均匀带电球面和载流柱面上场强的计算

田宝国 宿德志 李慧

摘 要：对于均匀带电球面上一点的电场强度和无限长均匀载流柱面上一点的磁感强度问题，无法采用教材中常用的静电场高斯定理和磁场安培环路定理求解，该文分别用电场和磁场叠加原理进行了求解，得到了该问题的具体表达式。

关键词：均匀带电球面 均匀载流柱面 高斯定理 安培环路定理 叠加原理

中图分类号：O411 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2016）02（c）-0159-02

在求解均匀带电球面上电场强度分布时，一般都是通过静电场的高斯定理求解，但是对于理想的均匀带电球面来讲，这种方法只能求出球面内部和外部的电场强度分布，而对于球面上一点的场强，由于无法确定高斯面内电荷分布而无法利用高斯定理求解，对两边取极限的方法也无法求出，有些教材只指出在球面上场强值不连续或有一突变[1，2]，但并没给出具体值。同样，在求解无限长均匀载流柱面磁感应强度分布时，一般都是磁场安培环路定理求解，而对柱面上一点的磁感应强度，这种方法也同样由于无法确定环路包围的电流强度大小而无法求解，该文对这两个问题分别采用场叠加原理进行了计算。

1 均匀带电球面上一点的电场强度

图1为一半径为的均匀带电球面，带电量为，根据电场的高斯定理，可求得球面内外的电场强度分布为[3]：

该结论并没有给出球面上任一点（即）处的电场强度，原因在于对理想的均匀带电球面，利用高斯定理求解该位置处电场强度时，无法确定高斯面内包围的电荷量。该问题可通过叠加原理进行求解。为求球面上任一点点的电场强度，建立图示的坐标系，并将球面分割为无数多个半径不同的无限窄的环带，在坐标处、取高度为的环带如图1所示，环带面元面积为：

所带电量为：

根据带电圆环轴线上一点的场强公式可得所取环带在点的电场强度大小。

由于各环带在点产生的电场强度方向均沿轴正方向，所以整个球面在点产生的电场强度为：

利用几何关系及可得点总场强：

与球面内外场强分布比较可知，该处场强发生了一突变。

2 无限长均匀载流柱面上一点的磁感强度

图1所示示为一半径为、电流沿轴向均匀分布的无限长圆柱面的截面图，总电流强度为，根据磁场的安培环路定理，可得柱面内外的磁感强度分布为[3]：

为求柱面上任一点点的电场强度，建立图1所示的坐标系，且将柱面分割为无数多条截面为圆弧的无限长直线，在图示截面θ处取所对圆心角为θ的无限长直线，点到直线的距离为，所取直线中流过的电流强度大小为：

根据无限长载流直线空间磁感应强度分布公式可知，该直线在点产生的磁感应强度方向如图2，大小为：

根据几何关系可得：

通过电流分布的对称性分析可知，点磁感应强度无径向分量，因此，只需对B的切向、即图中的方向进行积分，B的方向分量为：

根据几何关系和可得

故：

因此，根据磁场叠加原理可得柱面上任一点点的磁感强度大小为：

方向沿切向。与面内面外磁感强度分布比较可知，该处磁感强度也发生了一突变。

3 结语

该文分别通过电场和磁场的叠加原理，求解了均匀带电球面和无限长均匀载流柱面上任一点的电场强度和磁感应强度，丰富补充了教材结论，使学生对这类问题中面内、面上、面外的场分布有了整体认识。另外也可以通过该方法求出均匀带电球体和无限长均匀载流柱体上表面上任一点的电场和磁场分布，在此不再给出具体过程，通过求解结果发现，这两类问题的空间电场分布和磁场分布都是连续分布，不会在面上发生突变。

参考文献

[1] 梁灿彬，秦光戎，梁竹健.电磁学[M].北京：高等教学出版社，2004：21-22.

[2] 张三慧.大学基础物理学[M].北京：清华大学出版社，2003：349-350.

[3] 马文蔚，周雨青.物理学[M].6版.北京：高等教学出版社，2014：179-180.