带有末端角度和轨迹路径点约束的MPSC制导律设计

李新三，汪立新，范小虎，闫循良，薛 亮，王明建

（1.第二炮兵工程大学 三系，西安 710025；2.第二炮兵工程大学 士官学院，青州 262500）

带有末端角度和轨迹路径点约束的MPSC制导律设计

李新三1，汪立新1，范小虎2，闫循良1，薛 亮1，王明建2

（1.第二炮兵工程大学 三系，西安 710025；2.第二炮兵工程大学 士官学院，青州 262500）

针对多约束制导问题，给出了一种同时满足末端角度约束和飞行轨迹路径点约束的模型预测扩展控制制导方法，该制导方法通过满足飞行轨迹路径点约束实现灵活调节飞行轨迹，可以大大缩短目标防御反应时间。模型预测扩展控制制导方法是基于非线性最优控制理论，给出了控制量表达式以二次形式近似时制导律的设计过程。模型预测扩展控制制导方法只能对末端时刻输出量进行约束，通过对该制导方法进行扩展，使其还可以满足飞行轨迹路径点约束。仿真结果表明，考虑飞行轨迹路径点约束时，导弹经过设定的路径点并以给定的弹道倾角命中目标。

制导；模型预测扩展控制；末端攻击角度约束；轨迹路径点约束

目前，国内外对带有末端攻击角度约束的制导律技术研究给与了极大的关注[1-5]。带有末端攻击角度约束的制导技术最早由 Kim和 Grider[1]提出，Kim和Grider采用最优控制理论对角度和位移偏差进行最小化，对地面匀速运动目标进行跟踪攻击。Lee等人[2]将一种带落角约束的最优控制律应用于目标机动的情形。印度学者Padhi和Oza[6-9]提出了一种带有末端多约束的模型预测静态规划（MPSP）制导算法，该方法采用静态协态变量求解最优控制问题，可以节省制导算法运算时间，具有在线应用的潜力。受MPSP和模型预测控制（MPC）[10]方法启发，文献[11]对MPSP方法中的控制量进行一次形式参数化近似处理，给出了一种模型预测扩展控制（MPSC）制导方法。与MPSP方法相比，MPSC方法中的控制指令变化更加平缓，利于控制量指令跟踪。

以上研究均是对飞行速度方向进行约束控制，并没有对姿态角进行约束控制。Ilan Rusnak等人[12]基于控制制导一体化理论实现对弹体末端姿态角进行直接控制。文献[13]提出了一种在制导体系下的对弹体末端姿态角进行间接约束的制导方法。

飞行器在滑翔飞行过程中必须经过一些特定点，以完成侦察、载荷投放和突防等任务，这些点被称为“路径点”[14]。文献[14]在侧向制导中采用基于飞行方向走廊的滚转反向逻辑，满足飞行过程中禁飞区、路径点及终端航向误差的约束条件。文献[15] 将改进的阻力加速度制导方法应用于固定路径点的目标重瞄滑翔制导算法中。文献[14]和文献[15]均只是事先选择一个确定的路径点。如果地对地战术导弹是通过气动舵面进行操纵，那么进行制导律设计时就必须确保高度增益不能太大。针对这一问题，本文对MPSC制导方法进行扩展，使其同时满足末端角度约束和飞行轨迹路径点约束。通过在飞行轨迹上设置一系列路径点约束，依靠这种策略既可以调节飞行轨迹的高度，还可以实现对目标进行欺骗，缩短目标防御反应时间。如果飞行轨迹优化能够实时完成，动态调整飞行轨迹路径点还可以使得飞行器灵活选择突防策略。

1 MPSC制导方法

对于一般形式的非线性系统，其状态方程和输出方程如下：

，使得末端时刻的实际输出 YN与期望输出满足：。运用线性化理论对式(1)和式(2)在各节点上进行离散化，得：

式中，

由于初始状态1X是确定的，因此，1d 0X= ，式(3)可简化为

通过迭代计算求解误差系数矩阵kB：首先，定义如下式：

式(6)~(9)实现对误差系数矩阵kB的迭代计算，运算量大大减小。

控制量表达式采用二次形式，如式(10)所示：

式中，a、b和c为当前控制量系数，kt为时间节点。

式中，0a、0b和0c为更新前控制量系数。

将式(12)代入式(6)，得：

式中，

式(14)可以写成如下形式：当式(19)中方程个数小于等于系数a、b和c个数时，通过下式求解a、b和c：

如果式(19)中未知变量的个数大于方程数量，最优解可以通过极小化目标函数求解，选取如下性能指标函数：

对式(22)进行变分运算，得：

将yC 、yD 和yE分别代入式(23)~(25)，得：

将a、b和c分别代入式(14)，得：

即

式中，

由式(30)得：

因此，控制量偏差为

当前控制量为

前面介绍的MPSC制导方法并不能满足飞行轨迹路径点约束。下一节将对带有轨迹路径点约束的MPSC制导方法进行分析。

2 带有轨迹路径点约束的MPSC制导律设计

本文对MPSC制导方法进行扩展，使其满足飞行轨迹路径点约束。

离散形式的带有飞行轨迹路径点约束的制导问题可以描述如下：

性能指标：

其中，状态方程、输出方程和性能指标函数对应于路径点( 1)i- 至i之间的飞行轨迹，iN为第i个路径点对应的离散点个数。

由于飞行轨迹路径点i的状态是前一段飞行轨迹的末端状态，同时也是后一段飞行轨迹的初始条件，因此带有飞行轨迹路径点约束的制导问题属于一个复杂的耦合问题。各路径点对应的输出偏差方程为

