选修4系列考点预测

童其林

新课标数学全国一卷一直是河南、河北、山西高考使用的数学试卷，2015年加入了考试大省——江西，2016年高考又增加使用新课标数学一卷的省份：广东、湖北、陕西、福建、安徽.如此多的省份参加全国一卷的考试，作为使用此卷的老师和考生，就很有必要研究新课程全国卷1的命题特点，打有准备之仗，比如全国一卷比较重视课本内容的融会贯通，中档题占的比重较大，题型较为稳定，等等.本文主要对选修4的考情进行简要分析，重点对选修4的考点进行预测，希望考生对此内容的复习备考有帮助.

一、考情分析

全国数学一卷后面的三道选做题，即选修4～1几何证明，选修4～4坐标系与参数方程，选修4～5不等式选讲，考生只要做一道就可以了，满分10分.一般每道题都有2问，难度中等或偏下（一般来说，比广东省自主命题此内容时的题目难一些），是考生的拿分题.虽然选做题在整份试卷中排在最后，但一般要先于20，21完成，确保得满分.拿下了这个易得分的问题后，再攻克难题，可为自己赢得更好的成绩奠定基础，树立信心.

二、考纲要求

1. 几何证明选讲

（1）理解相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理.

（2）会证明和应用以下定理：

①直角三角形射影定理；

②圆周角定理；

③圆的切线判定定理与性质定理；

④相交弦定理；

⑤圆内接四边形的性质定理与判定定理；

⑥切割线定理.

2. 坐标系与参数方程

（1）了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.

（2）了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.

（3）能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.

（4）了解参数方程，了解参数的意义.

（5）能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.

3. 不等式选讲

（1）理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：

①|a+b|≤|a|+|b|（a，b∈R）；

②|a-b|≤|a-c|+|c-b|（a，b∈R）.

（2）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：

|ax+b|≤c；|ax+b|≥c；|x-c|+|x-b|≥a.

（3）通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法.

三、考点预测

（一）几何证明选讲预测

热点一：理解相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理

例 1. 如图，AB是圆O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交圆O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F.

（Ⅰ）求证：DE是圆O的切线；

（Ⅱ）若=，求的值.

解析：（Ⅰ）如图，连接OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC，∴OD∥AE.

又∵AE⊥DE，∴OD⊥DE. 又OD为半径，∴DE是圆O的切线.

点评：由于平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，所以（Ⅱ）也可以从OD∥AE直接得到. 值得注意的是，相似三角形的定义与性质是几何证明选讲考查的重点之一.

热点二：会证明和应用直角三角形射影定理、切割线定理

例2. 如图，已知⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB是Rt△ABC的斜边，点P为AB的延长线上一点，且PC与⊙O相切，过点C作AB的垂线，垂足为D.

（Ⅰ）求证：OC2=OD·OP；

（Ⅱ）若PA=9，PC=3，求线段CD的长.

解析：（Ⅰ）证明：因为PC与⊙O相切，所以OC⊥PC，即∠OCP=90°=∠CDO，又∠COD=∠POC，∴△COD∽△POC，∴OC2=OD·OP.

（Ⅱ）由切割线定理，得PC2=PA·PB，解得PB=1.

所以AB=8，即Rt△ABC的外接圆半径r=4，因为PC与⊙O相切，所以OC⊥PC，在Rt△POC中，由面积法得OC·PC=PO·CD，解得CD=.

【点评】问题（Ⅰ）即要重新证明直角三角形射影定理，其实考纲要求的六个定理都要会证明.本题考查的是圆的切线的性质，相似三角形的判断，切割线定理的应用.

例3. 如图，P为⊙O外一点，PC交⊙O于F，C，PA切⊙O于A，B为线段PA的中点，BC交⊙O于D，线段PD的延长线与⊙O交于E，连接FE. 求证：

（Ⅰ）△PBD∽△CBP；

（Ⅱ）AP∥FE.

证明：（Ⅰ）如图，∵PA切⊙O于A，BA2=BD·BC，∵B为线段PA的中点，∴PB=BA，∴PB2=BD·BC，∵∠PBD=∠CBP，∴△PBD∽△CBP.

