浅析纳什均衡中的数学理论

熊传霞

摘 要：纳什均衡NEP在众多领域，尤其是经济、社会科学、工程等各个方面都有所应用。近些年来，随着实际中应用的需要，对于纳什均衡的研究逐渐转向广义纳什均衡问题GNEP。一些领域中出现了各种广义纳什均衡的特殊数值模型，例如：工程学、道路交通、电力系统等，并得到了直接且有效的应用。该文介绍了纳什均衡在数学中的运用，并对概率纳什均衡的计算进行了讨论。

关键词：纳什平衡 博弈论 算法

中图分类号：TP301 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2016）02（c）-0158-02

1 博弈论与纳什均衡的发展

博弈论，它的形成背景来自于经济学理论中关于经济行为冲突的量化和行为推断。随着各个领域中对博弈系统的运用，人们逐渐发现：博弈论的应用可以趋于更多元化，除了经济学家们将博弈论在经济领域的应用，还有更多的学科和领域可以运用博弈论以及相关知识和思维，最相关联的就是数学和计算机领域，目前阶段，许多数学和计算机专业的科学家已经针对博弈论与数学之间的基本理论和数学描述结合相关联系展开了研究。

纳什均衡是著名博弈论专家纳什提出的，也是他对博弈论做出的重要贡献，即是非合作博弈论均衡，是博弈论当中的重要术语。纳什均衡是指这样一种均衡，在这一均衡中，每个参与人都确信在给定其他参与人战略的情况下他选择了最优战略以回应对手的战略。零和博弈相对来说很好描述，因为博弈两方一般来说是一胜一负，纳什想进行的研究是两人以上的研究。而在传统的数学问题中，常见的方法一般是由一个定理出发、寻找出一个解决方案，而纳什不这样，他把目光转向过程的分析。他从数学的角度，将交易得到成功的条件改变为双方都满意，从根本上改变看待问题的方式，即对于交易对立面的两方看来都可利益最大化的一种解决方式。在广泛的博弈论语言当中，纳什证明，参与博弈中的每个人都有一个特定的方案，用于对抗其他参与者采取的策略。基于这种意义上，博弈可以达到一种平衡，现在称为“纳什均衡”。纳什从数学上证明了，存在这样一个必然的平衡，从而使博弈论应用到了更多现实的经济情景中。

2 广义纳什均衡

比较传统的纳什均衡问题，每个参与者的可使用策略是一个固定不变的集，不受其他参与者所选策略的影响，但随着实际应用的发展，之前纳什平衡理论在应用过程中有了局限性，经过推广，提出了针对实际应用的问题-广义纳什均衡问题，在此理论当中，每个参与者策略的所选范围不再是固定集合，而是根据其余参与者所选的策略决定。基于这个理论，在数学中的模型有：以Nikaido-Isoda函数为基础的松弛算法，ODE算法，牛顿法，罚函数法，以及其转化形成的拟变分不等式和进一步求解的算法。

3 纳什平衡的存在与稳定性

关于纳什平衡的稳定性这一问题，要分情况讨论，例如：在混合博弈也叫作概型博弈中的纳什平衡是恒存在的，但在另一种情况下，纯博弈中，纳什平衡的存在就有多种可能性，不一定存在。对一个纯博弈系统进行分析来看，从一个纯博弈系统中可以诱导出一个概型博弈系统。但依据一种自然的想法来判断的话，纯博弈系统中的纳什平衡不存在这种现象。于是研究重点可以放在怎样从概型博弈系统的纳什平衡中找到一个决定纯博弈系统中近似纳什平衡的因素。由于关于纳什平衡存在性的判定问题，有了一系列相关的纳什平衡判定问题（Nash Equilibrium Problem），举例而言：首先，给出一个纯博弈系统G=（A，T，{S 1， ，S n }），要判定的问题为：此系统G=（A，T，{S 1， ，S n }）中是否存在一个纳什平衡。将此问题进行分析，可以看到，对于关于纳什平衡判定这一类型的问题，我们的关注点应集中于在何种充分条件下，纳什平衡的存在性是一定的。

