻抗幅值；x1、x2、…、xN为待优化参数，N为待优化参数的个数；Si为非目标模式的模态阻抗幅值；t0为给定的阈值；t1为给定的非目标模式的模态阻抗幅值变化百分比。

3.3 模式追踪技术

对于一个谐波振荡模式，从物理意义上分析指谐波导纳矩阵（谐波阻抗矩阵）的一对共轭特征值，其对应的特征向量称为振荡模式。振荡模式的振荡频率与其对应的特征值虚部有关，然而对于某个确定的谐振模式，不能仅仅依靠其频率是否变化来判断。对于优化目标的选取，文献［17］是以谐振频率为研究对象，对谐波谐振进行抑制，然而由上文分析可得在智能配电网中可能出现谐振模式频率发生偏移的情况，针对这种情况，本文以谐振模式为研究对象，利用模式追踪技术，在关键模式谐振频率发生变化的情况下保证无源滤波器始终对关键模式进行抑制。

模式追踪技术是通过对确定模式的频率、强相关节点参与因子排序和左右特征向量夹角等信息来确定目标模式。模式追踪技术保证在优化过程中始终将选取的目标模式作为优化目标进行优化。

3.4 智能优化算法

采用PGSA对谐振中心的无源滤波器参数进行（协调）优化。

PGSA具有参数设置简单、全局寻优能力较强等优点［18］，但其近乎遍历的搜索过程直接影响收敛速度，降低了算法效率［19］，同时该算法只适用于整数规划问题。基于云理论的改进PGSA采用了变步长的搜索策略并将云模型理论应用于新生长点的选取［20］，且适用于连续函数的优化。

以下通过改进的IEEE 14节点标准系统算例对谐波谐振不确定性的无源滤波器参数优化策略的应用进行说明，对其效果进行验证。

4 算例验证

4.1 算例简介与谐波谐振不确定性分析

基于改进的IEEE 14节点标准系统（见图3）设计2种运行状态：在运行状态1下，由节点2、8处接入新能源发电装置，图3中虚线部分表示在运行状态1下不与电网相连接；在运行状态2下，在节点1、2、6、8处接入新能源发电装置。其中，系统基准容量为100 MV·A，基准电压等级为10 kV。

通过数据仿真得到模态阻抗幅值最大的14个测试系统谐振模式，如表1所示，表中的模态阻抗幅值为标幺值，下文中同。以运行状态1为例，第19次和37次谐振频率对应的模态阻抗幅值远大于其他谐振频率对应的模态阻抗幅值。

对算例基于PAM聚类算法进行不同运行状态下的关键模式搜索、归类，结果如图4所示。

图3 改进的IEEE 14节点标准系统拓扑图Fig.3 Topological diagram of modified standard IEEE 14-bus system

表1 前14名模态阻抗幅值排序结果Table 1 Top 14 of modal impedance amplitude

图4 2种运行状态下关键模式的聚类结果Fig.4 Results of critical mode clustering for two operating conditions

结合聚类结果，由图4可知，采用PAM聚类算法将2种运行状态下系统的关键模式分成了2类。算法自动选择出了模态阻抗幅值相对较大的一类，如图中空心圆点所示。分析可得在2种运行状态下，关键模式集合中最危险的模式如表1中加粗部分所示。

采用模态分析方法，得到各个关键模式具体信息如表2所示，由表2中数据可以看出运行状态1下谐振次数为4的关键模式在运行状态2下消失，而运行状态2下出现了谐振次数为5的关键模式。对于谐振次数为37的关键模式，在系统运行方式发生变化时，其模态阻抗幅值也发生变化，且谐振中心节点号不同，这说明在2种不同的运行方式下同一次谐波谐振频率的谐振中心会发生改变，即谐振模式发生了变化。由表2数据可知，电网运行状态发生改变会引起谐振频率偏移的现象。

表2 2种运行状态下的模态分析结果Table 2 Results of modal analysis for two operating conditions

进一步地，通过模式追踪技术，由表3分析可知，在运行状态1下谐振次数为19的关键模式与运行状态2下谐振次数为20的关键模式的谐振中心相同，左、右特征向量的夹角基本相同，所以可以判定它们为同一个谐振模式，即谐波谐振模式的谐振频率由于电网运行方式的变化发生了改变。

表3 2种运行状态下的研究对象具体信息Table 3 Specific information of research target for two operating conditions

4.2 采用无源滤波器参数优化方法抑制谐波谐振效果验证

为了简单起见，针对上文分析的关键模式谐振频率随着电网运行状态的改变而发生偏移的现象，本文以运行状态1和运行状态2下共同存在的谐波谐振模式（见表3）为研究对象，对无源滤波器参数进行优化来抑制谐波谐振。非目标模式阻尼比阈值t0=92.0398，非目标模式模态阻抗幅值变化百分比t1=5%。