（Ⅱ）∵△PBD∽△CBP，∴∠BPD=∠C，∵∠C=∠E，∴∠BPD=∠E ，∴AP∥FE.

热点三：会证明和应用圆的切线判定定理与性质定理

例4. 如图，已知C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G.

（Ⅰ）求证：F是BD的中点；

（Ⅱ）求证：CG是⊙O的切线.

证明：（Ⅰ）∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽AFB，△ACE∽△ADF，∵HE=EC，∴BF=FD，∴ F是BD中点.

（Ⅱ）如图，连接CB、OC，

∵AB是直径，∴∠ACB=90°.

在直角三角形DCB中，∵F是BD中点，CF是斜边BD的中线，所以CF=BD=BF，∴∠FCB=∠CBF，又∠CBF=∠CAO=∠ACO，∴∠OCF=∠OCB+∠BCF=∠OCB+∠ACO=∠ACB=90°，

∴CG是⊙O的切线.

点评：注意使用已得到的结论，用到的知识点为：两三角形相似，对应线段成比例；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 解答此题还要注意学会看图，有些图形旋转之后，元素之间的关系是不变的，但可能增加了读图的难度.

热点四：会证明和应用圆内接四边形的性质定理与判定定理

例5. 如图，AE是圆O的切线，A是切点，AD⊥OE于D，割线EC交圆O于B、C两点.

（Ⅰ）证明：O、D、B、C四点共圆；

（Ⅱ）设∠DBC=50°，∠OBC=30°，求∠OEC的大小.

解析：（Ⅰ）证明：连接OA、OC，则OA⊥EA.由射影定理得EA2=ED·EO.

由切割线定理得EA2=EB·EC，

故ED·EO=EB·EC.

又∠OEC=∠OEC，所以△BDE∽△OCE，

所以∠EDB=∠OCE.

因此O，D，B，C四点共圆.

（2）因为∠OEC+∠OCB+∠COE=180°，结合（Ⅰ）得∠OEC=180°-∠OCB-∠COE=180°-∠OBC-∠DBE=180°-∠OBC-（180°-∠DBC）=∠DBC-∠OBC=20°.

点评：（Ⅰ）由EA、EC分别为切线和割线，可利用切割线定理，由EA为切线，AD⊥EO，在Rt△EOA中可利用射影定理，这样可得到边的比例关系式.要证O、D、B、C四点共圆，只需证明对角互补或外角等于内对角，结合条件与结论可考虑证明三角形相似，即△BDE∽△OCE.

（Ⅱ）给出∠DBC与∠OBC的大小，欲求∠OEC的大小，由外角定理∠OEC=∠DBC-∠BDE，由OB=OC知∠OBC=∠OCB，沟通两者的桥梁是（Ⅰ）的结论，∠BDE=∠OCB，于是获解.实际上本小题即证明∠OEC=∠DBC-∠OBC.

热点五：会证明和应用圆周角定理、相交弦定理

例6. 如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：

（Ⅰ）BE=EC；

（Ⅱ）AD·DE=2PB2.

证明：（Ⅰ）连接AB，AC. 由题设知PA=PD，故∠PAD=∠PDA.

因为∠PDA=∠DAC+∠DCA，∠PAD=∠BAD+∠PAB，∠DCA=∠PAB，所以∠DAC=∠BAD，因此BE=EC.

（Ⅱ）由切割线定理得PA2=PB·PC.

因为PA=PD=DC，所以PD2=（PD-BD）·2PD，∴PD=2BD，∴DC=2PB，BD=PB.

由相交弦定理得AD·DE=BD·DC，

所以AD·DE=2PB2.

点评：解答几何证明问题，应保持清醒的头脑，不断追问：已知是什么，未知是什么，用什么沟通.

【方法点拨】这一部分主要命题方式是将圆的有关角、比例线段或圆内接四边形和三角形相似结合，求角，求线段长，证明元素之间的关系等，注意依据条件和结论选择思维方向，如：①给出切线时，常作辅助线是作过切点的半径，考虑方向是切割线定理，直角三角形射影定理、弦切角与圆周角的互化等；②给出平行线时，主要考虑角的关系及三角形相似；③有关圆的问题，求线段长时，常考虑相交弦定理、切割线定理、射影定理、垂径定理；④证明比例线段，主要通过三角形相似.