同时，纳什平衡的多重性也一直是一个令各个专家感到十分棘手的问题。有的情况下，平衡点不止一个，甚至可能有无穷多个的可能性，这种情况是在实际问题中无法真正达到的。因此，针对这一问题，正在寻求一种更合理而且可以得到认可的机制来选择平衡并进行精炼，这一项目也是非合作博弈论系统中一直需要解决的问题。

在对于纳什均衡研究最活跃的领域内，改进和精练平衡的机制和方法一直在寻找当中，其中包括：1994年Harsanyi和Selten获得诺贝尔奖的成果“子博弈精炼纳什平衡”，以及2002年根据策略集的扰动与策略有关的思想从策略空间到策略集扰动之间建立了函数关系的n人有限非合作博弈CKM扰动的概念。

4 纳什平衡（如果存在）的有效算法及计算复杂性

4.1 离散概型博弈系统

在上文中，提到混合博弈，它其中的纳什平衡是恒存在的。它是在纯博弈系统的基础上，考虑在策略集上引入一个概率分布，接下来引入离散概型博弈，也就是通常所称的混合博弈。而将它称为离散概型博弈主要是因为其中所引入的概率分布。将此博弈系统进行讨论分析，可以看到：从形式上将策略先择用引入的概率分布代替策略先择，用引入的概率分布表示支付。将所给定的有限集Δ={e1，em}看作一个有限的离散样本空间，那么一组非负数μ={p1，pm}称为有限集上的一个概率分布，那么如果m∑pk=1，可记为Prμ[ei]=pi，为了不混淆，可简记为：Prμ[ei]=pi。

值得庆幸的是：任意给定一个离散概型博弈，概型纳什平衡的恒存在性不会变，这一点可运用不动点定理相关知识进行证明。

4.2 概率纳什平衡计算

首先纳什平衡中有两部分，为“纯战略纳什均衡”和“混合战略纳什均衡”。

纯战略是指在比赛中将完整的赛局定义提供给玩家。在比赛中纯战略决定在所有任何一种情况下要做出的战略移动。而战略集合其实就是由玩家能所有够施行的纯战略所组成的集合。而混合战略具有更多的随机性，它是对每个纯战略分配一个机率而形成的战略。在混合战略的比赛中，允许玩家随机选择一个纯战略。由于这样的随机性所以混合战略博弈均衡中要用概率分布计算，在某一情况下达到某一概率时，从而可以实现支付最优。同时机率是连续的，所以即使战略集合的数量是有限的，但产生的混合战略是无限多的，用数学语言表示为：对于一般的μ1=（p1，1p1）、μ2=（p2，1p2）（0≤p1，p2≤1），有：v1（μ1，μ2）=μ1[C1]gv1（C1；μ2）+μ1[F1]gv1（F1；μ2）=p1（2p2+（1p2）*0） （+1p1）（2p21）=p12p21。

5 结语

该文在第一部分首先给出了博弈论与纳什均衡的发展，从纳什均衡存在与稳定性的基本知识与博弈系统的形式概念描述，混合博弈的实质为，在纯博弈系统框架下在策略集上为基础，进一步引入概率分布的概念。对于纳什均衡中数学理论的结合，进行了基本的引例和分析，以及对于其中各种数学理论和数学分析，展现了其稳定性和多重性的复杂性。正是每个参与者之间的不合作性，才可以表现出分布之间策略的独立性。这一概念可以帮助理解各个博弈系统之间的联系，并且结合概率论相关知识在博弈论中各个方面的应用。以及对其中一个典型的概型博弈系统的纳什平衡的性质及其计算方法作了进一步的探讨和研究。目前来看，关于广义纳什平衡问题算法的研究虽然也有很多，但其中主要的思路基本为转化为一些极小化问题，再运用已知结果进行转化，然而这些算法基本上都具有一些局限性，由于各种过强的附加条件，很多原系统的问题无法满足，即使如此，在GNEP的道路上，依然期待有更好的发展前景。

参考文献

[1] 李保明，刘家壮.效用函数与纳什均衡[J].经济数学，2000（4）：21-28.

[2] 郭鹏，杨晓琴.博弈论与纳什均衡[J].哈尔滨师范大学自然科学学报，2006（4）：25-28.

[3] 张峰.论博弈逻辑的分析方法——纳什均衡分析法[J]. 北京理工大学学报：社会科学版，2008（2）：95-99.