根据模态分析结果，在公共谐振中心节点11对应安装单调谐滤波器，以单调谐滤波器品质因数Q和电容C为优化变量，采用第3节的优化模型，得到一组优化值Q=30、C=0.00216 F。安装滤波器后电网在2种运行状态下的模态分析结果如表4所示。

采用本文方法设计的单调谐滤波器，在2种运行状态下对系统进行模态分析，结果如图5所示。

由表2和表4中加粗部分分析可得，在运行状态1下谐振次数为19的关键模式的模态阻抗幅值由92.040降为20.453；在电网运行状态2下谐振次数为20的关键模式的模态阻抗幅值由137.410下降为49.289，而其他关键模式的模态阻抗幅值没有发生明显变化。

表4 滤波器参数优化后电网在2种状态下的模态分析结果Table 4 Results of modal analysis for two operating conditions after filter parameters are optimized

图5 采用本文设计的无源滤波器后，运行状态1、2下的模态分析结果Fig.5 Results of modal analysis for operating condition 1 and 2，when designed passive filter is adopted

因此，在电网运行状态改变造成同一谐振模式的谐振频率改变的情况下，在参与因子最大处选择滤波器安装地点，采用优化的方法用一个单调谐滤波器能够有效应对同一个谐振模式在不同的运行状态下谐振频率偏移的情况。

4.3 对比方法验证

作为比较，传统方法从抑制某次谐振频率的角度进行分析，在某次谐振频率对应的参与因子最大处装设滤波器，消除该频率下的谐波谐振。

为了滤除运行状态2下的20次谐波，在节点11（谐振中心）处装设单调谐滤波器。单调谐滤波器的设计采用文献［21］中的公式，由单调谐滤波器计算公式得出单调谐滤波器参数为：Q=60，C=0.00301F，R=6.9805×10-4Ω，L=6.6659×10-6Η。 从谐波谐振的角度分析，系统运行状态1和运行状态2下模态分析结果如表5所示。

采用针对20次谐振次数设计的传统无源滤波器后，对在2种运行状态下的系统进行模态分析，结果如图6所示。

由图6可知，利用传统方法针对20次谐振设计的无源滤波器在运行状态2下将谐振次数为20的关键模式的模态阻抗幅值从137.410 p.u.降为12.069 p.u.，达到了抑制20次谐波谐振的目的；此时运行状态1下谐振次数为19的关键模式的模态阻抗幅值也得到了一定的降低，这是因为两者有相同的谐振中心。然而对于运行状态1下谐振次数为19的关键模式，其模态阻抗幅值下降幅度明显不如本文方法。这是因为按照确定运行方式下针对某次谐波频率设置无源滤波器只对相应次的谐波电流有明显的抑制作用，从谐波谐振抑制措施角度来看，其对关键模式模态阻抗幅值的改善不能同时兼顾谐振频率发生变化的情况。因此，本文设计的无源滤波器优化方法能够适应关键模式的谐振频率发生偏移的情况，达到了在关键模式的谐振频率随着电网运行状态发生变化的情况下有效抑制谐波谐振的目的。

表5 PCC处装设单调谐滤波器时，系统的模态分析结果Table 5 Results of modal analysis when single-tuned filter is installed at PCC

图6 采用传统的无源滤波器后，运行状态1、2下的模态分析结果Fig.6 Results of modal analysis for operating condition 1 and 2，when traditional passive filter is adopted

5 结论

智能配电网运行状态发生改变时谐波谐振具有不确定性。本文对谐波谐振不确定性的产生原因进行了分析，针对智能配电网谐波谐振不确定性问题中存在谐振频率偏移的情况，提出了一种谐波谐振抑制方法。利用改进的IEEE 14节点标准系统对本文方法进行验证，结果证明其能够适应关键模式的谐振频率发生变化的情况，达到了抑制谐波谐振的目的。

目前，本文方法应用于系统离线状态。但是当电力系统在线运行时，根据实时配电网自动化运行状态可以在线计算出电网节点导纳矩阵，而本文方法中涉及的特征值计算、关键模式识别方法以及模式追踪技术均可以在线化实施，根据优化模型得出的无源滤波器参数也可以通过自适应性无源滤波器进行调整，因此本文方法是可以在线实施的。由于篇幅有限，本文仅以智能配电网谐波谐振不确定性问题中同一谐振模式下谐振频率发生变化的现象进行了抑制，对于关键模式发生改变的多目标模式情况需要作进一步研究。

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