（二）坐标系与参数方程预测

热点一：了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况

例7. 已知曲线C的极坐标方程是？籽=1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为x=1+，y=2+t，（t为参数）.

（Ⅰ）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；

热点二：极坐标系下点坐标、曲线方程互化及性质处理，直角坐标系下曲线参数方程互化及性质处理

例8.（Ⅰ）在极坐标系中，P是曲线ρ=2sinθ上的动点，Q是曲线ρ=1上的动点，试求|PQ|的最大值；

（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=2+2t，y=1-t（t为参数），椭圆C的参数方程为x=2cosθ，y=sinθ（θ为参数），试在椭圆C上求一点P，使得点P到直线l的距离最小.

解析：（Ⅰ）ρ=2sinθ化为直角坐标方程为x2+y2=2y，即x2+（y-1）2=12.

ρ=1化为直角坐标方程为x2+y2=1，两圆圆心距为1，两圆半径均为1，所以PQ的最大值为1+2×1=3.

热点三：能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程

例9. 在直角坐标系xOy中，圆C1：x2+y2=9，圆C2：（x-3）2+y2 = 9.

（Ⅰ）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标（用极坐标表示）；

（Ⅱ）求圆C1与C2的公共弦的参数方程.

2. 求简单曲线的极坐标方程的方法

①设点M（ρ，θ）为曲线上任意一点，由已知条件，构造出三角形，利用正弦定理求解OM与θ的关系；

②先求出曲线的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的变换公式，把直角坐标方程化为极坐标方程.

3. 求曲线参数方程的一般步骤

第一步，画出轨迹草图，设M（x，y）是轨迹上任意一点的坐标.画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系.

第二步，选择适当的参数，参数的选择要考虑以下两点：①曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程；②x，y的值可以由参数唯一确定.

第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略.

4. 参数方程与普通方程的互化

（1）参数方程化为普通方程——消去参数

消去参数的常用方法有：①先由一个方程求出参数的表达式（用直角坐标变量表示），再代入另一个方程，即代入法；②利用三角函数中的恒等式消去参数，运用最多的是sin2α+cos2α=1，即三角公式法；③整体观察，对两式进行四则运算（运用较多的是两式整体相除），或先分离参数再运算.总的来说，消参无定法，只要能消参，方法可灵活多样，多法齐用.

（2）普通方程化为参数方程——选参数

一般来说，选择参数时应考虑以下两点：①曲线上每一点的坐标（x，y）都能由参数取某一值唯一地确定出来；②参数与x，y的相互关系比较明显，容易列出方程.参数的选取应根据具体条件来考虑.可以是时间，也可以是线段的长度、方位角、旋转角，动直线的斜率、倾斜角、截距，动点的坐标等.

在二者互化的过程中，要注意等价性，注意其中曲线上的点的横、纵坐标的取值范围是否因为转化而发生改变，如果发生改变则它们所表示的曲线就不是同一曲线.

（三）不等式选讲预测

【方法点拨】1. 解绝对值不等式要掌握去绝对值符号的方法，必要时运用分类讨论的思想，有时也可利用绝对值的几何意义解题.去掉绝对值符号的方法主要有：公式法、分段讨论法、平方法、几何法等.这几种方法应用时各有侧重，在解只含有一个绝对值的不等式时，用公式法较为简便；但是若不等式含有多个绝对值时，则应采用分段讨论法；应用平方法时，要注意只有在不等式两边均为正的情况下才能运用.因此，在去绝对值符号时，用何种方法须视具体情况而定.

2. 在对不等式证明题进行分析，寻找解（证）题的途径时，要提倡综合法和分析法同时使用，如同打山洞一样，由两头向中间掘进，这样可以缩短条件与结论的距离，是数学解题分析中最有效的方法之一.

3. 作差比较法一般适用于式子为多项式、对数式、三角式结构；作商比较法一般适用于式子为乘积、幂结构.

4. 运用“f（x）≤a？圳f（x）max≤a，f（x）≥a？圳f（x）min≥a”可解决恒成立问题中的参数范围问题.

5. 注意区分a

责任编辑 徐国坚