运用导数信息绘制函数图像

丁虹

【摘要】在研究函数特性时，往往需要知道函数的直观图像，利用函数的一阶、二阶导数可以绘制出函数较为精细的图像.本文以三次函数为例，运用导数的知识来研究一般的三次函数的单调性和极值，曲线的凹凸性和拐点等问题，并综合利用这些知识绘制了三次函数的图像，为进一步描绘高次函数的图像找到了有效的解决方法.

【关键词】导数；三次函数；函数图像

导数是近代数学的重要基础，是微积分的初步知识，是联系初、高等数学的纽带.在研究函数特性时，往往需要知道函数的直观图像，利用函数的一阶、二阶导数可以绘制出函数较为精细的图像.三次函数是导数内容中最简单的高次函数，其导函数是二次函数.因此，三次函数是利用导数研究函数的一个重要载体.

一、基本概念及涵义

1.导数的概念：导数是函数在某一点的变化率，描述函数变化的快慢.导数的本质就是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近.函数y=f（x）的导数f′（x），就是函数值的增量Δy与自变量的增量Δx之比ΔyΔx，当Δx→0 时的极限.

2.三次函数的概念：最高次数项为3的函数，形如y=ax3+bx2+cx+d（a≠0，b，c，d为常数）的函数叫做三次函数.三次函数的图像是一条曲线——回归式抛物线，它不同于普通抛物线，具有特殊性.

二、导数的应用

（一）一阶导数的应用

利用一阶导数可以讨论函数的单调性和极值.对于函数y=f（x），导数y′符号的变化与函数y的增减情况以及极值的关系是：变量x由小变大时，导数y′由正变为负，此时函数y由增变为减，且y=0时，函数y有极大值；变量x由小变大时，导数y′由负变为正，此时函数y由减变为增，且y′=0时，函数y有极小值.

（二）二阶导数的应用

利用二阶导数可以判定函数的极值、凸向和拐点，并可描绘函数的图像.设f″（x0）=0，若f″（x0）>0（或f″（x0）<0），则f（x0）为极小值（或极大值）；在区间（a，b）内二阶可导函数f（x），若对所有点x∈（a，b）有若f″（x）>0（或f″（x）<0），则曲线y=f（x）在区间内下凸（或上凸）；如果f″（x0）=0，且在x=x0的两侧f″（x）变号，则点P（x0，f（x0））为曲线y=f（x）的拐点.

三、描绘三次函数的图像

（一）图像描绘的步骤

1.确定函数y=f（x）的定义域及不连续点.

2.判定函数y=f（x）的奇偶性.如果函数y=f（x）为奇函数或偶函数，只需研究当x≥0时函数的性质，作出其图像.而另一半曲线的图像可由对称性得出.

3.判定函数y=f（x）的周期性.如果函数y=f（x）为周期函数，只需研究其在一个周期内的函数的性质，作出其图像，其余部分利用周期性可得.

4.求函数的一阶导数y′.求函数y=f（x）的驻点，一阶导数不存在的点，以确定函数的增减性、极值.

5.求函数的二阶导数y″.求y″=0的点，y″不存在的点，以确定曲线的凹凸性和拐点.

6.确定曲线的渐近线，列出表格，描绘图像.将上述所求得的结果按自变量由小到大的顺序列入一个表中，并将函数的性态列入表中，然后描绘成图像.

（二）三次函数四种图像类型

三次函数是利用导数研究函数的一个重要载体.三次函数的导数是二次函数，因此，可用二次函数知识对三次函数的图像和性质进行研究.

三次函数是实际问题中经常遇到的一类函数，由于三次函数自身的特点，它的单调性、驻点、极值点和它对应曲线的拐点有其内在的关系与特性，导数的应用为我们解决这些问题提供了有力的工具.

通常，我们可以用描点法作出的函数图像，这种图像一般是粗糙的，在一些关键点的附近函数的变化状态，不一定能确切地反映出来.利用一阶导数、二阶导数及其某些性质，可以较为准确地描述函数动态.综合应用一阶导数判定单调性，二阶导数判定凹凸性，对于复杂的初等函数图像，我们根据其代数性质，就可以研究函数图像性质.

【参考文献】

[1]阎占立.微积分（下）.北京：高等教育出版社.2006.4.

[2]高级中学课本.微积分初步.北京：人民教育出版社.