经济数学在管理会计中的应用

武婧

（太原学院，山西 太原 030032）

随着会计工作的改革与发展，管理会计建设工作成为国家战略，加强管理会计指引体系建设，着重推进管理会计广泛应用，从而提升会计工作管理效能。经济数学不但是培养经济管理类学科理性思维的重要学科知识，更是经济预测与决策、风险管理、建模的重要研究工具。笔者着重选取经济数学中的成本分析数学模型、边际分析以及最优化问题与管理会计中的财务计划与财务预测、成本管理与控制理论、投资决策中风险分析理论相结合，对其进行探讨。

1 成本分析数学模型的建立

所谓经济数学模型就是数学的形式（语言）反映经济数量关系的公式或公式关系[1]。对于成本分析，相关的数学模型有总成本数学模型、利润函数的数学模型两种，下面我们就对其进行简单的分析。

1.1 总成本的数学模型

总成本，就是产品从设计到销售这一过程中所消耗的所有资金。我们将不随着产品的变动而变动的成本称为固定成本，例如厂房、机器设备支出等。对应的，所谓的变动成本，就是随着产量变化而变动的成本，比如原材料。通常情况下，变动成本和产品的生产数量、工作人员以及原料的数量和质量有关。笔者以代数的方法对其进行分析，用代数式就可以表示为C=C0+C1（C0 和C1 不能为负），我们就建立了相应基础的总成本函数。对于这一函数，其线性关系不是一成不变的，它受到产量的影响。例如当产量在一定的范围之内，固定成本可以维持产品生产过程中的消耗，但是当固定成本不能满足需求时，其原有的线性关系被打破，变成非线性关系。当产品的总成本较低时就认为企业生产能力较强；相反，当生产成本较高时就认为其生产能力较低，仅仅依赖于总成本对其企业生产产品的能力进行评估是不够准确的，因为生产能力的强弱还受到平均成本的影响。其函数表达式：平均成本=总成本/总产量。

1.2 利润函数的数学模型

利润函数的基本函数模型：总收益=总收入-总成本。其代数式可以表达为L=R-C，对于产品的收益而言，又有一个线性的函数关系: 收益=价格×销售产量，因而利润的函数模型可以表达为总利润=价格×销售产量-总成本。其代数形式为L= R(q)-C (q)。当企业的产品数量为q 件时，由成本的函数基本结构就可看出产品的总成本为C (q)=10+6q+0.2q2(万元)，假设该企业销售一件产品的收入为10 万元，那么，总收入就为R (q)=10q，知道了总收入和总成本，利用代数式我们就可知道利润的多少：L(q)=R(q)-C(q)=4q-10-0.2q2。仅仅知道了利润是远远不够的。除此之外，我们还要计算出平均利润，将二者相互参考，进而对企业的生产力进行精确的评估。另外，企业生产产品不是越多越好的，在生产产品时应遵循一定的规律，不然会出现产品少时，利润为正值，生产产品时利润则出现负值，例如10 件产品其总利润为10 万，平均利润为1 万，当生产20 件时，其利润就变成-10，不仅不增反而降低。

企业生产产品的主要目的在于利益的获取，但是在生产的过程中不能为追求利益的最大化进而盲目的扩大生产，而是要贴合实际状况，利用一定的经济数学规律对利益进行计算之后对生产指标进行合理的安排。除了盈利和亏损之外，还存在一种现象：收支相抵，即利润函数为零。对于营销者而言，其既是最为乐观的状态也是不愿意看到的状态，乐观是指整个环节，没有亏损，达到了盈亏平衡点；但是又没有达到生产产品所要达到的目的。综上，盈亏分析是经营者制定生产销量的重要参数。在企业的管理会计应用中，可以通过结合本企业数年来的历史数据，先做出一般代数模型的线性回归分析，总结出基于历史数据运用数学原理计算得出的总成本函数和利润函数，并结合自己经营中的实际情况，对相关参数进行微调整，然后根据相应的数学模型，预测企业未来经营期间的总成本和营业利润。

2 边际分析

边际分析主要内容有边际成本和边际利润。边际函数，即原函数的导数，在管理会计工作中也占据着极为重要的意义。

2.1 边际成本

所谓的边际成本就是附加成本，企业在原有计划的基础上增加的产品，它所消耗的成本就叫做边际成本。例如其基础函数为C(q)，边际成本就是其函数的导数C′，我们用具体的数据和公式等来表述两者的具体变化：C (q)=0.01q3-0.3q2+40q+1000≥C′(q)=0.03q2-0.6q+40，当原函数中q 在50、100、150 之间变动时，边际函数的值也有所变，其展现的图像如下：