将式(37)代入式(36)，得：

将式(12)中dkU 代入式(38)，得：

式中，

式(39)即为第i个路径点对应的输出偏差方程。飞行轨迹上各个路径点对应的输出偏差方程和性能指标函数可以写成下式：

式(41)是一个线性方程，选取性能指标函数使连续两个轨迹路径点之间飞行轨迹的控制能量最小。整个飞行轨迹上的性能指标函数如下式：

第i个路径点对应的输出偏差方程写成下式：

式(41)中系统输出偏差方程为线性形式，采用下式表示飞行轨迹路径点输出偏差方程：

式中，

与式(14)和式(21)类似，可以对式(42)和式(44)构成的系统进行求解。需要注意的是，各段飞行轨迹对应的误差系数矩阵必须具有相同的列数，因此，各段飞行轨迹中离散控制量的个数是相同的。

为了验证带有飞行轨迹路径点约束MPSC制导算法的有效性，假设导弹在竖直平面内运动，通过空气舵进行操纵，因此，必须满足动压条件，需要对飞行高度进行限制。竖直平面内的质心运动方程如下式：

式中，x和y为惯性坐标系中的位移，V为速度，γ为弹道倾角，ca为指令加速度，T为推力，D为气动阻力。

导弹采用气动控制，要求以期望的弹道倾角命中目标，并且满足飞行轨迹路径点约束，因此输出方程分别采用如下形式：

① 末端弹道倾角和位置约束：与第i个约束相对应的期望输出方程为

② 飞行轨迹路径点约束：与第j个路径点约束相对应的输出方程为

制导问题求解时首先需要对状态方程和输出方程进行离散化处理，这里采用欧拉法进行离散化。另外，本文运用PN制导律对初始控制量进行猜测。由于篇幅限制，论文不再详细阐述。

3 数值仿真与分析

分别针对不考虑飞行轨迹路径点约束和考虑飞行轨迹路径点约束这两种情况进行仿真分析。导弹结构参数请参照文献[16]，假设飞行器垂直发射，攻角α=0°，弹道倾角γ=90°，初始位置位于坐标原点。仿真时，时间、位置和加速度指令等参数进行归一化处理。

图1 飞行轨迹示意图Fig.1 Trajectories

图2 弹道倾角变化曲线Fig. 2 Histories of elevation flight path angle

图3 加速度指令变化曲线Fig.3 Histories of acceleration command

图1 为飞行轨迹变化示意图，图2为弹道倾角变化曲线。不考虑飞行轨迹路径点约束时，采用式(46)形式的约束，飞行器以的倾角命中目标。由于飞行器的弹道高度太高，导致动压过低，需要采用其他的操控方式进行控制。考虑飞行轨迹路径点约束时，采用式(46)和式(47)形式的约束。由图1可知，飞行轨迹经过设定的约束路径点，以的倾角命中目标。因此，通过引入飞行轨迹路径点约束对飞行高度进行限制，调节飞行轨迹的形状，可以提高飞行器的突防能力。图3为法向加速度指令变化曲线，由于法向加速度指令采用二次形式近似，在整个制导过程中法向加速度指令在有限范围内变化平缓，并没有出现突变。

4 结 论

本文提出了一种满足末端角度约束和飞行轨迹路径点约束的 MPSC制导方法。通过飞行轨迹路径点约束限制飞行高度，不仅可以使动压满足采用气动舵进行操控的条件，还可以借助于飞行轨迹的调节缩短目标防御反应时间。由于 MPSC制导算法计算量较小，因此可以通过飞行轨迹地实时优化进行飞行轨迹路径点地动态调节，使得飞行器具备灵活选择突防策略的能力。目前这方面的研究在已公开的文献中还比较少。

（References）：

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Guidance law of model predictive spread control with waypoints and terminal impact angle constraints

LI Xin-san1, WANG Li-xin1, FAN Xiao-hu2, YAN Xun-liang1, XUE Liang1, WANG Ming-jian2
(1. Department 3, The Second Artillery Engineering University, Xi’an 710025, China; 2. Petty Officer Academy, The Second Artillery Engineering University, Qingzhou 262500, Shandong, China)

In view of guidance law with multi-constraints, a suboptimal guidance law with both terminal impact angle and waypoints constraints is presented by using the proposed model predictive spread control (MPSC) technique. Waypoints constraint gives the flexibility to shape the trajectory as well as to deny the enemy a long reaction time. The MPSC guidance law is based on nonlinear optimal control theory. The design process of guidance law is given, supposing that the controlled variable adopts quadratic approximation. Some modifications on the MPSC guidance law are given, then it can also satisfy the flight trajectory constraints instead of only satisfying the final output constraints. Simulation results show that the missile can pass through the given waypoints in addition to achieving near zero miss distance with demand flight path angle.

guidance law; model predictive spread control; terminal impact angle constraint; waypoint constraint

V444

A

1005-6734(2016)01-0119-06

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2016.01.022

2015-10-23；

2015-12-29

国家自然科学基金（61503390）

李新三（1982—），男，博士研究生，从事导航制导仿真技术研究。E-mail: xinsan_2006@163.com

联 系 人：汪立新（1966—），男，教授，博士生导师。E-mail: wanglixin066@sina.cn