从图中我们不难发现，曲线在0 到100 时，其曲线是下降的，当到达100 时，达到一个峰值。随着产品数量的不断增加，其曲线又朝着无穷大的趋势发展，从这一图像中，我们可以看到产品数量在0 到100 件时，其利润是随着产品件数的增加而增加的。很多人会误认为当产品的件数大于100 件时企业会出现亏损，其实则不然，仅是利润的降低，且随着件数的增加利润会越来越小，在到达最小值后开始亏损。这一亏损原因包括工人在数量或者作业时间上的增加、机器生产过程由于损害而产生的修理费用等。边际分析在经济数学中是不可忽视的问题。

2.2 边际利润及最优化问题

边际利润也是由基本的利润函数推导而出的，边际利润的表达式为L′(q)=R′(q)-C′，它的意义在于销售发生变化时利润的变化状况: 增加的产量应在适当的范围，少则利润不能最大化，过多反而会引起亏损。边际利润也在经济生产中起着重要的作用，其中被广泛应用的一方面，就是最优化问题。

所谓的最优化问题，就是在函数一定的范围内寻找最大值、最小值。在上文笔者也有提及，企业生产产品的最终目的在于盈利，并在此基础上将盈利最大化。而在经济数学中，要想将利益最大化，需要选择一定的产出水平，其也是在经济数学中最为突出的应用。另外，在选择产出水平时，将利益最大化的前提是要满足一定的必要条件和充分条件，例如边际收益和边际成本相等。

由于固定成本和可变成本的存在，产品生产和销售中存在边际成本递减和边际利润递减的现实情况，所以，企业可以基于第一部分企业利用数学原理做出的本企业总成本和营业利润线性回归函数模型，继续通过运用数学中的导数原理，结合以上边际成本和边际利润数学模型，计算出本企业的 “盈亏平衡点”、最适合产量下的总成本、边际成本以及总利润。从而为企业的生产经营中的产量、销售量决策，提出相应的建议。

3 投资风险分析

根据风险与收益原理，对于公司管理而言，收益是公司在一定的经营期内，投资产生的总的利得和损失，而风险是其不利事件发生的可能性。对于大多数公司而言，都有风险规避的驱动。但是风险发生的可能性，我们如何估计，是企业投资风险分析中的首要问题。在数学中，概率模型是指根据事物的变化是否会影响建模的数学模型[2]。企业投资活动中，风险与投资报酬的可能性是相联系的，因此对风险的度量，就要从投资收益的可能性入手，借鉴数学中的概率与统计原理。例如，对于多种资产的投资组合而言，我们可以根据各个不同资产在投资组合中的权重及其风险和收益情况，运用概率统计原理，得出如下协方差矩阵：

（其中，wi 代表第i 种资产在资产组合中的权重，Ri 代表第i种资产的风险收益。）

根据以上协方差矩阵，我们可以发现投资组合具有风险的分散化效应，在上述协方差矩阵中，可以找到 “最小方差组合” 使投资决策达到风险最小，还可依据此来判断所投资资产之间的相关性。当然，最重要的是通过协方差矩阵点，可得到整个投资组合的可行集与有效集（Markowitz 有效边界），企业管理者在Markowitz 有效边界上进行投资决策，从而实现最有效的投资决策：基于投资者风险承受能力的前提下，达到既定风险水平下收益最大，或在既定收益水平下投资风险最小。

4 结束语

由于管理会计成本管理控制与规划理论中对企业的成本性态划分，与经济数学成本分析数学模型一致，都是将企业的成本划分为固定成本与可变成本，利用该模型分别研究固定成本与可变成本的特性、进行单位可变成本与总成本分析，对企业管理会计运用有重要的参考意义。

所谓本量利分析，是指通过对企业成本、业务量和利润（包括单价）三者关系的分析，研究其规律和变动性，达到经营决策和目标控制的方法，也是管理会计的主要内容之一。而以上对边际成本、边际利润的分析，与管理会计中本量利分析有着紧密的联系。二者目标都是为了分析企业的盈亏平衡点、寻求利润最大化目标下的最优产量与单价，即数学中的最优化问题，相关数学理论知识能在企业的管理会计工作中得到很好的运用。而概率和统计原理作为管理会计中投资风险理论的重要支持工具，不仅协助企业有效、准确地解决了风险的衡量难题，实际上企业在投资决策中，如此一来，也有了重要的借鉴性和实务上的可操作性。

综上所述，经济数学在企业管理会计和经营管理决策中有着十分重要的作用，笔者希望能借此文起到抛砖引玉的作用，将经济数学和管理会计研究更深入地结合，最大地发挥其在研究管理会计上的借鉴意义和参考价值。